巧用輔助圓,妙解幾何題

1、巧用輔助圓，妙解幾何題 在一些數(shù)學(xué)題中，看似與圓毫無(wú)關(guān)系但是用常規(guī)的解題方法卻無(wú)法解決問(wèn)題，而通過(guò)題中的某些條件構(gòu)造輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)進(jìn)行解答，往往就會(huì)使題目簡(jiǎn)單化，從而使難題迎刃而解.本文結(jié)合一些實(shí)例，探析如何巧用輔助圓妙解幾何題. 一、幾何問(wèn)題中的求線段長(zhǎng)度 求線段的長(zhǎng)度是初中數(shù)學(xué)比較常見(jiàn)的問(wèn)題.該問(wèn)題的常規(guī)解法是通過(guò)做垂直線構(gòu)建直角三角形從而運(yùn)用勾股定理或是巧用面積公式.但是在一些問(wèn)題中，通過(guò)直接作出垂線，往往會(huì)使圖形更加復(fù)雜，從而不能成功解題 例1 如圖所示，在四邊形中，已知，.則 . 解析 通過(guò)題干中的條件，我們可以想到以為圓心，為半徑作圓.根據(jù)圓的性質(zhì):直徑對(duì)應(yīng)的圓周角為直角，可

2、以延長(zhǎng)交于于點(diǎn)，連接，如圖所示，此時(shí)為直角三角形.，由勾股定理得BD. 點(diǎn)撥 根據(jù)題干中的線段相等，從而構(gòu)建輔助圓，接著利用圓的性質(zhì)進(jìn)行解題.其中需要注意的是，雖然輔助圓能做出，但是要想解題，就要對(duì)圓的性質(zhì)有一個(gè)深刻的理解. 二、幾何問(wèn)題中的求角的度數(shù) 求角的度數(shù)問(wèn)題一般都是以三角形為載體，該問(wèn)題的常規(guī)解法是利用三角函數(shù)的知識(shí)去解答，但是由于初中數(shù)學(xué)只學(xué)習(xí)了一些特殊的三角函數(shù)值且在直角三角形的載體中.當(dāng)遇到一般的三角形，此時(shí)學(xué)生往往會(huì)無(wú)計(jì)可施 例2 如圖所示，在中，其中，是的平分線，則 . 解析 由題意得，本題要求的是，由于此題告知任意一個(gè)角的大小且也不是直角三角形，因此運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)是很

3、難解答該題的.由題干中平分，可得.作的外接圓，如圖所示.根據(jù)圓的性質(zhì)可得，.因?yàn)樗倪呅螢閮?nèi)接四邊形，所以，所以，.因?yàn)榍?，所?因?yàn)?，在中，即，?在中，得. 點(diǎn)撥 此題是根據(jù)角平分線從而想到畫(huà)出三角形的外接圓，然后找出各角之間的關(guān)系進(jìn)行解答的.因此，在求解角的度數(shù)時(shí)，要充分運(yùn)用輔助圓，找出相等的角，最后通過(guò)運(yùn)用三角形內(nèi)角和為列出式子求解.此類題型的難點(diǎn)在于，如何畫(huà)出輔助圓. 三、幾何問(wèn)題中的求最值 求最值的問(wèn)題在中考中是常見(jiàn)問(wèn)題，其一般的思路就是設(shè)未知數(shù)，然后尋找關(guān)系列出函數(shù)表達(dá)式，即可解答出.雖然解題思路清晰，但是此類題型的難點(diǎn)就是在如何將條件整合起來(lái)，找出其之間的關(guān)系， 例3 如圖所示，

4、在中，動(dòng)點(diǎn)、分別在、上，則 . 解析 經(jīng)過(guò)審題后，感覺(jué)就是獨(dú)立的，無(wú)法向已知條件上靠，唯一可以用的就是，但是無(wú)法運(yùn)用勾股定理，因?yàn)槿龡l邊都是未知的.但是通過(guò)仔細(xì)審題，從條件出發(fā)，可以想到圓的直徑對(duì)應(yīng)的圓周角為直角此時(shí)可以試一下，看畫(huà)出輔助圓對(duì)解題有無(wú)幫助.通過(guò)圖可以看出，要想最小，與要相切.此時(shí)就可以根據(jù)，可得，此時(shí)設(shè)，解得，所以. 點(diǎn)撥 根據(jù)題干中條件畫(huà)出輔助圓，借助圓的性質(zhì):圓心到切點(diǎn)之間的線段最短是解答本題關(guān)鍵，可見(jiàn)輔助圓對(duì)題目的綜合分析起了很大的作用.其中需要特別注意的是，當(dāng)題中給出直角時(shí)不能單單的只想到勾股定理也要聯(lián)想到圓. 綜上所述，在解答幾何問(wèn)題時(shí)，如若發(fā)現(xiàn)運(yùn)用常規(guī)方法不能解決問(wèn)題或是解決過(guò)程比較繁瑣，此時(shí)可以通過(guò)仔細(xì)審題，挖掘題干中與圓有聯(lián)系的條件，