合肥一中自主招生考試

1、合肥一中 2013 年自主招生考試本卷滿分 150 分 考試時(shí)間120 分鐘一、選擇題（每小題6 分，共 30 分。每小題均給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填均得 0 分）23 111、下列圖中陰影部分面積與算式 2的結(jié)果相同的是 【 】4 22、下列命題中正確的個(gè)數(shù)有 【 】實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)； a aa；121 的平方根是 ±11；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，非負(fù)數(shù)一定是正數(shù)；兩個(gè)無(wú)理數(shù)之和一定是無(wú)理數(shù)A. 1 個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 43、某家庭三口人準(zhǔn)備在“五一”期間參加旅行團(tuán)外出旅游

2、。甲旅行社告知：父母買全票，女兒按半價(jià)優(yōu)惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按團(tuán)體票計(jì)價(jià)，即每人均按八折收費(fèi)。若這兩家旅行社每人的原標(biāo)價(jià)相同，那么 【 】A、甲比乙更優(yōu)惠 B 、乙比甲更優(yōu)惠 C、甲與乙相同 D、與原標(biāo)價(jià)有關(guān) ，半徑為2 的 O切 B C于點(diǎn) C，若將 O在 CB上向右4、如圖， ACB60滾動(dòng)，則當(dāng)滾動(dòng)到 O與 C A也相切時(shí)，圓心 O移動(dòng)的水平距離為【 】A、2 B 、 C、 2 3 D、45、平面內(nèi)的 9 條直線任兩條都相交，交點(diǎn)數(shù)最多有 m 個(gè)，最少有 n 個(gè)，則m n等于 【 】A、36 B 、37 C 、38 D 、39二、填空題（每小題6 分，共 48 分）1、甲、乙兩人

3、騎自行車，同時(shí)從相距 65 千米的兩地相向而行，甲、乙兩人的速度和為千米 /時(shí)，則經(jīng)過(guò) 小時(shí)，兩人相遇。2 x2、若化簡(jiǎn)1 8 16x x 的結(jié)果為2x 5 ，則x 的取值范圍是 。3、某校把學(xué)生的筆試、實(shí)踐能力和成長(zhǎng)記錄三項(xiàng)成績(jī)分別按 50、20和 30的比例計(jì)入學(xué)期總評(píng)成績(jī)， 90 分以上為優(yōu)秀。甲、乙、丙三人的各項(xiàng)成績(jī)（單位：分）如下表，學(xué)期總評(píng)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生是 。筆試實(shí)踐能力 成長(zhǎng)記錄甲 90 83 95乙 88 90 95丙 90 88 904、已知點(diǎn) A是一次函數(shù) y x 的圖像與反比例函數(shù)y2x的圖像在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，點(diǎn) B 在 x軸的負(fù)半軸上，且 OA OB （O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

4、 ，則AOB 的面積為 。5、如果多項(xiàng)式2 12x px 可以分解成兩個(gè)一次因式的積，那么整數(shù) p 的值是 。6、如右圖所示， P是邊長(zhǎng)為1 的正三角形 ABC的 BC邊上一點(diǎn)，從 P向 AB作垂線PQ，Q為垂足。延長(zhǎng)Q P與 A C的延長(zhǎng)線交于 R，設(shè)BP= x（ 0 x 1），BPQ與CPR的面積之和為y ，把 y 表示為x 的函數(shù)是 。7、已知x，x為方程1 22 4 2 0x x 的兩實(shí)根，3則x1 14 x2 55 。8、小明、小林和小穎共解出 100 道數(shù)學(xué)題，每人都解出了其中的 60 道，如果將其中只有 1 人解出的題叫做難題， 2 人解出的題叫做中檔題， 3 人都解出的題叫做容

5、易題，那么難題比容易題多道。三、解答題（本大題6 小題，共 72 分）1、（10 分）在 ABC中， AB AC ， A 45 。 AC 的垂直平分線分別交 AB 、 AC 于 D 、 E 兩點(diǎn)，連結(jié)CD ，如果 AD 1 ，求： tan BCD 的值。2、（12 分）某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營(yíng)，決定購(gòu)買 6 臺(tái)機(jī)器用于生產(chǎn)活塞。現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格和每臺(tái)機(jī)器的日生產(chǎn)活塞數(shù)量如下表所示。經(jīng)過(guò)預(yù)算，本次購(gòu)買機(jī)器所需的資金不能超過(guò)34 萬(wàn)元。甲 乙價(jià)格（萬(wàn)元臺(tái)） 7 5每臺(tái)日產(chǎn)量（個(gè)） 100 60 按該公司的要求，可以有幾種購(gòu)買方案？ 若該公司購(gòu)進(jìn)的 6 臺(tái)機(jī)器的日生產(chǎn)能力不能低

6、于 380 個(gè)，為了節(jié)約資金，應(yīng)選擇哪種購(gòu)買方案？3、（12 分）如圖所示，已知邊長(zhǎng)為4 的正方形鋼板有一個(gè)角銹蝕，其中 AF 2 ，BF 1。為了合理利用這塊鋼板將在五邊形 EABCD內(nèi)截取一個(gè)矩形塊MDN，P 使點(diǎn) P在 AB上，且要求面積最大，求鋼板的最大利用率。4 、（ 12 分 ）如圖所 示 等 腰梯 形 ABCD 中 ， AB CD ， AD CB ,對(duì)角線AC 與 BD 交于o , 點(diǎn) S、P、Q 分別是 O D、O A、BC的中點(diǎn)。 O, ACD 60求證： PQS 是等邊三角形。5、（12 分）如右圖，直線O B是一次函數(shù) y 2x 的圖像，點(diǎn) A的坐標(biāo)是（ 0，2），點(diǎn) C

7、在直線OB上且 ACO為等腰三角形，求 C點(diǎn)坐標(biāo)。2 x2 m x6、（14 分）已知關(guān)于 x 的方程 ( 1) 3(3 1) 18 0m 有兩個(gè)正整數(shù)根（ m 是整數(shù)）。2 a2m a2 b2 m b ABC的三邊a、b、c滿足 c 2 3 ， 8 0m ， m 8 0 。求： m的值； ABC的面積。數(shù)學(xué)試題參考答案一、1、B，2、B，3、B，4、C，5、B二、1、2 2 、1 x 4 3 、甲、乙 4 、 2 5 、 7, 8, 136、382(3 x 4x 2) 7 、7 8 、20三 1、有已知可得 ADE和 CDE 均為等腰直角三角形，計(jì)算得 BD 2 1，在直角三角形 BCD 中

8、，tanBDBCD 2 1。CD2、（1）設(shè)購(gòu)買x 臺(tái)甲機(jī)器，則7x 5(6 x) 34 ，所以 x 2。即 x 取 0、1、2 三個(gè)值，有三種購(gòu)買方案：不購(gòu)買甲機(jī)器，購(gòu)6 臺(tái)乙機(jī)器；購(gòu)買1 臺(tái)甲機(jī)器， 5 臺(tái)乙機(jī)器；購(gòu)買2 臺(tái)甲機(jī)器，購(gòu)4 臺(tái)乙機(jī)器。（2）按方案，所需資金 6 5 30（萬(wàn)元） ，日產(chǎn)量為6 60 360（個(gè)） ；按方案，所需資金1 7 5 5 32（萬(wàn)元），日產(chǎn)量為1 100 5 60 400（個(gè)）；按方案， 所需資金為2 7 5 4 34（萬(wàn)元），日產(chǎn)量為2 100 4 60 440（個(gè)）。所以，選擇方案。3、如圖所示，為了表達(dá)矩形 MDNP的面積，設(shè)D Nx，PNy，則

9、面積Sxy， 因?yàn)辄c(diǎn) P在 A B上，由 APQABF得24(y4 x)12，即 x 10 2y 2代入，得 S (10 2y)y 2y 10 y，即5 252S 2( y ) 2 2因?yàn)? y 4，而 y52不在自變量的取值范圍內(nèi)，所以 y52不是最值點(diǎn)，當(dāng) y3時(shí)，S12；當(dāng) y4時(shí)，S8故面積的最大值是 S12此時(shí)，鋼板的最大利用率是 80。4、連CS。ABCD是等腰梯形，且 AC與 BD相交于 O，AO=BO,CO=DO.ACD=60°， OCD與OAB均為等邊三角形 .S 是 OD的中點(diǎn)， C SDO.1在 RtBSC中， Q為BC中點(diǎn)， SQ是斜邊BC的中線， SQ=2B

10、C.同理 BPAC.1在 RtBPC中， PQ=2BC.12又 SP是OAD的中位線， SP=1AD=2BC.SP=PQ=SQ.故SPQ為等邊三角形 .5、若此等腰三角形以 OA為一腰，且以 A為頂點(diǎn)，則AO=AC1 =2.設(shè)C1（ x,2x），則得2 (2 2)2 22x x ，解得8x ，得 C1（58 16 ,5 5）若此等腰三角形以 OA為一腰，且以 O為頂點(diǎn)，則O C2=OC3=OA=2.設(shè)C2（x x ），則得 ' ,2 '' ,2 ''2 (2 ' )2 22x x ，解得' 4x . 得 C2（52 45, 55 5）又由

11、點(diǎn) C3 與點(diǎn) C2 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得 C3（ 2 5, 4 55 5）1若此等腰三角形以 OA為底邊，則C4 的縱坐標(biāo)為1，從而其橫坐標(biāo)為2，得 C4（12,1）.所以，滿足題意的點(diǎn) C有 4 個(gè)，坐標(biāo)分別為：（ 8 ,165 5），（ 2 5, 4 55 5），（ 2 5, 4 55 5），C4（12,1）26、（1）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則1 0 m ，解方程得6x ，1 m13x 由題意，得2 m1mm1 1,2,3,6,1 1,3,即mm0,1, 2,5,2,4.故 m 2 2 a 2 b（2）把 m 2代入兩等式，化簡(jiǎn)得 4 2 0 a ，b 4 2 0 ，當(dāng) a b時(shí)， a b 2 2 2 x當(dāng) a b時(shí)， a 、b是方程 4 2 0x 的兩根，而 0，由韋達(dá)定理得，a b 40，ab 2 0，則a 0、b0 a b， c 2 3時(shí)，由于a2 b (a b) 2 2ab 16 4 12