原子與原子核物理學(張國營)習題答案

1、原子與原子核物理學習題答案第1章 1.1 若盧瑟福散射用的粒子是放射性物質(zhì)鐳放射的，其動能為電子伏特。散射物質(zhì)是原子序數(shù)的金箔。試問散射角所對應的瞄準距離多大？解：根據(jù)盧瑟福散射公式：得到：米式中是粒子的功能。1.3 釙放射的一種粒子的速度為米/秒，正面垂直入射于厚度為米、密度為的金箔。試求所有散射在的粒子占全部入射粒子數(shù)的百分比。已知金的原子量為。解：散射角在之間的粒子數(shù)與入射到箔上的總粒子數(shù)n的比是：其中單位體積中的金原子數(shù)：而散射角大于的粒子數(shù)為：所以有：等式右邊的積分：故即速度為的粒子在金箔上散射，散射角大于以上的粒子數(shù)大約是。1.4能量為3.5兆電子伏特的細粒子束射到單位面積上質(zhì)量為

2、的銀箔上，粒子與銀箔表面成角。在離L=0.12米處放一窗口面積為的計數(shù)器。測得散射進此窗口的粒子是全部入射粒子的百萬分之29。若已知銀的原子量為107.9。試求銀的核電荷數(shù)Z。60ºt,t20º60°圖1.1解：設(shè)靶厚度為。非垂直入射時引起粒子在靶物質(zhì)中通過的距離不再是靶物質(zhì)的厚度，而是，如圖1-1所示。因為散射到與之間立體角內(nèi)的粒子數(shù)dn與總?cè)肷淞Ｗ訑?shù)n的比為： (1)而為： （2）把（2）式代入（1）式，得：（3）式中立體角元N為原子密度。為單位面上的原子數(shù)，其中是單位面積式上的質(zhì)量；是銀原子的質(zhì)量；是銀原子的原子量；是阿佛加德羅常數(shù)。將各量代入（3）式，得：

3、由此，得：Z=471.5 動能為40MeV的粒子和靜止的鉛核(Z=82)作對心碰撞時的最小距離是多少?解：由公式: , 當對心碰撞時,則1.6 動能為0.87MeV的質(zhì)子接近靜止的汞核(Z=80),當散射角時,它們之間的最小距離是多少?解：最小距離為: 1.7試計算氫原子的第一玻爾軌道上電子繞核轉(zhuǎn)動的頻率、線速度和加速度。解：電子在第一玻爾軌道上即年n=1。根據(jù)量子化條件，可得：頻率 速度：米/秒加速度：1.9 試由氫原子的里德伯常數(shù)計算基態(tài)氫原子的電離電勢和第一激發(fā)電勢。解：電離能為，把氫原子的能級公式代入，得： = 13.60電子伏特。電離電勢：伏特第一激發(fā)能：電子伏特第一激發(fā)電勢：伏特1

4、.10 用能量為12.5電子伏特的電子去激發(fā)基態(tài)氫原子，問受激發(fā)的氫原子向低能基躍遷時，會出現(xiàn)那些波長的光譜線？解：把氫原子有基態(tài)激發(fā)到你n=2,3,4等能級上去所需要的能量是： 其中電子伏特電子伏特電子伏特電子伏特其中小于12.5電子伏特，大于12.5電子伏特?？梢姡哂?2.5電子伏特能量的電子不足以把基態(tài)氫原子激發(fā)到的能級上去，所以只能出現(xiàn)的能級間的躍遷。躍遷時可能發(fā)出的光譜線的波長為：1.11 試估算一次電離的氦離子、二次電離的鋰離子的第一玻爾軌道半徑、電離電勢、第一激發(fā)電勢和賴曼系第一條譜線波長分別與氫原子的上述物理量之比值。解：在估算時，不考慮原子核的運動所產(chǎn)生的影響，即把原子核視

5、為不動，這樣簡單些。a) 氫原子和類氫離子的軌道半徑：b) 氫和類氫離子的能量公式：其中電離能之比：c) 第一激發(fā)能之比：d) 氫原子和類氫離子的廣義巴耳末公式：，其中是里德伯常數(shù)。氫原子賴曼系第一條譜線的波數(shù)為：相應地，對類氫離子有：因此，1.15 試問二次電離的鋰離子從其第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時發(fā)出的光子，是否有可能使處于基態(tài)的一次電離的氦粒子的電子電離掉？解：由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷時發(fā)出的光子的能量為：的電離能量為：由于，從而有，所以能將的電子電離掉。1.17 已知一對正負電子繞其共同的質(zhì)心轉(zhuǎn)動會暫時形成類似于氫原子結(jié)構(gòu)的“正電子素”。試計算“正電子素”由第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷發(fā)射光譜的波長

6、為多少？解：1.18氫與其同位素氘（質(zhì)量數(shù)為2）混在同一放電管中，攝下兩種原子的光譜線。試問其巴耳末系的第一條（）光譜線之間的波長差有多大？已知氫的里德伯常數(shù)，氘的里德伯常數(shù)。解：，1.19 原子序數(shù)Z=3，其光譜的主線系可用下式表示：。已知鋰原子電離成離子需要203.44電子伏特的功。問如把離子電離成離子，需要多少電子伏特的功？解：與氫光譜類似，堿金屬光譜亦是單電子原子光譜。鋰光譜的主線系是鋰原子的價電子由高的p能級向基態(tài)躍遷而產(chǎn)生的。一次電離能對應于主線系的系限能量，所以離子電離成離子時，有是類氫離子，可用氫原子的能量公式，因此時，電離能為：。設(shè)的電離能為。而需要的總能量是E=203.44

7、電子伏特，所以有1.20 試證明氫原子中的電子從n+1軌道躍遷到n軌道，發(fā)射光子的頻率。當n>>1時光子頻率即為電子繞第n玻爾軌道轉(zhuǎn)動的頻率。證明：在氫原子中電子從n+1軌道躍遷到n軌道所發(fā)光子的波數(shù)為：頻率為：當n>>時，有，所以在n>>1時，氫原子中電子從n+1軌道躍遷到n軌道所發(fā)光子的頻率為：。設(shè)電子在第n軌道上的轉(zhuǎn)動頻率為，則因此，在n>>1時，有由上可見，當n>>1時，請原子中電子躍遷所發(fā)出的光子的頻率即等于電子繞第n玻爾軌道轉(zhuǎn)動的頻率。這說明，在n很大時，玻爾理論過渡到經(jīng)典理論，這就是對應原理。2.4經(jīng)過10000伏特電勢

8、差加速的電子束的德布羅意波長 用上述電壓加速的質(zhì)子束的德布羅意波長是多少？解：德布羅意波長與加速電壓之間有如下關(guān)系： 對于電子：把上述二量及h的值代入波長的表示式，可得：對于質(zhì)子，代入波長的表示式，得：2.9假設(shè)粒子只在一維空間運動，它的狀態(tài)可用如下波函數(shù)來描寫： 式中，E和a分別為確定常數(shù)，A為歸一化系數(shù)，計算歸化的波函數(shù)和概率密度。解：根據(jù)波函數(shù)的歸一化條件，有得 故歸一化波函數(shù)為 相應的概率密度2.10假設(shè)氫原子處于n =3, l =1的激發(fā)態(tài) ,問原子的軌道角動量如何？其在空間有哪些可能取向?計算各可能取向的角動量與 z 軸之間的夾角。 解：由于軌道角動量由角量子數(shù)決定，而角量子數(shù)為=

9、1,則軌道角動量取值為： ，角動量空間取向有三個，即2hp4hh 2.11 史特恩-蓋拉赫實驗中，處于基態(tài)的窄銀原子束通過不均勻橫向磁場，磁場的梯度為特斯拉/米，磁極縱向范圍=0.04米(見圖2-2)，從磁極到屏距離=0.10米，原子的速度米/秒。在屏上兩束分開的距離米。試確定原子磁矩在磁場方向上投影的大?。ㄔO(shè)磁場邊緣的影響可忽略不計）。解：銀原子在非均勻磁場中受到垂直于入射方向的磁場力作用。其軌道為拋物線；在區(qū)域粒子不受力作慣性運動。經(jīng)磁場區(qū)域后向外射出時粒子的速度為，出射方向與入射方向間的夾角為。與速度間的關(guān)系為：粒子經(jīng)過磁場出射時偏離入射方向的距離S為：（1）將上式中用已知量表示出來變可

10、以求出把S代入（1）式中，得：整理，得：由此得：第三章3.1 已知原子光譜主線系最長波長，輔線系系限波長。求鋰原子第一激發(fā)電勢和電離電勢。解：主線系最長波長是電子從第一激發(fā)態(tài)向基態(tài)躍遷產(chǎn)生的。輔線系系限波長是電子從無窮處向第一激發(fā)態(tài)躍遷產(chǎn)生的。設(shè)第一激發(fā)電勢為，電離電勢為，則有：3.2 原子的基態(tài)3S。已知其共振線波長為5893，漫線系第一條的波長為8193，基線系第一條的波長為18459，主線系的系限波長為2413。試求3S、3P、3D、4F各譜項的項值。解：將上述波長依次記為容易看出：3.3 K原子共振線波長7665，主線系的系限波長為2858。已知K原子的基態(tài)4S。試求4S、4P譜項的量

11、子數(shù)修正項值各為多少？解：由題意知：由，得：設(shè),則有與上類似3.4 處于3D(3P)激發(fā)態(tài)的鋰原子，向低能級躍遷時可產(chǎn)生哪些光譜線？在能級圖上表示出來：（1）不考慮精細結(jié)構(gòu)；（2）考慮精細結(jié)構(gòu)。解：（1）不考慮精細結(jié)構(gòu)時，如圖（a）所示。（2）考慮精細結(jié)構(gòu)時，如圖（b）所示。2S22222PPP PPP3P3DP3S3P3D(圖a)32S1/222S1/222P3/222P1/232P3/232P1/232D5/232D3/23.5 鈉原子共振線的雙線波長分別為589.0nm和589.6nm，試求3P能級精細結(jié)構(gòu)的裂距。解：3.6 試計算氫原子賴曼線系第一條譜線的精細結(jié)構(gòu)分裂的波長差。解：如右

12、圖示，賴曼線系第一條譜線的兩條分線為 ， 由能級公式 （，）Å第四章4.1按L-S耦合寫出下列組態(tài)所組成的全部原子態(tài),并寫出原子態(tài)符號.(1) (2) (3) (4) (5) 解: (1) , , ® , .構(gòu)成1S0,3S1.(2) , , ® , .構(gòu)成的原子態(tài)如表(2).(3) , , ® , .構(gòu)成的原子態(tài)如表(3).(4) , , ® , .構(gòu)成的原子態(tài)如表(4).(5) , ® , .構(gòu)成的原子態(tài)如表(5).S=0S=1L=11P13P2,1,0(2) S=0S=1L=21D23D3,2,1(3)S=0S=1L=

13、11P13P2,1,0L=21D23D3,2,1L=31F33F4,3,2(4) S=0S=1L=01S03S1L=11P13P2,1,0L=21D23D3,2,1L=31F33F4,3,2L=41G43G5,4,3(5)4.2已知氦原子的2p3d 組態(tài)所構(gòu)成的光譜項之一為3D,問這兩個電子的軌道角動量L1和L2之間的夾角,自旋角動量S1和S2之間的夾角分別是多少?解: 對組態(tài)為2p3d的兩個電子l1 =1 , l2 =2 , s1 = s2 = 1/ 2.軌道角動量大小為 , 它們構(gòu)成的光譜項3D對應的 l = 2 , s = 1即它們總的軌道角動量L的大小為 它們總的自旋角動量S

14、的大小為 由L = L1 + L2 ,如右圖所示,可得軌道角動量L1和L2之間的夾角則: , .類似地自旋角動量S1和S2的大小為 則自旋角動量S1和S2之間的夾角得: , .4.3寫出下列各態(tài)中S、L、J值并指出這些原子態(tài)中哪些是可能的，哪些是不可能的。 4.4試以兩個價電子為例說明,不論是LS耦合還是jj耦合都給出同樣數(shù)目的可能狀態(tài).證明:(1)LS耦合5個 L值分別得出5個J值,即5個單重態(tài)代入一個L值便有一個三重態(tài)個L值共有乘等于個原子態(tài)：因此，LS耦合時共有個可能的狀態(tài)（）jj耦合：將每個合成J得：共個狀態(tài)：所以，對于相同的組態(tài)無論是LS耦合還是jj耦合，都會給出同樣數(shù)目的可能狀態(tài)3

15、s1S04s1S03p1P14s3S13p3P23p3P13p3P0(4.5題圖)4.5已知Mg原子(Z=12)的光譜項的各多重態(tài)(原子態(tài))屬于L-S耦合,則該原子由3s4s組態(tài)向3s3s組態(tài)躍遷時,將出現(xiàn)哪些譜線?畫出能級躍遷圖.(提示:中間有3s3p組態(tài),三重態(tài)為正常次序)解: 3s3s構(gòu)成基態(tài)1S0；3s3p構(gòu)成3p1P1和3p3P2,1,0; 3s4s構(gòu)成4s1S0和4s3S1。出現(xiàn)的譜線如圖所示：1S01P13S13P13P03P24s5s5s4p4p(4.6題圖)4.6Ca原子的能級是單層和三重結(jié)構(gòu), 三重結(jié)構(gòu)中J大的能級高,其銳線系的三重線的頻率,其頻率間隔為, ,試求其頻率間隔

16、值.解: Ca原子(Z=20)基態(tài)的電子組態(tài)為 1s22s22p63s23p64s2, 基態(tài)譜項 4s2 1S0 ; 激發(fā)態(tài)電子組態(tài)4s4p構(gòu)成的原子態(tài)為1P1和3P2,1,0; 電子組態(tài)4s5s構(gòu)成原子態(tài)1S0和3S1.銳線系三重線對應電子躍遷情況如圖所示,由朗得間隔定則,得:.4.8 已知He原子的一個電子被激發(fā)到2p軌道,而另一個電子還在1s軌道,1S01P13S13P13P03P21s2s2p2p2s(4.8題圖)試作出能級躍遷圖來說明可能出現(xiàn)哪些光譜線的躍遷.解: 原子基態(tài)為1s1s1S0;激發(fā)態(tài)1s2p構(gòu)成原子態(tài)1s2p1P1和1s2p3P2,1,0.激發(fā)態(tài)1s2s構(gòu)成原子態(tài)1s2

17、s1S0和1s2s3S1. 可能出現(xiàn)的光譜線的躍遷，如圖所示.4.9 Pb原子基態(tài)的兩個價電子都在6p軌道,若其中一個價電子被激發(fā)到7s軌道,而其價電子間相互作用屬于j-j耦合.問此時Pb原子可能有哪些狀態(tài).解: 鉛原子的基態(tài)為6p6p3P0(6p6p構(gòu)成的原子態(tài)有1S0;3P2,1,0;1D2);激發(fā)態(tài)6p7s的兩個電子量子數(shù) ,s1=1/2; l2=0,s2=1/2 由j-j耦合可得: j1=3/2,1/2 ;j2=1/2.由j1=1/2, j2=1/2 得j=1,0 構(gòu)成(1/2,1/2)1,(1/2,1/2)0兩個原子態(tài);j1=3/2, j2=1/2 得j=2,1 構(gòu)成(3/2,1/2

18、)2,(3/2,1/2)1兩個原子態(tài).可見,共有4個不同的原子態(tài).第五章5.3若已知釩原子束，按照史特恩-蓋拉赫實驗方法通過及不均勻的磁場時，分裂成4個成分，試確定這些原子的有效磁矩和磁矩的最大投影值。解：原子的磁矩在磁矩方向的分量為其中M=J,J-1,-J；式中的負號表示當M是正值時，和磁場方向相反，當M是負值時和磁場方向相同。在磁場中有2J+1個取向。在磁場中的最大分量：對于釩（）：因為2S+1=4，所以：自旋S=3/2因為是F項，所以角量子數(shù)L=3,因為在非均勻磁場中，其原子束分裂為4個成分，則有2J+1=4，所以J=3/2。根據(jù)S、L、J值求得g為:5.4已知原子躍遷的光譜線在磁場中分

19、裂為三條光譜線，其間距，試計算所用磁場的感應強度。解：裂開后的譜線同原譜線的波數(shù)之差為：氦原子的兩個價電子之間是LS型耦合。對應原子態(tài)，；，對應原子態(tài)，。又因譜線間距相等：。5.5漫線系的一條譜線在弱磁場中將分裂成多少條譜線？試作出相應的能級躍遷圖。解：在弱磁場中，不考慮核磁矩。能級：能級：所以：在弱磁場中由躍遷產(chǎn)生的光譜線分裂成六條，譜線之間間隔不等。2D3/22P1/2無磁場有磁場-3/2 -1/2M3/2 106/31/2 1/2 -1/2 s s p ps s 5.6 在平行于磁場方向觀察到某光譜線的正常塞曼效應分裂的兩譜線間波長差是。所用的磁場的B是2.5特斯拉，試計算該譜線原來的波

20、長。解：對單重項（自旋等于零）之間的躍遷所產(chǎn)生的譜線可觀察到正常塞曼效應。它使原來的一條譜線分裂為三條，兩個成分，一個成分。成分仍在原來位置，兩個成分在成分兩側(cè)，且與成分間的波數(shù)間隔都是一個洛侖茲單位L。又符號表示波長增加波數(shù)減少。根據(jù)題設(shè)，把近似地看作成分與成分間的波長差，則有：其中因此，5.7氦原子光譜中波長為及的兩條譜線，在磁場中發(fā)生塞曼效應時應分裂成幾條？分別作出能級躍遷圖。問哪一個是正常塞曼效應？哪個不是？為什么？解：（1）?？梢园l(fā)生九種躍遷，但只有三個波長，所以的光譜線分裂成三條光譜線，且裂開的兩譜線與原譜線的波數(shù)差均為L，是正常塞曼效應。（2）對，所以的光譜線分裂成三條，裂開的兩

21、譜線與原譜線的波數(shù)差均為2L，所以不是正常塞曼效應。5.8 躍遷的精細結(jié)構(gòu)為兩條，波長分別為5895.93埃和5889.96埃。試求出原能級在磁場中分裂后的最低能級與分裂后的最高能級相并合時所需要的磁感應強度。解：對磁場引起的附加能量為：設(shè)對應的能量分別為，躍遷產(chǎn)生的譜線波長分別為；那么，。能級在磁場中發(fā)生分裂，的附加磁能分別記為；現(xiàn)在尋求時的B。由此得：即：因此，有：其中，將它們及各量代入上式得：B=15.8特斯拉。5.9 鉈原子氣體在狀態(tài)。當磁鐵調(diào)到B=0.2特斯拉時，觀察到順磁共振現(xiàn)象。問微波發(fā)生器的頻率多大？解：對原子態(tài)：由得代入各已知數(shù)，得。5.10 鉀原子在B=0.3特斯拉的磁場中

22、，當交變電磁場的頻率為赫茲時觀察到順磁共振。試計算朗德因子，并指出原子處在何種狀態(tài)？解：由公式，得：鉀外層只有一個價電子，所以又將代入上式，得到：整理，得：當時，上方程有兩個根：當時，上方程有兩個根：由于量子數(shù)不能為負數(shù)，因此無意義，棄之。因此鉀原子處于狀態(tài)。第六章6.1 有兩種原子，在基態(tài)時其電子殼層是這樣添充的：n=1殼層、n=2殼層和3s次殼層都填滿，3p次殼層填了一半。試問這是哪種原子？解：根據(jù)每個殼層上能容納的最多電子數(shù)為和每個次殼層上 能容納得最多電子數(shù)為 。 n=1殼層、n=2殼層填滿時的電子數(shù)為： 3s次殼層填滿時的電子數(shù)為： 3p次殼層填滿一半時的電子數(shù)為： 所以此中原子共有

23、15個電子，即Z=15，是P(磷)原子。 6.4 原子的S、P、D項的量子修正值。把譜項表達成形式，其中Z是核電荷數(shù)。試計算3S、3P、3D項的分別為何值？并說明的物理意義。解：原子的光譜項可以表示為。因此。由此得：故： 的物理意義是：軌道貫穿和原子實極化等效應對價電子的影響，歸結(jié)為內(nèi)層電子對價電子的屏蔽作用。6.6 某X光機的高壓為10萬伏，問發(fā)射光子的最大能量多大？算出發(fā)射X光的最短波長。解：電子的全部能量轉(zhuǎn)換為光子的能量時，X光子的波長最短。而光子的最大能量是：電子伏特而 所以6.7 已知Cu的線波長是1.542，以此X射線與NaCl晶體自然而成角入射而得到第一級極大。試求NaCl晶體常

24、數(shù)。解：已知入射光的波長，當掠射角時，出現(xiàn)一級極大（n=1）。6.8鋁（Al）被高速電子束轟擊而產(chǎn)生的連續(xù)X光譜的短波限為5。問這時是否也能觀察到其標志譜K系線？解：短波X光子能量等于入射電子的全部動能。因此電子伏特要使鋁產(chǎn)生標志譜K系，則必須使鋁的1S電子吸收足夠的能量被電離而產(chǎn)生空位，因此轟擊電子的能量必須大于或等于K吸收限能量。吸收限能量可近似的表示為： 這里，；所以有：故能觀察到。6.15已知Al和Cu對于的X光的質(zhì)量吸收系數(shù)分別是，Al和Cu的密度分別是和?，F(xiàn)若分別單獨用Al板或Cu板作擋板，要的X光的強度減至原來強度的1/100。問要選用的Al板或Cu板應多厚？解：，因為X光子能量

25、較低，通過物質(zhì)時，主要是電離吸收，故可只考慮吸收而略掉散射。所以有：對于Al: 對于Cu: 第七章7.17.2 從中移去一個中子需要多少能量?已知; .解: 7.4 在鈹核內(nèi)每個核子的平均(比)結(jié)合能為6.45MeV,而在氦核內(nèi)為7.06 MeV,要把分裂為兩個粒子,問是吸收還是放出多少能量?解: 分裂前的總結(jié)合能為:分裂后的總結(jié)合能為:為使分裂能實現(xiàn),外部必須供給的能量為:.7.10實驗測得處于同一狀態(tài)的226Ra放出兩組粒子,相應的動能為4.793MeV和4.612MeV.(1) 分別求出衰變能;(2) 計算所輻射光子頻率;(3) 畫出核能級躍遷示意圖.解: （鐳）（氡）00.1843(Mev) (1) (2) 所輻射光子能量: 由, 則 (3) 核能級躍遷圖:7.11 已知的質(zhì)量分別為3.016050u和3.016030u,計算放射出的粒子的最大能量.解: 衰變能: 由于中微子的質(zhì)量為零,He核的動能可忽略不計，所以在電子和中微子之間分配。當中微子的動能為零時，電子的動能為最大值，即0.1863MeV. 7.12 激發(fā)能