華中科技大學課件 貝塞爾函數(shù)

1、1附錄：附錄：),0()(10 xdttexxt .)21(, 1) 1 ( ) 1(1)(xxxxn!.) 1 (!) 1() 1()() 1(nnnnnnnn , 2, 1, 0n. 0)(1 n函數(shù)的基本知識函數(shù)的基本知識(1)(1) 定義定義(2)(2)函數(shù)的遞推公式函數(shù)的遞推公式時，有時，有為為正整數(shù)正整數(shù)特別的，當特別的，當(3)(3)當當時時2第五章第五章 貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)在應用分離變量法解其他偏微分方程的定解問在應用分離變量法解其他偏微分方程的定解問題時，也會導出其他形式的常微分方程邊值問題，題時，也會導出其他形式的常微分方程邊值問題，從而引出各種各樣坐標函數(shù)系。這些坐標函

2、數(shù)系就從而引出各種各樣坐標函數(shù)系。這些坐標函數(shù)系就是人們常說的是人們常說的特殊函數(shù)特殊函數(shù)。本章，我們將通過在柱坐標系中對定解問題進本章，我們將通過在柱坐標系中對定解問題進行行分離變量分離變量，導出貝塞爾方程；然后討論這個方程，導出貝塞爾方程；然后討論這個方程的解法及解的有關的解法及解的有關性質(zhì)性質(zhì)；最后再來介紹貝塞爾函數(shù)；最后再來介紹貝塞爾函數(shù)在解決數(shù)學物理中有關定解問題的一些在解決數(shù)學物理中有關定解問題的一些應用應用。35.1 5.1 貝塞爾方程及貝塞爾函數(shù)貝塞爾方程及貝塞爾函數(shù)一、貝塞爾方程的導出一、貝塞爾方程的導出在應用分離變量法解決圓形膜的振動問題或在應用分離變量法解決圓形膜的振動問

3、題或薄圓盤上瞬時溫度分布規(guī)律時，我們就會遇到薄圓盤上瞬時溫度分布規(guī)律時，我們就會遇到貝塞爾方程貝塞爾方程。下面，我們以圓盤的瞬時溫度分下面，我們以圓盤的瞬時溫度分布為例來布為例來導出貝塞爾方程導出貝塞爾方程。R設有設有半徑半徑為為的圓形薄盤，的圓形薄盤，上下兩面絕熱，上下兩面絕熱，圓盤圓盤邊界上邊界上的溫度始終的溫度始終保持保持0 0度度， 且且初始溫度初始溫度分布為分布為已知已知，求圓盤內(nèi)的瞬時溫度分布規(guī)律。求圓盤內(nèi)的瞬時溫度分布規(guī)律。),(tyxu),(yx我們用我們用來表示時刻來表示時刻處的溫度函數(shù)。處的溫度函數(shù)。t圓盤上點圓盤上點42222() (),txxyyua uuxyR, 0|

4、222Ryxu).,(|0yxut這個問題歸結為求解下列定解問題：這個問題歸結為求解下列定解問題：(2)(2)(1)(1)(3)(3),(),(),(tTyxVtyxu,)(2TVVaTVyyxxVTa21VVVTaTyyxx2),0(應用應用分離變量法分離變量法求這個問題的解。求這個問題的解。為此，令為此，令代入方程代入方程(1)(1)得得用用乘之，得乘之，得5, 02TaT. 0VVVyyxx.)(2taAetT, 0)(|222tTVRyx. 0|222RyxV于是有于是有2222() (),txxyyua uuxyR, 0|222Ryxu).,(|0yxut(2)(2)(1)(1)(3

5、)(3)(4)(4)(5)(5)方程方程(4)(4)的解為的解為亥姆霍茲亥姆霍茲方程方程由邊界條件由邊界條件(2)(2)有有(6)(6)6, 0VVVyyxx. 0|222RyxV),0(01122222RrVVrrVrrV . 0|RrV2222() (),txxyyua uuxyR, 0|222Ryxu).,(|0yxut(2)(2)(1)(1)(3)(3)為了求解方程為了求解方程(5)(5)滿足條件滿足條件(6)(6)的非零解，的非零解，(5)(5)(6)(6)我們采用平面上的我們采用平面上的極坐標系極坐標系，則得定解問題，則得定解問題(7)(7)(8)(8)7, 0 GG. 0)(22

6、 FrFrFr),()(),(GrFrV, 0112 FGGFrGFrGFFGr2FFrFrFrGG22 ,),0(01122222RrVVrrVrrV . 0|RrV(7)(7)(8)(8)再令再令代入方程代入方程(7)(7)得得兩端乘以兩端乘以移項得移項得于是有于是有(9)(9)(10)(10)8),(tyxu),(yxV),2,(),(rVrV),2()( GG, 0 GG),2()( GG2n), 2, 1, 0( n, 0 GG. 0)(22 FrFrFr(9)(9)(10)(10)由于溫度函數(shù)由于溫度函數(shù)是單值的，是單值的， 所以所以也必也必是單值函數(shù)，即是單值函數(shù)，即求解常微分方

7、程的邊值問題求解常微分方程的邊值問題可得可得.sincos)(nbnaGnnn0021)(aG), 2, 1( n9, 0 GG. 0)(22 FrFrFr(9)(9)(10)(10)2n, 0)(222 FnrFrFr0|RrV, 0)()(),(GRFRV,| )0(|F. 0)(RF將將代入方程代入方程(10)(10)得得(11)(11)該方程叫做該方程叫做n階階貝塞爾方程貝塞爾方程。由邊界條件由邊界條件(8)(8)可知可知另外，由于圓盤上的另外，由于圓盤上的溫度溫度是是有限有限的，的， 特別在圓心特別在圓心處也應如此，由此可得處也應如此，由此可得100)(RF, 0)(222 FnrF

8、rFr,| )0(|F, rx),()(xyxFrF,xryF,)(xxxxrryyF. 0)(222 ynxyxyx因此，原定解問題的最后解決就歸結為求問題因此，原定解問題的最后解決就歸結為求問題的的固有值固有值與與固有函數(shù)固有函數(shù)。若令若令并記并記(11)(11)將上式代入方程將上式代入方程(11)(11)可可得得則則(12)(12)方程方程(12)(12)是具有變系數(shù)的二階線性常微分方程，是具有變系數(shù)的二階線性常微分方程，它的解稱為它的解稱為貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)。 ( (有時稱之為有時稱之為柱函數(shù)柱函數(shù)) )。11二、貝塞爾函數(shù)二、貝塞爾函數(shù). 0)(222 ynxyxyx(12)(12

9、)0)(kkskxaxy),0(0askas ,)., 2, 1, 0( k01,)(kkskxksay 02)(1(kkskxksksay由微分方程解的理論知：方程由微分方程解的理論知：方程(12)(12)有如下形式有如下形式的廣義的廣義冪級數(shù)解冪級數(shù)解：(13)(13)其中其中為常數(shù)，為常數(shù)， 下面來確定下面來確定為此，將為此，將(13)(13)以及以及帶入方程帶入方程(12)(12)12. 0)(222 ynxyxyx(12)(12)0)(kkskxaxy),0(0a01,)(kkskxksay 02)(1(kkskxksksay(13)(13)可得可得02kkskxan0)(kkskx

10、ksa0)(1(kkskxksksa, 002kkskxa02)()(1(kkskxnksksksa, 022kkskxa13. 0)(222 ynxyxyx(12)(12)0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13)022)(kkskxnksa, 022kkskxa222)(kkskxnksa, 022kkskxasxans022)(1122) 1(sxanssxans022)(1122) 1(sxans, 0)(2222kkskkxaanks14sxans022)(1122) 1(sxans, 0)(2222kkskkxaanks, 0)(022ans, 0) 1(122ans),

11、3, 2(0)(222 kaankskk0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13), 00a,1ns .2ns比較上式兩邊系數(shù)則有比較上式兩邊系數(shù)則有(14)(14)(15)(15)(16)(16)由于由于從從(14)(14)可得可得下面分三種情形討論下面分三種情形討論15, 0) 1(122ans0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13)(15)(15), 3, 2(0)(222 kaankskk(16)(16)nnss221,1ns , 01a.)2(2knkaakk, 0531aaa情形情形1 1如果如果不為整數(shù)不為整數(shù)( (包括包括0)0)和半奇數(shù)，和半奇數(shù)， 則則也不

12、為整數(shù)。也不為整數(shù)。 先取先取代入代入(15)(15)得得代入代入(16)(16)得得)., 3, 2( k(17)(17)由由(17)(17)可知可知16)22(202naa,) 1(1220na)42(424naa)42)(22(420nna,)2)(1( 12240nna,)()2)(1( !2) 1(202mnnnmaammm0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13).)2(2knkaakk)., 3, 2( k(17)(17)另外另外170a2.) 1(210nan),1()(nnn) 1(!21) 1(22mnmamnmmx由于由于是任意常數(shù)，是任意常數(shù)，我們可以這樣取值：

13、我們可以這樣取值：使一般項系數(shù)中使一般項系數(shù)中與與有有相同的次數(shù)相同的次數(shù)，并且同，并且同時時使使分母簡化分母簡化。 為此取為此取利用利用遞推公式遞推公式則一般項系數(shù)變?yōu)閯t一般項系數(shù)變?yōu)閷⒋讼禂?shù)表達式代回將此系數(shù)表達式代回(13)(13)中，中，0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13),)()2)(1( !2) 1(202mnnnmaammm18nmnmmnxaxJ202)(,) 1(!2) 1(022mmnmnmmnmx)(xJn. 0)(222 ynxyxyx(12)(12)0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13)得到方程得到方程(12)(12)的一個的一個特解特解，記

14、作，記作)(xJnmmmuu1lim) 1)(1(4lim2mnmxm(18)(18)稱為稱為階階第一類貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)。01又由于又由于則由則由達朗貝爾判別法達朗貝爾判別法可知級數(shù)可知級數(shù)(18)(18)在整個實軸上在整個實軸上是是絕對收斂絕對收斂的。的。19, 0) 1(122ans0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13)(15)(15), 3, 2(0)(222 kaankskk(16)(16),2ns, 01a.)2(2knkaakk, 0531aaa再令再令代入代入(15)(15)得得代入代入(16)(16)得得)., 3, 2( k由上公式可知由上公式可知20)

15、22(202naa,) 1(1220na)42(424naa)42)(22(420nna,)2)(1( 12240nna,)()2)(1( !2) 1(202mnnnmaammm0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13).)2(2knkaakk)., 3, 2( k另外另外210a2.) 1(210nan),1()(nnn) 1(!21) 1(22mnmamnmmx由于由于是任意常數(shù)，是任意常數(shù)，我們可以這樣取值：我們可以這樣取值：使一般項系數(shù)中使一般項系數(shù)中與與有有相同的次數(shù)相同的次數(shù)，并且同，并且同時時使使分母簡化分母簡化。 為此取為此取利用利用遞推公式遞推公式則一般項系數(shù)變?yōu)閯t一

16、般項系數(shù)變?yōu)閷⒋讼禂?shù)表達式代回將此系數(shù)表達式代回(13)(13)中，中，,)()2)(1( !2) 1(202mnnnmaammm0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13)22nmnmmnxaxJ202)(,) 1(!2) 1(022mmnmnmmnmx)(xJn. 0)(222 ynxyxyx(12)(12)0)(kkskxaxy),0(0a(13)(13)得到方程得到方程(12)(12)的另外一個的另外一個特解特解，記作，記作)(xJn, nn)(xJn稱為稱為階階第一類貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)。)(xJn),()(xBJxAJynn(19)(19)BA ,由于由于所以所以與與線

17、性無關，線性無關， 由齊次由齊次線性常微分方程解的結構定理知，方程線性常微分方程解的結構定理知，方程(12)(12)的的通通解解為為其中其中為兩個任意常數(shù)。為兩個任意常數(shù)。(20)(20)n)(xJn稱為稱為階階第一類貝塞爾函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)。)(xJn與與線性無關線性無關，23. 0)(222 ynxyxyx(12)(12),()(xBJxAJynn(20)(20),cotnA ,cscnB.sin)(cos)()(nxJnxJxYnnn),()(xDYxCJynn(22)(22)(xYn如果在如果在(20)(20)中取中取則得方程則得方程(12)(12)的另一個與的另一個與)(xJn線性

18、無關線性無關的的特解特解，記作記作(21)(21)因此方程因此方程(12)(12)的的通解通解可寫成可寫成稱為稱為第二類貝塞爾函數(shù)第二類貝塞爾函數(shù)或或諾伊曼函數(shù)諾伊曼函數(shù)。240)(kkskxaxy),0(0a(13)(13), 3, 2(0)(222 kaankskk(16)(16)nnss221,1ns 情形情形2 2如果如果為整數(shù)為整數(shù)( (包括包括0)0)， 則則也為整數(shù)。也為整數(shù)。依照之前的做法，同樣可得方程依照之前的做法，同樣可得方程(12)(12)的兩個的兩個特解特解,) 1(!2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(18)(18),2ns,) 1(!2) 1()(022

19、mmnmnmnmnmxxJ(19)(19). 0)(222 ynxyxyx(12)(12)25,) 1(!2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(18)(18),) 1(!2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(19)(19)0n,)!() 1(mnmn)(xJn,)!( !2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(23)(23)(xJn注意當注意當為整數(shù)為整數(shù)時，利用時，利用函數(shù)的函數(shù)的遞推公式遞推公式可得可得從而從而特解特解之一之一(18)(18)可化為可化為而而此時此時函數(shù)函數(shù)與與線性相關線性相關。26n,N) 1( , 2, 1, 0Nm 11mNmn) 1(mN

20、,) 1(!2) 1()(22NmmNmNmNmNmxxJ事實上，事實上，我們不妨設我們不妨設為某正整數(shù)為某正整數(shù)當當時，時，將是將是,)!( !2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(23)(23),) 1(!2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(19)(19)負整數(shù)與負整數(shù)與0 0， 對于這些值對于這些值為無窮大，為無窮大，所以所以022) 1()!(2) 1()(kkNkNkNNkkNxxJ), 2, 1, 0( , kkNm令令得得27,)!( !2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(23)(23)022)!( !2) 1()(kkNkNkNNkNkxxJ則

21、化簡得則化簡得022)!( !2) 1() 1(kkNkNkNkNkx).() 1(xJNN)(xJn)(xJn)(xJn與與)0( nn當當為為整數(shù)整數(shù)時是時是這就說明了這就說明了線性相關線性相關的。的。為了求出為了求出貝塞爾方程的通解貝塞爾方程的通解，我們，我們還需要求出一個與還需要求出一個與線性無關的特解線性無關的特解。28,sin)(cos)(lim)(lim)(xJxJxYxYnnnn而當而當為整數(shù)為整數(shù)時，時，不為整數(shù)不為整數(shù)。)(xYn)(xJn與與n當當不為整數(shù)不為整數(shù)時，時，n其中其中為為整數(shù)整數(shù)，),() 1(xJJnnn,) 1(cosnn00.sin)(cos)()(n

22、xJnxJxYnnn(21)(21)由由(21)(21)式知，式知，是是由于由于于是于是(21)(21)式的右端成為式的右端成為形式的不定型，形式的不定型， 此時此時我們很自然地定義我們很自然地定義n而當而當為整數(shù)為整數(shù)時，時，)(xYn)(xJn與與n當當不為整數(shù)不為整數(shù)時，時，由由(21)(21)式知，式知，是是由于由于n為整數(shù)為整數(shù)時，時，)(xYn)(xJn與與n當當不為整數(shù)不為整數(shù)時，時，由由(21)(21)式知，式知，是是線性無關線性無關的，的，29CxxJxY2ln)(2)(0001022,112) !(1) 1(2mmkmmkxmCxxJxYnn2ln)(2)(1022!)!1

23、(1nmmnxmmn022)!( !1) 1(1mmnmxmnm10101111mnkmkkk), 3, 2, 1( n,sin)(cos)(lim)(lim)(xJxJxYxYnnn應用應用洛必達法則洛必達法則經(jīng)過冗長的推演經(jīng)過冗長的推演( (可參閱可參閱H.H.H.H.列別捷夫著，張燮譯列別捷夫著，張燮譯特殊函數(shù)及其應用特殊函數(shù)及其應用，高等教育出版社，高等教育出版社，19871987），得），得30n階階貝塞爾方程貝塞爾方程與與)(xJn線性無關線性無關CxxJxY2ln)(2)(0001022,112) !(1) 1(2mmkmmkxmCxxJxYnn2ln)(2)(1022!)!1(

24、1nmmnxmmn022)!( !1) 1(1mmnmxmnm10101111mnkmkkk), 3, 2, 1( n,5772. 0ln131211limnnCn)(xYn其中其中稱為稱為歐拉歐拉常數(shù)常數(shù)。顯然顯然是是特解特解。)0(nY無窮大無窮大31. 0)(222 ynxyxyx(12)(12),()()(xDYxCJxynnn是否為整數(shù)是否為整數(shù)，綜上所述，不論綜上所述，不論n為任意實數(shù)。為任意實數(shù)。DC ,其中其中為任意實數(shù)，為任意實數(shù)，),()()(xJxJnnn1n當當為為偶數(shù)偶數(shù)時，時，)(xJn為為偶函數(shù)偶函數(shù)；n當當為為奇數(shù)奇數(shù)時，時，)(xJn為為奇函數(shù)奇函數(shù)。n當當為

25、半奇數(shù)時，留在下一節(jié)討論。為半奇數(shù)時，留在下一節(jié)討論。貝塞爾方程貝塞爾方程(12)(12)的的通解通解都可表示為都可表示為另外，由另外，由推出，推出，情形情形3 3n為整數(shù)時為整數(shù)時，325.2 5.2 貝塞爾函數(shù)的遞推公式貝塞爾函數(shù)的遞推公式不同階的貝塞爾函數(shù)之間有一定的聯(lián)系，不同階的貝塞爾函數(shù)之間有一定的聯(lián)系， 本節(jié)本節(jié)來建立反映這種聯(lián)系的來建立反映這種聯(lián)系的遞推公式遞推公式。,) 1(!2) 1()(022mmnmnmnmnmxxJ(18)(18).sin)(cos)()(nxJnxJxYnnn(21)(21)(xJn),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdn

26、nnn由由的表達式的表達式(18)(18)可推出下列兩個基本可推出下列兩個基本遞推公式遞推公式：(25)(25)(26)(26)33)(xJxdxdnn11212) 1()!1(2) 1(mmnmmmnmx022) 1(!2) 1(mmnmmmnmxdxd,nxx),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn(25)(25)(26)(26)事實上，在事實上，在(18)(18)式的兩邊乘上式的兩邊乘上然后對然后對求導，得求導，得012121) 11(!2) 1(kknkkknkx), 2, 1, 0( ,1 kkm令令得得3402121) 11(!2) 1(kknk

27、nknknkxx),(1xJxnn同樣可以證明公式同樣可以證明公式(25)(25)。,nxx),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn(25)(25)(26)(26)事實上，在事實上，在(18)(18)式的兩邊乘上式的兩邊乘上然后對然后對求導，得求導，得012121) 11(!2) 1(kknkkknkx)(xJxdxdnn35),(2)()(11xJxnxJxJnnn).(2)()(11xJxJxJnnn),()()(1xxJxnJxJxnnn),()()(1xxJxnJxJxnnn)(xJn),(xJn),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJ

28、xxJxdxdnnnn(25)(25)(26)(26)如果將以上兩式左端的導數(shù)表出，化簡后則得如果將以上兩式左端的導數(shù)表出，化簡后則得先后消去先后消去與與則得則得(27)(27)(28)(28)顯然顯然(25)(26)(25)(26)式與式與(27)(28)(27)(28)式是式是等價等價的。的。36),(2)()(11xJxnxJxJnnn).(2)()(11xJxJxJnnn),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn(25)(25)(26)(26)(27)(27)(28)(28)(1xJn)(xJn與與)(1xJn若已知若已知之值，之值，由由(27)(27

29、)式可算出式可算出之值。之值。這樣一來，通過這樣一來，通過(27)(27)式，可以用式，可以用0 0階階與與1 1階階貝塞爾函數(shù)來表示任意貝塞爾函數(shù)來表示任意正整數(shù)階正整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)。的貝塞爾函數(shù)。0n);()(10 xJxJ特別的特別的，當，當時，由時，由(26)(26)式得式得37),()(1xJxxJxdxdnnnn).()(1xJxxJxdxdnnnn(25)(25)(26)(26)0n).()(01xxJxxJdxd);()(10 xJxJ特別的特別的，當，當時，由時，由(26)(26)式得式得1n當當時，由時，由(25)(25)式得式得(29)(29),(2)()(11xJxnxJxJnnn).(2)()(11xJxJxJnnn(27)(27)(28)(28)38例例 ),(2)()(11xJxnxJxJnnn).(2)()(11xJxJxJnnn(27)(27)(28)(28).()(01xxJxxJdxd);()(10 xJxJ(29)(29)dxxxJ)(2求求解解 由由(27)(27)式知，式知，),()(2)(012xJxJxxJ),()(2)(012xxJxJxxJdxxxJ)(2dxxxJdxxJ)()(201.)()(210cxxJxJ則有則有39),(2)()(11xYxnxYxYnnn).(2)()(11xYxYxYnnn),