中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)教學(xué)案--開放探究題(附答案)

1、開放探究題開放探究問題最常見的是命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論，要求添加條件或概括結(jié)論；其次是給定條件，判斷存在與否的問題；近幾年來又逐步出現(xiàn)了一些根據(jù)提供的材料，按自己的喜好自編問題并加以解決的試題。開放探究問題涉及知識(shí)面廣，遍布整個(gè)初中階段的所有知識(shí)，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的解題能力和思維能力。開放探究問題就開放而言，有條件開放、結(jié)論開放、解題方法開放、編制問題開放：就探究而言，可歸納為探究條件型、探究結(jié)論型、探究結(jié)論存在與否型及歸納探究型四種。類型一：探究條件型探究條件型是根據(jù)問題提供的殘缺條件添補(bǔ)若干條件，使結(jié)論成立，解決此類問題的一般方法是：根據(jù)結(jié)論成立所需要的條件增補(bǔ)條件，此時(shí)要注意

2、已有的條件及由已有的條件推導(dǎo)出的條件，不可重復(fù)條件，也不能遺漏條件。例1（2009麗水市）已知命題：如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一條直線上，且AD=BE，A=FDE，則ABCDEF.判斷這個(gè)命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請(qǐng)給出證明；如果是假命題，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)條件使它成為真命題,并加以證明.解：是假命題. 以下任一方法均可： 添加條件：AC=DF. 證明：AD=BE,AD+BD=BE+BD，即AB=DE. 在ABC和DEF中,AB=DE，A=FDE，AC=DF， ABCDEF(SAS). 添加條件：CBA=E. 證明：AD=BE, AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在ABC和DEF

3、中，A=FDE，AB=DE，CBA=E ， ABCDEF(ASA). 添加條件：C=F. 證明：AD=BE,AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在ABC和DEF中，A=FDE，C=F ，AB=DE， ABCDEF(AAS) 同步測(cè)試ABCEDF1(2009年牡丹江市)如圖，ABCD中，、分別為、邊上的點(diǎn)，要使需添加一個(gè)條件： 1. 2（2009東營(yíng)）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB與CD不平行，ABDACD，請(qǐng)你添加一個(gè)條件： ，使得加上這個(gè)條件后能夠推出ADBC且ABCD. BCDAO2.DACADB，BADCDA，DBCACB，ABCDCB，OBOC，OAOD；(任選其一) 類型二：

4、探究結(jié)論型探究結(jié)論型問題是指根據(jù)題目所給的條件經(jīng)過分析、推斷，得出一個(gè)與條件相關(guān)的結(jié)論，解決此類問題的關(guān)鍵是需要對(duì)已知的條件進(jìn)行綜合推理，得出新的結(jié)論。例2（2009年安徽）如圖，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，DMEAB，且DM交AC于F，ME交BC于G（1）寫出圖中三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì)；（2）連結(jié)FG，如果45°，AB，AF3，求FG的長(zhǎng)【答案】（1）證：AMFBGM，DMGDBM，EMFEAM以下證明AMFBGMAFMDMEEAEBMG，ABAMFBGM （2）解：當(dāng)45°時(shí)，可得ACBC且ACBCM為AB的中點(diǎn)，AMBM 又AMFBGM， 又，

5、同步測(cè)試3（2009年福州）請(qǐng)寫出一個(gè)比小的整數(shù) 3.答案不唯一，小于或等于的整數(shù)均可，如：2，1等4（2009年莆田）已知，如圖，是以線段為直徑的的切線，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作弦垂足為點(diǎn)，連接（1）仔細(xì)觀察圖形并寫出四個(gè)不同的正確結(jié)論：_，_ ，_，_（不添加其它字母和輔助線，不必證明）；CDOFABE（2）=，=，求的半徑4.（1）等CDOFABE（2）解:是的直徑 又 又是的切線 在中， 類型三：探究結(jié)論存在與否型 探究結(jié)論存在與否型問題的解法一般先假定存在，然后以此為條件及現(xiàn)有的條件進(jìn)行推理，然后得出問題的解或矛盾再加以說明。例3（2009仙桃）如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90&

6、#176;，已知ADAB3，BC4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D 出發(fā)，沿線段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)過Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)NP、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(1)求NC，MC的長(zhǎng)(用t的代數(shù)式表示)；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形？(3)是否存在某一時(shí)刻，使射線QN恰好將ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(4)探究：t為何值時(shí)，PMC為等腰三角形？解：（1）在直角梯形ABCD中，QNAD，ABC90°，

7、四邊形ABNQ是矩形。QD=t，AD=3，BN=AQ=3-t，NC=BC-BN=4-（3- t）= t+1。AB3，BC4，ABC90°，AC=5。QNAD，ABC90°，MNAB，即，.（2）當(dāng)QD=CP時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形。當(dāng)t=4-t，即t=2時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形。(3)MNAB，MNCABC，要使射線QN將ABC的面積平分，則MNC與ABC的面積比為1：2，即相似比為1：，即，t=.CN=，MC=，CN+MC=，ABC的周長(zhǎng)的一半=6，不存在某一時(shí)刻，使射線QN恰好將ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分。（4）分3種情況：如圖，當(dāng)PM=MC時(shí)，PMC為

8、等腰三角形。則PN=NC，即3-t-t=t+1，即時(shí)，PMC為等腰三角形。如圖，當(dāng)CM=PC時(shí)，PMC為等腰三角形。即，時(shí)，PMC為等腰三角形。如圖，當(dāng)PM=PC時(shí)，PMC為等腰三角形。PC=4t，NC=t+1，PN=2t-3,又，MN=，由勾股定理可得2+（2t-3）2=（4t）2，即當(dāng)t=時(shí)，PMC為等腰三角形。同步測(cè)試5（2009年廣西南寧·改編）如圖，在邊長(zhǎng)為5的正方形中，點(diǎn)、分別是、邊上的點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交正方形外角平分線，邊上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由 解法四邊形ABCD為正方形FADCBE132四邊形是平行四邊形解法：在邊

9、上存在一點(diǎn)，使四邊形是平行四邊形證明：在邊上取一點(diǎn)，使，連接、BCEDAFP541M四邊形為平行四邊形6（2009白銀市）如圖（1），拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，）圖（2）、圖（3）為解答備用圖（1），點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）在拋物線上求點(diǎn)Q，使BCQ是以BC為直角邊的直角三角形圖（1） 圖（2）圖（3）解：（1），A（-1，0），B（3，0）（2）如圖（1），拋物線的頂點(diǎn)為M（1，-4），連結(jié)OM

10、則 AOC的面積=，MOC的面積=，MOB的面積=6， 四邊形 ABMC的面積=AOC的面積+MOC的面積+MOB的面積=9（3）如圖（2），設(shè)D（m，），連結(jié)OD則 0m3， 0 且 AOC的面積=，DOC的面積=， DOB的面積=-（）， 四邊形 ABDC的面積=AOC的面積+DOC的面積+DOB的面積=圖（3） 圖（4） 存在點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大為（4）有兩種情況：如圖（3），過點(diǎn)B作BQ1BC，交拋物線于點(diǎn)Q1、交y軸于點(diǎn)E，連接Q1C CBO=45°，EBO=45°，BO=OE=3 點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3） 直線BE的解析式為由 解得 點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（-

11、2，5）如圖（4），過點(diǎn)C作CFCB，交拋物線于點(diǎn)Q2、交x軸于點(diǎn)F，連接BQ2 CBO=45°，CFB=45°，OF=OC=3 點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3，0） 直線CF的解析式為由 解得 點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（1，-4）綜上，在拋物線上存在點(diǎn)Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使BCQ1、BCQ2是以BC為直角邊的直角三角形類型四：歸納探究型歸納探究型問題是指給定一些條件和結(jié)論，通過歸納、總結(jié)、概括，由特殊猜測(cè)一般的結(jié)論或規(guī)律，解決這類問題的一般方法是由特殊性得到的結(jié)論進(jìn)行合理猜想，適量驗(yàn)證。例4(2009年撫順市)已知：如圖所示，直線與的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作一條直線與兩條直線分別相

12、交于點(diǎn)（1）如圖1所示，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不用證明；（2）如圖2所示，當(dāng)直線與直線不垂直且交點(diǎn)都在的同側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明：如果不成立，請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)直線與直線不垂直且交點(diǎn)在的異側(cè)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)說明理由；如果不成立，那么線段之間還存在某種數(shù)量關(guān)系嗎？如果存在，請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BEDCMNlABEDCMNlABCMNABCMN圖1圖2備用圖備用圖解：（1）（2）成立（方法一）：在上截取，連接即ABEDCMNl125634HFG題（2）方法二圖（方法二）：過點(diǎn)作直線，垂足為點(diǎn)，交于

13、點(diǎn)作，垂足為點(diǎn) 由（1）得 （方法三）：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)（3）不成立存在當(dāng)點(diǎn)在射線上、點(diǎn)在射線的反向延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖），當(dāng)點(diǎn)在射線的反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在射線上時(shí)（如圖），ABEDCMNl125634F7ABEDCMlABECMDlN題（2）方法三圖題（3）圖題（3）圖同步測(cè)試7（2009仙桃）如圖所示，在ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DEBC，如圖，然后將ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖，然后將BD、CE分別延長(zhǎng)至M、N，使DMBD，ENCE，得到圖，請(qǐng)解答下列問題：(1)若ABAC，請(qǐng)?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：在圖中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是_；在圖中，猜想AM與AN的數(shù)量關(guān)系、MAN與BA

14、C的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若ABk·AC(k1)，按上述操作方法，得到圖，請(qǐng)繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關(guān)系、MAN與BAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證明7.（1）BD=CE；AM=AN，MAN=BAC 理由如下：在圖中，DE/BC，AB=ACAD=AE.在ABD與ACE中ABDACE.BD=CE，ACE=ABD.在DAM與EAN中，DM=BD，EN=CE，BD=CE，DM=EN，AEN=ACE+CAE，ADM=ABD+BAD，AEN=ADM.又AE=AD，ADMAEN.AM=AN，DAM=EAN.MAN=DAE=BAC.AM=AN，MAN=BAC.（2）AM=kAN

15、，MAN=BAC.隨堂檢測(cè)：1. （2009年臺(tái)州市）請(qǐng)你寫出一個(gè)圖象在第一、三象限的反比例函數(shù)答： 2. （2009白銀市）如圖6，四邊形ABCD是平行四邊形，使它為矩形的條件可以是3. （2009年牡丹江）先化簡(jiǎn)：并任選一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值4. （09湖南邵陽）已知，用“+”或“”連接，有三種不同的形式：，請(qǐng)你任選其中一種進(jìn)行計(jì)算，并化簡(jiǎn)求值，其中=525. （09湖南邵陽）如圖是一個(gè)反比例函數(shù)圖象的一部分，點(diǎn)，是它的兩個(gè)端點(diǎn)（1）求此函數(shù)的解析式，并寫出自變量的取值范圍；（2）請(qǐng)你舉出一個(gè)能用本題的函數(shù)關(guān)系描述的生活實(shí)例6. （2009年杭州市）如圖，在等腰梯形ABCD中，C=60&#

16、176;，ADBC，且AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長(zhǎng)線上，且DE=CF，AF、BE交于點(diǎn)PDEFPBAC（1）求證：AF=BE；（2）請(qǐng)你猜測(cè)BPF的度數(shù)，并證明你的結(jié)論7. （2009年遂寧）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x 軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.求二次函數(shù)的解析式；該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使QAB與ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由隨堂檢測(cè)答案：1.（答案不唯一）2.答案不唯一，如AC=BD，BAD=90o，等3.原式=選擇a除了0與1以外的數(shù)代入均

17、可。4.選擇一：，當(dāng)=52時(shí)，原式= 選擇二：， 當(dāng)=52時(shí)，原式= 選擇三：， 當(dāng)=52時(shí)，原式= 注：只寫一種即可5.（1）設(shè)，在圖象上，即，其中； （2）答案不唯一如：小明家離學(xué)校，每天以的速度去上學(xué)，那么小明從家去學(xué)校所需的時(shí)間6.（1）BA=AD，BAE=ADF，AE=DF，BAEADF，BE=AF；（2）猜想BPF=120° .由（1）知BAEADF，ABE=DAF .BPF=ABE+BAP=BAE，而ADBC，C=ABC=60°，BPF=120° .7.解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-h)2+k，頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，且過點(diǎn)(0，)y=a(x-4)2+k 又對(duì)稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6，A(1，0)，B(7，0)0=9a+k ，由解得a=，k=，二次函數(shù)的解析式為：y=(x-4)2點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=4對(duì)稱，PA=PB，PA+PD=PB+PDDB，當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上時(shí)PA+PD取得最小值，DB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，設(shè)直線x=4與x軸交于點(diǎn)M，PMOD，BPM=BDO，又PBM=