高中數(shù)學完整講義——排列與組合7排列組合問題的常用方法總結(jié)1

1、排列組合問題的常用方法總結(jié)1知識內(nèi)容1基本計數(shù)原理加法原理分類計數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，在第類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法又稱加法原理乘法原理分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個子步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同方法，做第個步驟有種不同的方法那么完成這件事共有種不同的方法又稱乘法原理加法原理與乘法原理的綜合運用如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件

2、事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學好，并正確地靈活加以應(yīng)用2 排列與組合排列：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列（其中被取的對象叫做元素）排列數(shù)：從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示排列數(shù)公式：，并且全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示規(guī)定：組合：一般地，從個不同元素中，任

3、意取出個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合組合數(shù)：從個不同元素中，任意取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數(shù)，用符號表示組合數(shù)公式：，并且組合數(shù)的兩個性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：（規(guī)定）排列組合綜合問題解排列組合問題，首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法：1特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；2分類分步法：對于較復雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要

4、做到分類明確，層次清楚，不重不漏3排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法4捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列5插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空6插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有7分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）有等分、不等分、部分等分之別一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個數(shù)相等，必須除以！8錯位法：編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里，每個盒子放一個小

5、球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當，3，4，5時的錯位數(shù)各為1，2，9，44關(guān)于5、6、7個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題1排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問題，解決此類問題通常有三種途徑：元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)求解時應(yīng)注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；然后分析題目條件，

6、避免“選取”時重復和遺漏；最后列出式子計算作答2具體的解題策略有：對特殊元素進行優(yōu)先安排；理解題意后進行合理和準確分類，分類后要驗證是否不重不漏；對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復；對于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法；順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理；對于正面考慮太復雜的問題，可以考慮反面對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題，需要構(gòu)造模型典例分析直接法（優(yōu)先考慮特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分類討論）【例1】 從名外語系大學生中選派名同學參加廣州亞運會翻譯、交通、禮儀三項義工活動，要求翻譯有人參

7、加，交通和禮儀各有人參加，則不同的選派方法共有 【例2】 北京財富全球論壇期間，某高校有名志愿者參加接待工作若每天排早、中、晚三班，每班人，每人每天最多值一班，則開幕式當天不同的排班種數(shù)為A B C D【例3】 在平面直角坐標系中，軸正半軸上有個點，軸正半軸有個點，將軸上這個點和軸上這個點連成條線段，這條線段在第一象限內(nèi)的交點最多有（ ）A個 B個 C個 D個【例4】 一個口袋內(nèi)有個不同的紅球，個不同的白球，從中任取個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？若取一個紅球記分，取一個白球記分，從中任取個球，使總分不少于分的取法有多少種？【例5】 一個口袋內(nèi)裝有大小相同的個白球和個黑球從口袋內(nèi)取出

8、個球，共有多少種取法？從口袋內(nèi)取出個球，使其中含有個黑球，有多少種取法？從口袋內(nèi)取出個球，使其中不含黑球，有多少種取法？【例6】 有名劃船運動員，其中人只會劃左舷，人只會劃右舷，其余人既會劃左舷也會劃右舷從這名運動員中選出人平均分在左、右舷劃船參加比賽，有多少種不同的選法？【例7】 若，則，就稱是伙伴關(guān)系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為（ ）A B C D【例8】 從名女生，名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取名學生組成課外小組，則不同的抽取方法種數(shù)為_A B CD【例9】 某城市街道呈棋盤形，南北向大街條，東西向大街條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種

9、【例10】 某幢樓從二樓到三樓的樓梯共級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用步走完，則上樓梯的方法有_種【例11】 亞、歐乒乓球?qū)官?，各隊均有名隊員，按事先排好的順序參加擂臺賽，雙方先由號隊員比賽，負者淘汰，勝者再與負方號隊員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？【例12】 設(shè)含有個元素的集合的全部子集數(shù)為，其中由個元素組成的子集數(shù)為，則的值為（ ）A B C D【例13】 設(shè)坐標平面內(nèi)有一個質(zhì)點從原點出發(fā)，沿軸跳動，每次向正方向或負方向跳動一個單位，經(jīng)過次跳動質(zhì)點落在點（允許重復過此點）處，則質(zhì)點不同的運動方法種

10、數(shù)為 【例14】 從名男同學，名女同學中選名參加體能測試，則選到的名同學中既有男同學又有女同學的不同選法共有_種（用數(shù)字作答）【例15】 在的邊上有四點，邊上有共個點，連結(jié)線段，如果其中兩條線段不相交，則稱之為一對“和睦線”，和睦線的對數(shù)共有：（ ）A B C D【例16】 從7名男生5名女生中，選出5人，分別求符合下列條件的選法種數(shù)有多少種？ 、必須當選； 、都不當選； 、不全當選； 至少有2名女生當選； 選出5名同學，讓他們分別擔任體育委員、文娛委員等5種不同工作，但體育委員由男生擔任，文娛委員由女生擔任【例17】 甲組有名男同學，名女同學；乙組有名男同學、名女同學若從甲、乙兩組中各選出名

11、同學，則選出的人中恰有名女同學的不同選法共有（ ）A種B種C種D種【例18】 從名大學畢業(yè)生中選人擔任村長助理，則甲、乙至少有人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為（ ）A B C D【例19】 某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為（ ）ABCD【例20】 要從個人中選出個人去參加某項活動，其中甲乙必須同時參加或者同時不參加，問共有多少種不同的選法？【例21】 有四個停車位，停放四輛不同的車，有幾種不同的停法？若其中的一輛車必須停放在兩邊的停車位上，共有多少種不同的停法？【例22】 某班5位同學參加周一到周五的值日，每天安排一

12、名學生，其中學生甲只能安排到周一或周二，學生乙不能安排在周五，則他們不同的值日安排有（ ）A288種B72種C42種D36種【例23】 某班有名男生，名女生，現(xiàn)要從中選出人組成一個宣傳小組，其中男、女學生均不少于人的選法為（ ）A BC D【例24】 用1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字組成無重復的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個數(shù)字1不排在個位和千位數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位【例25】 甲、乙、丙、丁、戊名學生進行講笑話比賽，決出了第一到第五的名次，甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對乙說：“你當然不會是最差的”從這個回答分析，人的名次排列

13、共有_（用數(shù)字作答）種不同情況【例26】 某高校外語系有名奧運會志愿者，其中有名男生，名女生，現(xiàn)從中選人參加某項“好運北京”測試賽的翻譯工作，若要求這人中既有男生，又有女生，則不同的選法共有（ ）A種B種C種D種【例27】 用5，6，7，8，9組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中恰好有一個奇數(shù)夾在兩個偶數(shù)之間的五位數(shù)的個數(shù)為（ ）A B C D【例28】 某電視臺連續(xù)播放個不同的廣告，其中有個不同的商業(yè)廣告和個不同的奧運宣傳廣告，要求最后播放的必須是奧運宣傳廣告，且兩個奧運宣傳廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式有（ ）A種 B種 C種 D種【例29】 從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個

14、城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中，甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有_種（用數(shù)字作答）【例30】 從名男生和名女生中選出人，分別從事三項不同的工作，若這人中至少有名女生，則選派方案共有（ ）A種B種C種D種【例31】 甲組有名男同學，名女同學；乙組有名男同學、名女同學若從甲、乙兩組中各選出名同學，則選出的人中恰有名女同學的不同選法共有（ ）A種B種C種D種【例32】 將名大學生分配到個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有_種（用數(shù)字作答）【例33】 用數(shù)字可以組成沒有重復數(shù)字，并且比大的五位偶數(shù)共有（ ）A個 B個 C個 D個【例34】

15、一生產(chǎn)過程有道工序，每道工序需要安排一人照看現(xiàn)從甲、乙、丙等名工人中安排人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排人，則不同的安排方案共有（ ）A種B種C種D種【例35】 2位男生和3位女生共5位同學站成一排若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為 （ ）A36 B42 C 48 D60【例36】 從名女生，名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取名學生組成課外小組，則不同的抽取方法種數(shù)為_A B CD【例37】 名志愿者中安排人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動若每天安排人，則不同的安排方案共有 種（用數(shù)字作答）【例3

16、8】 給定集合，映射滿足：當時，；任取，若，則有則稱映射：是一個“優(yōu)映射”例如：用表1表示的映射：是一個“優(yōu)映射” 表1 表212323112343已知表2表示的映射：是一個優(yōu)映射，請把表2補充完整（只需填出一個滿足條件的映射）；若映射：是“優(yōu)映射”，且方程的解恰有6個，則這樣的“優(yōu)映射”的個數(shù)是_【例39】 將個不同的小球全部放入編號為和的兩個小盒子里，使得每個盒子里的球的個數(shù)不小于盒子的編號，則不同的放球方法共有_種 【例40】 將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）A10種B20種C36種 D52種【

17、例41】 一個口袋內(nèi)有個不同的紅球，個不同的白球，從中任取個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？若取一個紅球記分，取一個白球記分，從中任取個球，使總分不少于分的取法有多少種？【例42】 正整數(shù)稱為凹數(shù)，如果，且，其中，請回答三位凹數(shù)共有 個（用數(shù)字作答）【例43】 年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有（ ）A種B種C種D種【例44】 某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人

18、中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方案共有_種（用數(shù)字作答）【例45】 某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的A，有5次出牌機會，每次只能出一種點數(shù)的牌但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？【例46】 從7人中選派5人到10個不同交通崗的5個中參加交通協(xié)管工作，則不同的選派方法有（ ）A種 B種 C種 D【例47】 12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有（ ）A種 B3種 C種 D種【例48】 袋中裝有分別編號為的個白球和個黑球，從中取出個球，則取出球的編號互不相同的取法有（ ）A種 B種 C種 D

19、種【例49】 現(xiàn)有男、女學生共人，從男生中選人，從女生中選人分別參加數(shù)學、物理、化學三科競賽，共有種不同方案，那么男、女生人數(shù)分別是（ ）A男生人，女生人 B男生人，女生人C男生人，女生人 D男生人，女生人【例50】 將個小球任意放入個不同的盒子中， 若個小球各不相同，共有多少種放法？若要求每個盒子都不空，且個小球完全相同，共有多少種不同的放法？若要求每個盒子都不空，且個小球互不相同，共有多少種不同的放法？【例51】 將個小球任意放入個不同的盒子中，每個盒子都不空，若個小球完全相同，共有多少種不同的放法？若個小球互不相同，共有多少種不同的放法？【例52】 四個不同的小球，每球放入編號為、的四個

20、盒子中 隨便放（可以有空盒，但球必須都放入盒中）有多少種放法？ 四個盒都不空的放法有多少種？ 恰有一個空盒的放法有多少種？ 恰有兩個空盒的放法有多少種？ 甲球所放盒的編號總小于乙球所放盒的編號的放法有多少種？【例53】 設(shè)坐標平面內(nèi)有一個質(zhì)點從原點出發(fā)，沿軸跳動，每次向正方向或負方向跳個單位，若經(jīng)過次跳動質(zhì)點落在點處（允許重復過此點），則質(zhì)點不同的運動方法共_種；若經(jīng)過次跳動質(zhì)點落在點處（允許重復過此點），其中，且為偶數(shù)，則質(zhì)點不同的運動方法共有_種【例54】 設(shè)集合，選擇的兩個非空子集和，要使中最小的數(shù)大于中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有（ ）A50種 B49種 C48種 D47種【例55】

21、 是集合到集合的映射，是集合到集合的映射，則不同的映射的個數(shù)是多少？有多少？滿足的映射有多少？滿足的映射對有多少？【例56】 排球單循壞賽，勝者得分，負者分，南方球隊比北方球隊多支，南方球隊總得分是北方球隊的倍，設(shè)北方的球隊數(shù)為試求北方球隊的總得分以及北方球隊之間比賽的總得分；證明：或；證明：冠軍是一支南方球隊【例57】 已知集合，函數(shù)的定義域、值域都是，且對于任意設(shè)是的任意的一個排列，定義數(shù)表，若兩個數(shù)表的對應(yīng)位置上至少有一個數(shù)不同，就說這是兩張不同的數(shù)表，那么滿足條件的不同的數(shù)表的張數(shù)為（ ）ABCD間接法（直接求解類別比較大時）【例58】 有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與

22、5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？【例59】 從中取一個數(shù)字，從中取兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，則所有不同的三位數(shù)的個數(shù)是（ ）A B C D【例60】 以三棱柱的頂點為頂點共可組成 個不同的三棱錐【例61】 設(shè)集合，集合是的子集，且滿足，那么滿足條件的子集的個數(shù)為（ ）A B C D【例62】 將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的種數(shù)為（ ）ABCD【例63】 某高校外語系有名奧運會志愿者，其中有名男生，名女生，現(xiàn)從中選 人參加某項“好運北京”測試賽的翻譯工作

23、，若要求這人中既有男生，又有女生，則不同的選法共有（ ）A種B種C種D種【例64】 對于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（是不小于的正整數(shù)），如果在時有，則稱“與”是該數(shù)組的一個“順序”，一個數(shù)組中所有“順序”的個數(shù)稱為此數(shù)組的“順序數(shù)”例如，數(shù)組中有順序“”，“”，其“順序數(shù)”等于若各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組的“順序數(shù)”是，則的“順序數(shù)”是_【例65】 已知集合，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標系中點的坐標，則確定的不同點的個數(shù)為（ ）A B C D【例66】 甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是 （用數(shù)字作答）【例67】 設(shè)有編號為，的五個球和編號為，的五個盒子，現(xiàn)將這五個球放入個盒子內(nèi)，只有一個盒子空著，共有多少種投放方法？沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？每個盒子內(nèi)投放一球，并且至少有兩個球的編號與盒子編號是相同的，有多少種投放方法？【例68】 在排成的方陣的個點中，中心