10道經(jīng)典高中數(shù)學題

1、1.設(shè)Sn是等差數(shù)列An的前n項和,又S6=36,Sn=324,S(n-6)=144,則n=?Sn是等差數(shù)列S6=a1*6+6(6-1)/2*d=36，則2a1+5d=12.& 最后六項的和S=an*6-6(6-1)/2*d=6an-15d S(n-6)=Sn-S=324-(6an-15d)=144,則2an-5d=60. &+:a1+an=36 Sn=(a1+an)/2*n n=18解:Sn-S(n-6)=a(n-5)+a(n-4)+.an=324-144=180 而 S6=a1+a2+.a6=36 有 Sn-S(n-6)+S

2、6= a1+a2+.a6+ a(n-5)+a(n-4)+.an =6(a1+an)=180+36=216 那么 (a1+an)=36 Sn=n(a1+an)/2=324 即 36n/2 =324 所以 n=18 2.已知f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1),f(an)和g(an)滿足，a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0(1)是否存在常數(shù)C，使得數(shù)列an+C為等比數(shù)列？若存在，證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由。（2）設(shè)bn=3f(an)-g(an+1)2，求數(shù)列bn的前n項和Sn (1)存在 C=-1證明如下 (an+1-an)g(an)+f(an)=0 將f(

3、x)、g（x)帶入并化簡 得 4an+1 - 3an -1 =0 變形為4(an+1 -1)=3(an -1) 所以an-1是以3/4為等比 1為首項的等比數(shù)列(2)an-1=(3/4)n bn=3f(an)-g(an+1)2 將f(an) g(an+1)帶入 不要急著化簡 先將an+1 - 1換成 3/4 (an-1)化簡后bn=-6(an -1)2=-6*(9/16)nbn是首項為-27/8等比是9/16的等比數(shù)列Sn=a1(1-qn)/(1-q)=54/7(9/16)n-54/7已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,當實數(shù)p,q滿足p+q=1,試證明pf(x)+qf(y)>=f(px+

4、qy)pf(x)+qf(y)>=f(px+qy) <=> px2+pax+pb+qy2+qay+qb>=(px+qy)2+apx+aqy+b <=> px2+qy2>=(px+qy)2 <=> px2+qy2>=p2x2+q2y2+2pqxy <=> (p-p2)x2+(q-q2)y2>=2pqxy 將q=1-p代入，化簡得 (p-p2)(x2+y2)>=2(p-p2)xy x2+y2>=2xy p-p2>0 <=> p>p2 <=> 0<=p<=1 3.某

5、公司一年需要一種計算機元件8000個，每天需同樣多的元件用于組裝整機，該元件每年分次進貨，每次購買元件的數(shù)量均為，購一次貨需手續(xù)費500元已購進而未使用的元件要付庫存費，假設(shè)平均庫存量為件，每個元件的庫存費為每年2元，如果不計其他費用，請你幫公司計算，每年進貨幾次花費最??？解：設(shè)購進8000個元件的總費用為S，一年總庫存費用為E，手續(xù)費為H則X=8000/n,E=2*1/2*8000/n,H=500n 所以SE+H2*0.5x+500*8000/x=8000/n+500n=500(16/n+n)>=4000當且僅當16/n=n即n=4時總費用最少，故以每年進貨4次為宜 4.已知f(x)=

6、ax22ax+1=0有兩正根x1,x2,且1<x2/x15.(1)求x1的取值范圍(2)求a的取值范圍某公路段汽車的車流量y（千輛/時）與汽車的平均速度v（千米/時）之間的函數(shù)關(guān)系為： 。(1)在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度v是多少時，車流量最大，最大流量是多少（精確到0.1）(2)要使在該時段內(nèi)車流量超過10千米/時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ 車流量y（千輛/時）與汽車的平均速度v（千米/時）之間的函數(shù)關(guān)系為：5.已知正方形ABCD的邊長是13,ABCD外一點P到正方形ABCD各頂點的距離是13。M、N分別是PA、BD上的點。PM：MA=BN；ND=5；8，求MN6.已知函數(shù)f(

7、x)=4sinxsin2(/4+x/2)+cox2x1)設(shè)w>0為常數(shù),(1)若y=f(wx)在區(qū)間-/2，2/3上是增函數(shù)，求w的取值范圍(2)設(shè)集合A=x/6<=x<=2/3,B=xf(x)-m<2若,A屬于B,求實數(shù)m的取值范圍 解.f(x)=2sinx1-cos(x+/2)+1-2sin²x=2sinx(1+sinx)+1-2sin²x=2sinx+1(1)y=f(wx)=2sinwx+1因在區(qū)間-/2，2/3上是增函數(shù)，所以最小正同期T=2/w2(/2+2/3)即0<w6/7,即-3/7wx4/7而-/2+2kwx/2+2k時，f(x

8、)單調(diào)遞增則必有k=0,即-/2wx/2時遞增，則必有2w/3/2,即w3/4所以w的取值范圍(0,3/4(2)|f(x)-m|=|2sinx+1-m|<2,則m-3<2sinx<1+m即(m-3)/2<sinx<(1+m)/2而當/6x2/3時，有1/2sinx1因為A屬于B，必有(m-3)/2<1/2且(1+m)/2>1解得1<m<4 fn(x)=a1x+a2x2+.anxn fn(-1)=(-1)n*n7.如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿對角線BD將ABD折起，使A點在平面BCD內(nèi)的射影O落在BC邊上，若二面角C-AB-D

9、的大小為，則SIN=？由AO垂直于平面BCD,CD在平面BCD內(nèi),知 AO垂直于CD又CD垂直BC,且AO交BC=O,故CD垂直于平面ABC又 AB在平面ABC內(nèi),故CD垂直于AB,又DA垂直于AB,且CD交DA=D,故AB垂直于平面ACD,又 AC在平面ACD內(nèi),故AB垂直于AC,又AB垂直于AD故角CAD是二面角C-AB-D的平面角在三角形CAD中,由CD垂直于平面ABC,AC在平面ABC內(nèi),可知CD垂直于AC又 CD=3,AD=4,故sin角CAD=CD/AD=3/48.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，角ABC=90度，BC=2，AC=23，且AA1A

10、1C，AA1=A1C。（1）求側(cè)棱AA1與底面ABC所成的角大小（2）求側(cè)面A1ABB1與地面ABC所成的二面角大?。?）求頂點C到側(cè)面A1ABB1的距離解：（）作A1DAC，垂足為D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC， A1AD為A1A與面ABC所成的角。AA1A1C，AA1A1C， A1AD45°為所求。 （）作DEAB，垂足為E，連A1E，則由A1D面ABC，得A1EAB。 A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角。 由已知，ABBC，得EDBC。又D是AC的中點，BC2，AC2， DE1，ADA1D，tgA1EDA1D/DE=。 故A1ED60°

11、;為所求。 （）解法一：由點C作平面A1ABB1的垂線，垂足為H，則CH的長是C到平面A1ABB1的距離。連結(jié)HB，由于ABBC，得ABHB。 又A1EAB，知HBA1E，且BCED， HBCA1ED60°。 CHBCsin60°為所求。解法二：連結(jié)A1B。 根據(jù)定義，點C到面A1ABB1的距離，即為三棱錐CA1AB的高h。  由V錐CA1ABV錐A1ABC得1/2SAA1Bh1/2SABCA1D， 即 1/3×2h=1/3×2×h= 為所求。 9.圖2，直三棱柱ABC-A1B1C1體積為V，點Q,P分別在側(cè)棱AA1和CC1上，AP=

12、C1Q，四棱錐B-APQC體積為（V/3）連結(jié)A1C設(shè)四棱錐B-APQC的高為h易知梯形APQC的面積=（AP+CQ）*AC/2=（C1Q+CQ）*AC/2=C1C*AC/2=ACC1的面積故四棱錐B-APQC體積=梯形APQC的面積*h/3=ACC1的面積*h/3=三棱錐B-ACC1的體積=三棱錐C1-ABC的體積=1/3棱柱ABC-A1B1C1體積=V/310.已知a>0且a1,數(shù)列an的前項和為Sn，它滿足條件(a的n-1次方）/Sn=1-1/a，數(shù)列bn中,bn=an×lga的n次方（1）求數(shù)列bn的前n項和Tn（2）若對一切n正整數(shù)，都有Bn<B(n+1)（下標

13、），求a的取值范圍 解：(1)當n=1時，有(a-1)/a1=1-1/a，解得：a1=a； 當n>1時： 因為(an-1)/Sn=1-1/a=(a-1)/a，所以Sn=a(an-1)/(a-1)， 繼而推得：S(n-1)=aa(n-1)-1/(a-1). 所以an=Sn-S(n-1)=a(an-1)/(a-1)-aa(n-1)-1/(a-1)=an. 而a1=a=a*1，符合上式，所以數(shù)列an的通向公式an=an. 則bn=n*an*lga. 設(shè)數(shù)列bn的前n項和是Tn，則 Tn=1*a1*lga+2*a2*lga+3*a3*lga+n*an*lga aTn= 1*a2*lga+2*a3*lga+(n-1)*an*lga+n*a(n+1)*lga 兩式相減，得：(1-a)Tn=lga*(a1+a2+a3+an)-n*a(n+1)*lga=(lga)*a(1-an)/(1-a)-n*a(n+1)*lga 所以Tn=a(lga)(1-an)/(1-a)2-n(lga)*a(n+1)/(1-a).(2)由題意： b(n+1)-bn=(n+1)*a(n+1)*lga-n*an*lg