工學(xué)定性和穩(wěn)定性理論簡介

1、第5章 定性和穩(wěn)定性理論簡介 在19世紀(jì)中葉,通過劉維爾的工作,人們已經(jīng)知道絕大多數(shù)的微分方程不能用初等積分方法求解.這個結(jié)果對于微分方程理論的發(fā)展產(chǎn)生了極大影響,使微分方程的研究發(fā)生了一個轉(zhuǎn)折.既然初等積分法有著不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是從微分方程本身來推斷其解的性質(zhì)呢?定性理論和穩(wěn)定性理論正是在這種背景下發(fā)展起來的.前者由法國數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincaré,1854-1912)在19世紀(jì)80年代所創(chuàng)立，后者由俄國數(shù)學(xué)家李雅普羅夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所創(chuàng)立.它們共同的特點就是在不求出方程的解的情況下,直接根據(jù)微分方程本身的結(jié)構(gòu)和

2、特點,來研究其解的性質(zhì).由于這種方法的有效性,近一百多年以來它們已經(jīng)成為常微分方程發(fā)展的主流.本章對定性理論和穩(wěn)定性理論的一些基本概念和基本方法作一簡單介紹.51 穩(wěn)定性概念考慮微分方程                                  

3、60; (5.1)其中函數(shù)對和t(-,+)連續(xù)，對滿足局部李普希茲條件. 設(shè)方程(5.1)對初值(t0,x1)存在唯一解，而其它解記作.現(xiàn)在的問題是：當(dāng)很小時，差的變化是否也很小?本章向量的范數(shù)取.  如果所考慮的解的存在區(qū)間是有限閉區(qū)間，那么這是解對初值的連續(xù)依賴性，第2章的定理2.7已有結(jié)論.現(xiàn)在要考慮的是解的存在區(qū)間是無窮區(qū)間，那么解對初值不一定有連續(xù)依賴性(見下面的例3)，這就產(chǎn)生了李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念.如果對于任意給定的和都存在，使得只要滿足就有對一切tt0成立，則稱(5.1)的解是穩(wěn)定的.否則是不穩(wěn)定的.假設(shè)是穩(wěn)定的，而且存在，使得只要滿足就有

4、則稱(5.1)的解是漸近穩(wěn)定的.    為了簡化討論，通常把解的穩(wěn)定性化成零解的穩(wěn)定性問題.下面記,作如下變量代換.令                (5.2)則          于是在變換(5.2)下，將方程(5.1)化成      &

5、#160;      (5.3)其中.這樣關(guān)于(5.1)的解的穩(wěn)定性問題就化為(5.3)的零解y=O的穩(wěn)定性問題了.因此，我們可以在下文中只考慮(5.1)的零解x=O的穩(wěn)定性，即假設(shè)，并有如下定義:定義5.1 若對任意和，存在，使當(dāng)時有                         &#

6、160;        (5.4)對所有的成立，則稱(5.1)的零解是穩(wěn)定的.反之是不穩(wěn)定的.定義5.2若(5.1)的零解是穩(wěn)定的，且存在1>0, 使當(dāng)時有則稱(5.1)的零解是漸近穩(wěn)定的.例1 考察系統(tǒng) 的零解的穩(wěn)定性. 解對于一切，方程組滿足初始條件,的解為對任一，取，則當(dāng)時，有故該系統(tǒng)的零解是穩(wěn)定的.    然而，由于所以該系統(tǒng)的零解不是漸近穩(wěn)定的.例2 考察系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性.解在上，取初值為的解為：其中對任一，取，則當(dāng)時，有故該系的零解是穩(wěn)定的.又因為可見該系

7、統(tǒng)的零解是漸近穩(wěn)定的. 例3 考察系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性.    解方程組以為初值的解為其中. 由于函數(shù)et 隨t 的遞增而無限地增大. 因此,對于任意，不管取得怎樣小，只要t 取得適當(dāng)大時，就不能保證小于預(yù)先給定的正數(shù)，所以該系統(tǒng)的零解是不穩(wěn)的. 例4 考慮常系數(shù)線性微分方程組                     &

8、#160;                  (5.5)其中,A是n×n陣.證明，若A的所有特征根都具嚴(yán)格負(fù)實部，則(5.3)的零解是漸近穩(wěn)定的.    證明 不失一般性，我們?nèi)〕跏紩r刻,設(shè)(t)是(5.5)的標(biāo)準(zhǔn)基本解矩陣，由第3章內(nèi)容知滿足的解可寫成         

9、0;                        (5.6)由A的所有特征根都具負(fù)實部知                       &#

10、160;      (5.7)于是知存在t1>0，使t>t1時.從而對任意，取則當(dāng)時，由(5.6)有,  (5.8)當(dāng)t0,t1時, 由解對初值的連續(xù)相依性, 對上述，存在1 >0，當(dāng)時,取，綜合上面討論知，當(dāng)時有,即是穩(wěn)定的.由(5.7)知對任意有，故是漸近穩(wěn)定的.5.2李雅普諾夫第二方法上一節(jié)我們介紹了穩(wěn)定性概念,但是據(jù)此來判明系統(tǒng)解的穩(wěn)定性,其應(yīng)用范圍是極其有限的.李雅普諾夫創(chuàng)立了處理穩(wěn)定性問題的兩種方法:第一方法要利用微分方程的級數(shù)解,在他之后沒有得到大的發(fā)展;第二方法是在不求方程解的情況下,借助一

11、個所謂的李雅普諾夫函數(shù) 和通過微分方程所計算出來的導(dǎo)數(shù)的符號性質(zhì),就能直接推斷出解的穩(wěn)定性,因此又稱為直接法.本節(jié)主要介紹李雅普諾夫第二方法.為了便于理解,我們只考慮自治系統(tǒng)(5.11)假設(shè)在上連續(xù),滿足局部利普希茨條件,且.為介紹李雅普諾夫基本定理,先引入李雅普諾夫函數(shù)概念.定義5.3 若函數(shù)滿足,和都連續(xù),且若存在,使在上,則稱是常正(負(fù))的;若在上除外總有,則稱是正(負(fù))定的;既不是常正又不是常負(fù)的函數(shù)稱為變號函數(shù).通常我們稱函數(shù)為李雅普諾夫函數(shù).易知:函數(shù)在平面上為正定的;函數(shù) 在平面上為負(fù)定的;函數(shù)在平面上為變號函數(shù);函數(shù) 在平面上為常正函數(shù).李雅普諾夫函數(shù)有明顯的幾何意義.首先看正

12、定函數(shù).在三維空間中,是一個位于坐標(biāo)面即上方的曲面.它與坐標(biāo)面只在一個點,即原點接觸(圖5-1(a).如果用水平面(正常數(shù))與相交,并將截口垂直投影到平面上,就得到一組一個套一個的閉曲線族 (圖5-1(b),由于連續(xù)可微,且,故在的充分小的鄰域中, 可以任意小.即在這些鄰域中存在值可任意小的閉曲線.對于負(fù)定函數(shù)可作類似的幾何解釋,只是曲面將在坐標(biāo)面的下方.對于變號函數(shù),自然應(yīng)對應(yīng)于這樣的曲面,在原點的任意鄰域,它既有在平面上方的點,又有在其下方的點.定理5.1 對系統(tǒng)(5.11),若在區(qū)域上存在李雅普諾夫函數(shù)滿足(1) 正定;(2) 常負(fù),(a) (b)圖 5-1則(5.11)的零解是穩(wěn)定的.

13、圖 5-2證明 對任意,記則由正定、連續(xù)和是有界閉集知由和連續(xù)知存在(),使當(dāng)時, ,于是有時,(5.12)若上述不等式不成立,由和的連續(xù)性知存在,當(dāng)時,而那么由的定義,有(5.13)另一方面,由條件(2)知在上成立,即時,自然有.這與(5.13)矛盾,即(5.12)成立. (圖5-2為n=2的情況.)例 1 考慮無阻尼線性振動方程(5.14)的平衡位置的穩(wěn)定性.解 把(5.14)化為等價系統(tǒng)(5.15)(5.14)的平衡位置即(5.15)的零解.作函數(shù))有即正定, .于是由定理5.1 知(5.15)的零解是穩(wěn)定的,即(5.14)的平衡位置是穩(wěn)定的.引理 若是正定(或負(fù)定)的李雅普諾夫函數(shù),且

14、對連續(xù)有界函數(shù)有則.證明由讀者自己完成.定理 5.2 對系統(tǒng)(5.11),若區(qū)域上存在李雅普諾夫函數(shù)滿足(1) 正定;(2) 負(fù)定,則(5.11)的零解漸近穩(wěn)定.證明 由定理5.1 知(5.11)的零解是穩(wěn)定的.取為定理5.1 的證明過程中的,于是當(dāng)時,單調(diào)下降.若,則由唯一性知,自然有不妨設(shè).由初值問題解的唯一性,對任意, 從而由的正定性知總成立,那么存在使假設(shè),聯(lián)系到的單調(diào)性有對成立.從而由 知存在使時(5.16)成立.由條件(2)有故從(5.16)知對上述不等式兩端從到積分得該不等式意味著矛盾.故,即由于零解是穩(wěn)定的,所以在上有界,再由引理知.定理證畢.例 2 證明方程組(5.17)的零

15、解漸近穩(wěn)定.證明 作李雅普諾夫函數(shù)有在區(qū)域上正定,負(fù)定,故由定理5.2 知其零解漸近穩(wěn)定. 最后,我們給出不穩(wěn)定性定理而略去證明.定理 5.3 對系統(tǒng)(5.11)若在區(qū)域上存在李雅普諾夫函數(shù)滿足 (1)正定; (2) 不是常負(fù)函數(shù),則系統(tǒng)(5.11)的零解是不穩(wěn)定的.習(xí) 題 5.21. 對于方程組 試說明是正定的,而是常負(fù)的.2. 討論方程組 零解的穩(wěn)定性.3. 討論自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性.5.3 平面自治系統(tǒng)的基本概念本節(jié)考慮平面自治系統(tǒng)(5.18)以下總假定函數(shù)在區(qū)域, 上連續(xù)并滿足初值解的存在與唯一性定理的條件. 相平面、相軌線與相圖我們把平面稱為(5.18)的相平面,而把(5.18)的解

16、在平面上的軌跡稱為(5.18)的軌線或相軌線.軌線族在相平面上的圖像稱為(5.18)的相圖.易于看出,解在相平面上的軌線,正是這個解在三維空間中的積分曲線在相平面上的投影.我們以后會看到,用軌線來研究(5.18)的通解常要比用積分曲線方便得多.下面通過一個例子來說明方程組的積分曲線和軌線的關(guān)系.例 1很明顯,方程組有特解它在三維空間中的積分曲線是一條螺旋線(如圖5-3(a),它經(jīng)過點. 當(dāng)增加時,螺旋線向上方盤旋.上述解在平面上的軌線是圓它恰為上述積分曲線在平面上的投影. 當(dāng)增加時,軌線的方向如圖5-3(b)所示.另外,易知對于任意常數(shù),函數(shù)也是方程組的解.他的積分曲線是經(jīng)過點()的螺旋線.但

17、是,它們與解有同一條軌線 (a) (b)圖 5-3同時,我們可以看出,的積分曲線可以由的積分曲線沿軸向下平移距離而得到.由于的任意性,可知軌線對應(yīng)著無窮多條積分曲線.為了畫出方程組在相平面上的相圖,我們求出方程組通解其中,為任意常數(shù).于是, 方程組的軌線就是圓族(圖5-3(b).特別,是方程的解,它的軌線是原點.5.3.2 平面自治系統(tǒng)的三個基本性質(zhì)性質(zhì) 1 積分曲線的平移不變性設(shè)是自治系統(tǒng)(5.18)的一個解,則對于任意常數(shù),函數(shù)也是(5.18)的解.事實上,我們有恒等式由這個事實可以推出:將(5.18)的積分曲線沿軸作任意平移后,仍然是(5.18)的積分曲線.從而它們所對應(yīng)的軌線也相同.于

18、是,自治系統(tǒng)(5.18)的一條軌線對應(yīng)著無窮多個解.性質(zhì) 2 軌線的唯一性如果滿足初值解的存在與唯一性定理條件,則過相平面上的區(qū)域的任一點,(5.18)存在一條且唯一一條軌線.事實上,假設(shè)在相平面的點附近有兩條不同的軌線段和都通過點.則在空間中至少存在兩條不同的積分曲線段和(它們有可能屬于同一條積分曲線),使得它們在相空間中的投影分別是和(見圖5-4,這是不妨設(shè)).現(xiàn)在把所在的積分曲線沿軸向右平移,則由性質(zhì) 1知道,平移后得到的仍是系統(tǒng)(5.18)的積分曲線,并且它與至少有一個公共點.因此,利用解的唯一性,與應(yīng)完全重合,從而它們在相空間中有相同的投影.另一方面,與在相空間顯然也有相同的投影,這

19、蘊含和在相平面中的點附近有相同的投影,而這與上面的假設(shè)矛盾. 圖 5-4性質(zhì) 1和性質(zhì)2說明,相平面上每條軌線都是沿軸可平移重合的一族積分曲線的投影,而且只是這族積分曲線的投影.此外,由性質(zhì)1同樣還可知道,系統(tǒng)(5.18)的解的一個平移仍是(5.18)的解,并且它們滿足同樣的初值條件,從而由解的唯一性知因此,在(5.18)的解族中我們只須考慮相應(yīng)于初始時刻的解,并簡記為, *性質(zhì) 3 群的性質(zhì)系統(tǒng)(5.18)的解滿足關(guān)系式(5.19)其幾何意義是:在相平面上,如果從點出發(fā)的軌線經(jīng)過時間到達(dá)點,再經(jīng)過時間到達(dá)點,那么從點出發(fā)的軌線經(jīng)過時間也到達(dá)點.事實上,由平移不變性(性質(zhì) 1), 是系統(tǒng)(5.

20、18)的解,而且易知它與解在時的初值都等于.由解的唯一性,這兩個解應(yīng)該相等.取就得到(5.19).對于固定的,定義平面到自身的變換如下:.也就是把點映到由該點出發(fā)的軌線經(jīng)過時間到達(dá)的點.在集合中引入乘法運算: 令.由(5.19)知.所以乘法運算在集合中是封閉的,而且滿足結(jié)合律,故二元組構(gòu)成一個群.容易驗證,其單位元為,而的逆元為.這就是群性質(zhì)名稱的由來.這個平面到自身的變換群也稱作由方程(5.18)所生成的動力系統(tǒng).有時也把方程(5.18)就叫做一個動力系統(tǒng).由此所開展的研究工作導(dǎo)致動力系統(tǒng)這個重要的研究方向.5.3.3 常點、奇點與閉軌現(xiàn)在考慮自治系統(tǒng)(5.18)的軌線類型.顯然, (5.1

21、8)的一個解所對應(yīng)的軌線可分為自身不相交和自身相交的兩種情形.其中軌線自身相交是指,存在不同時刻使得.這樣的軌線又有以下兩種可能形狀:(1) 若對一切有, , 則稱為(5.18)的一個定常解.它所對應(yīng)的積分曲線是空間中平行于軸的直線.對應(yīng)此解的軌線是相平面中的一個點.我們稱為奇點(或平衡點).顯然是(5.18)的一個奇點的充分必要條件是(2) 若存在,使得對一切有則稱為(5.18)的一個周期解,T為周期.它所對應(yīng)的軌線顯然是相平面中的一條閉曲線,稱為閉軌.由以上討論和(5.18)軌線的唯一性,我們有如下結(jié)論:自治系統(tǒng)(5.18)的一條軌線只可能是下列三種類型之一:(1) 奇點, (2) 閉軌,

22、 (3) 自不相交的非閉軌線.平面定性理論的研究目標(biāo)就是:在不求解的情況下,僅從(5.18)右端函數(shù)的性質(zhì)出發(fā),在相平面上描繪出其軌線的分布圖,稱為相圖.如何完成這一任務(wù)呢?現(xiàn)在我們從運動的觀點給出(5.18)的另一種幾何解釋:如果把(5.18)看成描述平面上一個運動質(zhì)點的運動方程,那么(5.18)在相平面上每一點確定了一個速度向量(5.20)因而,(5.18)在相平面上定義了一個速度場或稱向量場.而(5.18)的軌線就是相平面上一條與向量場(5.20)相吻合的光滑曲線.這樣積分曲線與軌線的顯著區(qū)別是: 積分曲線可以不考慮方向,而軌線是一條有向曲線,通常用箭頭在軌線上標(biāo)明對應(yīng)于時間增大時的運動

23、方向.進(jìn)一步,在方程(5.18)中消去,得到方程(5.21)由(5.21)易見,經(jīng)過相平面上每一個常點只有唯一軌線,而且可以證明: 常點附近的軌線拓?fù)涞葍r于平行直線.這樣,只有在奇點處,向量場的方向不確定.因此,在平面定性理論中,通常從奇點入手,弄清楚奇點附近的軌線分布情況.然后,再弄清(5.18)是否存在閉軌,因為一條閉軌線可以把平面分成其內(nèi)部和外部,再由軌線的唯一性,對應(yīng)內(nèi)部的軌線不能走到外部,同樣對應(yīng)外部的軌線也不能進(jìn)入內(nèi)部.這樣對理解系統(tǒng)整體的性質(zhì)會起很大的作用.習(xí)題 5.3通過求解,畫出下列各方程的相圖,并確定奇點的穩(wěn)定性:(1)(2) (3)(4)5.4 平面定性理論簡介 

24、; 本節(jié)將對如何獲得平面系統(tǒng)(5.18)的整體相圖結(jié)構(gòu)作一簡單介紹.     初等奇點附近的軌線分布前面我們已經(jīng)得到，奇點是動力系統(tǒng)                                (5.18)的一類特殊軌線.它對于研究(5.

25、18)的相圖有重要的意義.為此，我們在本節(jié)先研究一類最簡單的自治系統(tǒng)平面線性系統(tǒng)的奇點與它附近的軌線的關(guān)系.平面線性系統(tǒng)的一般形式為                         (5.22)我們假定其系數(shù)矩陣為非奇異矩陣，即其行列式 (即A不以零為特征根).    顯然，(5.22)只有一個奇點(0，0).我們研究

26、(5.22)在(0，0)附近的軌線分布.因為(5.22)是可解的，我們的作法是先求出系統(tǒng)的通解，然后消去參數(shù)t，得到軌線方程.從而了解在奇點(0，0)附近的軌線分布情況.根據(jù)奇點附近軌線分布的形式，可以確定奇點有四種類型，即結(jié)點，鞍點，焦點和中心.為了討論問題方便，我們把方程寫成向量形式.令,則 此時方程組(5.22)可以寫成向量形式                     &

27、#160;              (5.23)    1. 系數(shù)矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型的平面線性系統(tǒng)的奇點附近軌線分布    我們研究線性系統(tǒng)(5.23)在奇點(0，0)附近軌線分布的方法是，首先應(yīng)用線性變換，把系統(tǒng)(5.23)化成標(biāo)準(zhǔn)型，并從化成標(biāo)準(zhǔn)型的方程中求出解來，確定其軌線分布，然后再回過頭來考慮原系統(tǒng)(5.23)在奇點附近的軌線分布.    根

28、據(jù)線性代數(shù)中關(guān)于矩陣的定理，存在非奇異矩陣T，使得（J 為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型）.令,作代換,則于是系統(tǒng)(5.23)化成為                               （5.24）由線性變換的理論可知，標(biāo)準(zhǔn)型J的形式由系數(shù)矩陣A的特征根的情況決定：   

29、 (1) 特征根為相異實根，時，    (2) A的特征根為重根時，由A的初等因子的不同情形，A的標(biāo)準(zhǔn)型J可能有兩種，為方便計，寫成：或    (3) A的特征根為共軛復(fù)根時， (因，特征根不能為零).考察(5.24)，為了書寫方便，去掉上標(biāo)，把(5.24)寫成                    

30、;             (5.24)下面就J的不同情況來研究(5.24)(即系統(tǒng)(5.24)的軌線分布.    (1)當(dāng) （）時，系統(tǒng)(5.24)可寫成純量形式                      &

31、#160;           (5.25)求它的通解，得                  ,       (5.26)消去參數(shù)t，得軌線方程         

32、;               （C為任意常數(shù)）        (5.27)這里假定|，即表示特征根中絕對值較大的一個(顯然，這不妨礙對一般性的討論，如|，則只要互換x軸和y軸).a)，同號這時由于，軌線(5.27)是拋物線型的(參看圖5-5及圖5-6).同時，由(5.26)知x軸的正、負(fù)半軸及y軸的正、負(fù)半軸也都是(5.25)的軌線.由于原點(0，0)是(5.25)的奇點以及軌線的唯一

33、性，軌線(5.27)及四條半軸軌線均不能過原點.但是由(5.26)可以看出，當(dāng)0時，軌線在t時趨于原點(圖5-5)；當(dāng)0時，軌線在t時趨于原點(圖5-6).另外，我們有于是，當(dāng)0，軌線(除正、負(fù)半y 軸外)的切線斜率在t時趨于零，即軌線以x 軸為其切線的極限位置.當(dāng)0，軌線(除正、負(fù)半y 軸外)的切線斜率在t時趨于零，即軌線以x 軸為其切線當(dāng)t時的極限位置.如果在某奇點附近的軌線具有如圖5-5的分布情形，我們就稱這奇點為穩(wěn)定結(jié)點.因此，當(dāng)時，原點O是(5.25)的穩(wěn)定結(jié)點.      圖 5-5    &

34、#160;                        圖 5-6如果在某奇點附近的軌線具有如圖5-6的分布情形，我們就稱這奇點為不穩(wěn)定結(jié)點.因此，當(dāng)0時，原點O是(5.25)的不穩(wěn)定結(jié)點.b)，異號這時，由于，軌線(5.27)是雙曲線型的(參看圖5-7及圖5-8).四個坐標(biāo)半軸也是軌線.先討論0的情形.由(5.26)易于看出當(dāng)t時，動點(x, y)沿正、

35、負(fù)x半軸軌線趨于奇點(0，0)，而沿正、負(fù)y半軸軌線遠(yuǎn)離奇點(0，0).而其余的軌線均在一度接近奇點(0，0)后又遠(yuǎn)離奇點(圖5-7).       圖 5-7                              圖 5-8 

36、;   對0的情形可以類似地加以討論，軌線分布情形如圖5-8.    如果在某奇附近的軌線具有如圖5-7或圖5-8的分布情形，我們稱這奇點為鞍點.因此，當(dāng)異號時，原點O是(5.25)的鞍點.(2)當(dāng)時，把系統(tǒng)(5.24)寫成純量形式就得到                        &#

37、160;        (5.28)積分此方程，得通解                   ,        (5.29)消去參數(shù)t，得軌線方程y = Cx        

38、0;    (C為任意常數(shù)).根據(jù)的符號，軌線圖象如圖5-9和圖5-10.軌線為從奇點出發(fā)的半射線.    圖 5-9                     圖 5-10    如果在奇點附近的軌線具有這樣的分布，就稱這奇點為臨界結(jié)點.由通解(5.29)可以看出：當(dāng)0時，軌線在t時趨近于

39、原點.這時，我們稱奇點O為穩(wěn)定的臨界結(jié)點；當(dāng)0時，軌線的正向遠(yuǎn)離原點， 我們稱O為不穩(wěn)定的臨界結(jié)點.當(dāng)時，系統(tǒng)(5.24)的純量形式為它的通解為,消去參數(shù)t，得到軌線方程易于知道有關(guān)系,        圖 5-11                      圖 5-12所以當(dāng)軌線接近原點時，以y軸為其切線的極

40、限位置.此外，正、負(fù)y半軸也都是軌線.軌線在原點附近的分布情形如圖5-11及圖5-12所示.如果在奇點附近軌線具有這樣的分布，就稱它是退化結(jié)點.當(dāng)0時，軌線在t時趨于奇點，稱這奇點為穩(wěn)定的退化結(jié)點；當(dāng)0時，軌線在t時遠(yuǎn)離奇點，稱這奇點為不穩(wěn)定的退化結(jié)點.(3)當(dāng)時，把系統(tǒng)(5.24)寫成純量形式                         &#

41、160;       (5.30)   我們來積分上述方程組.將第一個方程乘以x，第二個方程乘以y，然后相加，得或?qū)懗梢蚨玫交蚱浯危瑢Ψ匠?5.30)第一個方程乘以y，第二個方程乘以x，然后相減，得或?qū)懗捎谑堑没?                    消去參數(shù)t，得到軌線的極坐標(biāo)方程 

42、                              (5.31)如，則它為對數(shù)螺線族，每條螺線都以坐標(biāo)原點O 為漸近點.在奇點附近軌線具有這樣的分布，稱奇點為焦點.    由于，所以當(dāng)時，隨著t的無限增大，相點沿著軌線趨近于坐標(biāo)原點，這時，稱原點是穩(wěn)定

43、焦點(見圖5-13)，而當(dāng) 時，相點沿著軌線遠(yuǎn)離原點，這時，稱原點是不穩(wěn)定焦點 (見圖5-14).圖 5-13圖 5-14如，則軌線方程(5.31)成為 或 它是以坐標(biāo)原點為中心的圓族.在奇點附近軌線具有這樣的分布，稱奇點為中心.此時，由的符號來確定軌線方向.當(dāng)0時，軌線的方向是逆時針的；當(dāng)0時是順時針的(見圖5-15及圖5-16).   圖 5-15                   

44、;  圖 5-16綜上所述，方程組        (5.23)經(jīng)過線性變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)型            (5.24)由A的特征根的不同情況，方程(5.24)(亦即方程(5.24)的奇點可能出現(xiàn)四種類型：結(jié)點型，鞍點型，焦點型，中心型.2. 一般的平面常系數(shù)線性系統(tǒng)的奇點附近軌線分布上面講了系數(shù)矩陣為標(biāo)準(zhǔn)型的系統(tǒng)     

45、      (5.24)的軌線在奇點O(0，0)附近的分布情況，現(xiàn)在回來研究一般的平面線性系統(tǒng)                              (5.23)的軌線在奇點O(0，0)附近的分布情況.   我們知道

46、，(5.22)可以從(5.24)經(jīng)逆變換而得到，而且，由于T是非奇異變換，也是非奇異變換，因而也就是一個仿射變換，它具有下述不變性：   (1) 坐標(biāo)原點不變；   (2) 直線變成直線； (3) 如果曲線 (x(t), y(t)當(dāng)t(或t)時趨向原點，變換后的曲線，當(dāng)t(或t)時也趨向坐標(biāo)原點；  (4) 如果曲線(x(t), y(t)當(dāng)t(或t)時，盤旋地趨向原點，變換后的曲線,當(dāng)t(或t)時也盤旋地趨向原點.  (5) 閉曲線(x(t), y(t)經(jīng)過變換后，所得曲線仍為閉曲線.

47、由此可見，方程(5.24)在各種情況下的軌線，經(jīng)過線性變換后得到方程(5.23)的軌線，其結(jié)點型，鞍點型，焦點型，以及中心型的軌線分布是不變的.這就是軌線結(jié)構(gòu)的不變性.并且，由于變換后軌線趨向原點的方向不變，所以結(jié)點、焦點的穩(wěn)定性也不改變.于是，系統(tǒng)(5.23)的奇點O(0, 0)，當(dāng)，根據(jù)A的特征根的不同情況可有如下的類型：    因為A的特征根完全由A的系數(shù)確定，所以A的系數(shù)可以確定出奇點的類型.因此，下面來研究A的系數(shù)與奇點分類的關(guān)系.方程(5.22)的系數(shù)矩陣的特征方程為或      &

48、#160;              為了書寫方便，令于是特征方程可寫為    特征根為    下面就分特征根為相異實根，重根及復(fù)根三種情況加以研究： (1) (i) (ii) (2) (3) 復(fù)數(shù)根的實部不為零，奇點為焦點復(fù)數(shù)根的實部為零，奇點為中心綜合上面的結(jié)論，由曲線，軸及軸把平面分成幾個區(qū)域，不同的區(qū)域，對應(yīng)著不同類型的奇點(圖5-17).圖 5-17 

49、60;  5.4.2平面非線性自治系統(tǒng)奇點附近的軌線分布以上是面平線性系統(tǒng)(5.22)的軌線在奇點O(0，0)附近的分布情況.下面再根據(jù)上面的討論，介紹一點研究一般的平面系統(tǒng)        (5.18)的軌線在奇點附近的分布的方法.    我們不妨假設(shè)原點O(0, 0)是(5.18)的奇點，即P(0, 0)(0, 0)0.這并不失一般性.因為，如果()為(5.18)的一個奇點，只要作變換，就可以把奇點移到原點(0，0).   

50、 設(shè)(5.18)的右端函數(shù)P(x,y), Q(x, y)在奇點O(0,0)附近連續(xù)可微，并可以將(5.18)的右端寫成其中我們把平面線性系統(tǒng)                          (5.22)稱為一般平面自治系統(tǒng)(5.18)的一次近似.在條件的假設(shè)下，稱(0，0)為系統(tǒng)(5.18)的初等奇點，否則，稱它為高階奇點.(

51、5.22)的奇點的情況已討論清楚. 一個常用的手法是將(5.18)與(5.22)比較，對“攝動”及加上一定的條件，就可以保證對于某些類型的奇點，(5.18)在O(0，0)的鄰域的軌線分布情形與(5.22)的軌線分布情形同.我們只介紹如下的一個常見的結(jié)果而不加以證明.定理5.4如果在一次近似(5.22)中，有且O(0，0)為其結(jié)點(不包括退化結(jié)點及臨界結(jié)點)、鞍點或焦點，又與在O(0，0)的鄰域連續(xù)可微，且滿足             ，   &#

52、160; (5.32)則系統(tǒng)(5.18)的軌線在O(0，0)附近的分布情形與(5.22)的完全相同.     當(dāng)O(0，0)為(5.22)的退化結(jié)點、臨界結(jié)點或中心時，條件(5.32)不足以保證(5.18)在O(0，0)的鄰域的軌線分布與(5.22)的軌線分布情形相同，還必須加強這個條件，我們不再列舉了.     極限環(huán)的概念為了說明極限環(huán)的概念，先看看下面的例子.例1  考察方程組         

53、60;                             (5.33)的軌線分布.    解 將方程（5.33）的第一個方程兩端乘以x，第二個兩端乘以y，然后相加得到         

54、                 (5.34)作極坐標(biāo)變換，由，微分之，則得所以(5.34)可寫成或                            (5

55、.35)其次，將方程組(5.33)的第一個方程乘以y，第二個方程乘以x，然后相減，得由，微分之，可知                 (5.36)于是原方程(5.33)經(jīng)變換后化為                     

56、0;               (5.37)積分所得方程(5.37).易于看出，方程組(5.37)有兩個特解：r =0，  r =1其中r =0對應(yīng)(5.33)奇點，而r =1對應(yīng)于(5.33)的一個周期解，它所對應(yīng)的閉軌線是以原點為中心以1為半徑的圓.進(jìn)一步求方程組的通解，得 或為于是方程(5.33)的軌線分布如圖(5-18).    從方程組(5.33)的相圖上可看出，軌

57、線分布是這樣的：    (1) (0，0)為奇點，為一閉軌線.(2) 閉軌線的內(nèi)部和外部的軌線，當(dāng)t+時分別盤旋地趨近于該閉軌線.我們在5.3節(jié)的例1中也提到過閉軌線，但當(dāng)時的閉軌線都是一族連續(xù)分布的閉軌線.而且，當(dāng)時沒出現(xiàn)其他的軌線當(dāng)t±時趨近于閉軌線的情況.因此，上例中的閉軌線以及它附近的軌線的分布情形，是一種新的結(jié)構(gòu).我們作如下的定義.圖 5-18定義5.4 設(shè)系統(tǒng)                                 (5.18)具有閉軌線C.假如在C充分小鄰域中，除C之外，軌線全不是閉軌線，且這些非閉軌線當(dāng)t或t時趨近于閉軌線C，則說閉軌線C是孤立的，并稱之為(5.18)的一個極限環(huán). 極限環(huán)C將相平面分成兩個區(qū)域：