微積分：改D12()習題課

1、例例. 設函數(shù),1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10 x1,xx求.)(xff解解:,13 x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx設其中).(xf求令即即令即畫線三式聯(lián)立1111)(xxxxf即xxxxxff) 1(2111)()(例例.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

2、束 1. 設,0)(,1)(,)(2xxxfexfx且求)(x及其定義域 .2. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f3. 設,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2xex1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x1. 解解:e)(x2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 f2. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f) (f310)10(f)7(f f)12(f) (f312)9(f63. 設,coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sin)(sin2sin1sin12x

3、xfxx3)(sin2sin1xx3)(2xxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例. 設函數(shù))(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1)()(xaxbexfx有無窮間斷點0 x及可去間斷點, 1x解解:為無窮間斷點,0 x) 1)(lim0 xaxbexx所以bexaxxx) 1)(lim0ba101,0ba為可去間斷點 ,1x) 1(li

4、m1xxbexx極限存在0)(lim1bexxeebxx1lim例例. 設函數(shù)試確定常數(shù) a 及 b .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例. 設 f (x) 定義在區(qū)間),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若 f (x) 在連續(xù),0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( xf)(xf且對任意實數(shù)證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例. 求下列極限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (

5、21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無窮小有界機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxxx122e)(lim12sincos0 xxxxx1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 331xy例例. 確定常數(shù) a , b , 使0)1(lim33bxaxx解解: 原式0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxx

6、a故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例. 當0 x時,32xx 是x的幾階無窮小?解解: 設其為x的k階無窮小,則kxxxx320lim0 C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故61k機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 求的間斷點, 并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類可去間斷點)(lim1xfx x = 1 為第二類無窮間斷點, 1)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx x = 0 為第一類跳躍間斷點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 求.sin12lim410 xxeexxx解:xxeexxxsin12lim410 xxeeexxxxsin12lim43401xxeexxxsin12lim410 xxeexxxsin12lim4101原式 = 1 (2000考研)機動 目錄 上頁 下頁