多元函數(shù)的概念-連續(xù)

1、時間安排第 8 次課，章節(jié)名稱§8. 1 多元函數(shù)的基本概念教學(xué)目的2.了解二元函數(shù)連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；教學(xué)難點：二元函數(shù)的連續(xù)概念教學(xué)內(nèi)容與過程設(shè)計 四. 二元函數(shù)的連續(xù)性l 定義3 設(shè)二元函數(shù)f(P)=f (x, y)的定義域為D, P0(x0, y0)為D的聚點, 且P0ÎD . 如果 , 則稱函數(shù)f (x, y)在點P0(x0, y0)連續(xù). 如果函數(shù)f (x, y)在D的每一點都連續(xù), 那么就稱函數(shù)f (x, y)在D上連續(xù), 或者稱f (x, y)是D上的連續(xù)函數(shù). 二元函數(shù)的連續(xù)

2、性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去. 例3設(shè)f(x,y)=sin x, 證明f(x, y)是R2上的連續(xù)函數(shù). 證 設(shè)P0(x0, y0)Î R2. "e>0, 由于sin x在x0處連續(xù), 故$d>0, 當(dāng)|x-x0|<d時, 有 |sin x-sin x0|<e. 以上述d作P0的d鄰域U(P0, d), 則當(dāng)P(x, y)ÎU(P0, d)時, 顯然 |f(x, y)-f(x0, y0)|=|sin x-sin x0|<e, 即f(x, y)=sin x在點P0(x0, y0) 連續(xù). 由P0的任意性知, sin x作為x

3、, y的二元函數(shù)在R2上連續(xù). 證 對于任意的P0(x0, y0)ÎR2. 因為 , 所以函數(shù)f(x,y)=sin x在點P0(x0, y0)連續(xù). 由P0的任意性知, sin x作為x, y的二元函數(shù)在R2上連續(xù). 類似的討論可知, 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時, 它們在各自的定義域內(nèi)都是連續(xù)的. l 定義4設(shè)函數(shù)f(x, y)的定義域為D, P0(x0, y0)是D的聚點. 如果函數(shù)f(x, y)在點P0(x0, y0)不連續(xù), 則稱P0(x0, y0)為函數(shù)f(x, y)的間斷點. 例如1 / 4教學(xué)內(nèi)容與過程設(shè)計 函數(shù),其定義域D=R2, O(0, 0)

4、是D的聚點. f(x, y)當(dāng)(x, y)®(0, 0)時的極限不存在, 所以點O(0, 0)是該函數(shù)的一個間斷點. 又如, 函數(shù), 其定義域為D=(x, y)|x2+y2¹1, 圓周C=(x, y)|x2+y2=1上的點都是D的聚點, 而f(x, y)在C上沒有定義, 當(dāng)然f(x, y)在C上各點都不連續(xù), 所以圓周C上各點都是該函數(shù)的間斷點. 注: 間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點. 可以證明, 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù); 連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù); 多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù). l 多元初等函數(shù): 與一元初等函數(shù)類似, 多元初等函數(shù)是指

5、可用一個式子所表示的多元函數(shù), 這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算而得到的. 例如, sin(x+y), 都是多元初等函數(shù). 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. 所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域. 由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性, 如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點P0處的極限, 而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi), 則 . 例4 求. 解: 函數(shù)是初等函數(shù), 它的定義域為 D=(x, y)|x¹0, y¹0. P0(1, 2)為D的內(nèi)點, 故存在P0的某一鄰域U(P0)ÌD, 而任何鄰域都是區(qū)域, 所以U(P0)是

6、f(x, y)的一個定義區(qū)域, 因此 . 一般地, 求時, 如果f(P)是初等函數(shù), 且P0是f(P)的定義域的內(nèi)點, 則f(P)在點P0處連續(xù), 于是 . 例5 求. 解: . l 多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 性質(zhì)1 (有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù), 必定在D上有界, 且能取得它的最大值和最小值. 性質(zhì)1就是說, 若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù), 則必定存在常數(shù)M>0, 使得對一切PÎD, 有|f(P)|£M; 且存在P1、P 2ÎD, 使得 f(P1)=maxf(P)|PÎD, f(P2)=minf(P)|PÎD, 性質(zhì)2 (介值定理) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值. 例題選講： 多元函數(shù)的概念 二元函數(shù)的連續(xù)性例6 討論二元函數(shù)在處的連續(xù)性.例7 求極限 例8 求 教學(xué)后記*“教學(xué)后記”是授課完畢之后，