平行四邊形三角形和梯形的面積公式教學(xué)研究校本教研活動方案一

1、“平行四邊形、三角形和梯形的面積公式教學(xué)研究”校本教研活動方案(一)朱樂平一、 活動目標(biāo)1經(jīng)歷閱讀、思考、解答并與同伴交流關(guān)于平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式教學(xué)的相關(guān)資料與問題。2明確化歸法的含義。能夠分清平行四邊形、三角形與梯形的面積這三個公式教學(xué)時，教學(xué)目標(biāo)上的相同與不同點。3能了解平行四邊形面積計算公式教學(xué)的不同引入方法，并對不同的引入方法的優(yōu)點與不足進(jìn)行分析。4 能夠明確如何引導(dǎo)學(xué)生探索平行四邊形面積計算公式。二、活動時間教研活動可以分成兩個時間段，第一段是交流本方案中的問題60分鐘。然后是一個老師上課，上平行四邊形面積計算公式這節(jié)課40分鐘，評課再50分鐘。共2個半小時，可以

2、在同一個半天中，也可以分開?？梢愿鶕?jù)學(xué)校教研活動的時間和教研組老師的情況，選擇下面“活動前準(zhǔn)備”中的一些問題進(jìn)行解答與交流。三、活動前準(zhǔn)備先讓全組數(shù)學(xué)教師解答下面的問題，并準(zhǔn)備在小組或全數(shù)學(xué)組交流。(注：以下帶有*號表示問題有一定的難度。)(一)1 你認(rèn)為“平行四邊形的面積、三角形的面積和梯形的面積計算公式”這三塊教學(xué)內(nèi)容，小學(xué)生應(yīng)該先學(xué)哪一塊內(nèi)容？為什么？現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，學(xué)生學(xué)習(xí)這三塊內(nèi)容的順序是怎樣的？2 平行四邊形、三角形和梯形這三個圖形的面積公式推導(dǎo)時，都運用了化歸的方法(也有人叫它是轉(zhuǎn)化的方法)。(1) 請你寫一寫什么叫化歸法？如果你不能直接寫出化歸法的含義，那么，請你試著先舉

3、出運用化歸法解決數(shù)學(xué)問題的例子，然后再試著寫一寫什么叫做化歸法。(2) 請你閱讀下面的文章，閱讀完后，請在數(shù)與代數(shù)和圖形與幾何的領(lǐng)域中各舉一個運用化歸法解決問題的例子。如果問，數(shù)學(xué)家與其他科學(xué)家在解決問題時，在思維方法上有什么特別的地方？可能的回答是：數(shù)學(xué)家的思維方式更善于運用化歸法。有人曾對“化歸法”作過生動的比擬?！凹僭O(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現(xiàn)在的任務(wù)是要燒水，你應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”。正確的回答是：“在水壺中放進(jìn)水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”接著又提出第二個問題：“假設(shè)其他的條件都不變，只是水壺中已有了足夠的水，這時你應(yīng)該怎樣去做？”。對此，人們往往回答說：“點燃煤氣，

4、再把壺放到煤氣灶上?！钡@并不是最好的回答，因為“只有物理學(xué)家才這樣做，而數(shù)學(xué)家則會倒去壺中的水，并且聲稱我已經(jīng)把后一問題化歸成先前的問題了。” 這個比喻固然有點夸張，但卻道出了化歸的根本特征。利用化歸法解決問題的過程可以簡單地用以下框圖表示：在解決問題的過程中，數(shù)學(xué)家往往不是直接解決原問題，而是對問題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，直至把它化歸為某個(些)已經(jīng)解決的問題，或容易解決的問題。把所要解決的問題，經(jīng)過某種變化，使之歸結(jié)為另一個問題*，再通過問題*的求解，把解得結(jié)果作用于原有問題，從而使原有問題得到解決，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法。例如，我們在計算異分母分?jǐn)?shù)加減法時，首先是通過通分的辦法把

5、它化歸成同分母分?jǐn)?shù)加減法，計算出同分母分?jǐn)?shù)加減法的結(jié)果，從而得到異分母分?jǐn)?shù)加減法的結(jié)果，可以用下圖直觀的說明：又如，當(dāng)我們已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和是180°后，(凸)多邊形的內(nèi)角和的問題可以按照下面的方法來解決。如上圖1所示，因為，四邊形可以分割成兩個三角形，所以，它的內(nèi)角和是2×180°=(4-2)×180°；因為，五邊形可以分割成三個三角形，所以，它的內(nèi)角和是3×180°=(5-2)×180°；因為，六邊形可以分割成四個三角形，所以，它的內(nèi)角和是4×180°=(6-2)×18

6、0°；因為7邊形可以分割成5個三角形，所以，它的內(nèi)角和是5×180°=(7-2)×180°；一般地，因為n邊形可以分割成(n-2)個三角形，所以，它的內(nèi)角和是(n-2)×180°。 從上面的分析可以知道，解決多邊形內(nèi)角和問題的關(guān)鍵是把多邊形分割成(若干個)三角形，這實質(zhì)上已經(jīng)把原來的求多邊形內(nèi)角和的問題化歸成求三角形內(nèi)角和的問題。而三角形內(nèi)角和的問題已經(jīng)解決，從而多邊形內(nèi)角和的問題也可以解決?？梢杂孟聢D直觀的表示：3 如果用三節(jié)新課分別教學(xué)平行四邊形、三角形和梯形面積的計算公式，那么這三節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)有哪些相同的地方？有哪些

7、不同的地方？4 大家知道，如果先學(xué)習(xí)平行四邊形的面積計算公式，那么可以用兩個完全相同的三角形或梯形拼成一個平行四邊形的方法，推導(dǎo)出三角形或梯形的面積計算公式，因此，這兩個面積計算公式的教學(xué)可以有不同的課時設(shè)計。以下是兩個不同的教學(xué)順序：教學(xué)順序一： (1)三角形面積計算公式新課(一課時)；(2)三角形面積計算公式練習(xí)課(一課時)；(3)梯形面積計算公式新課(一課時)；(4)梯形面積計算公式練習(xí)課(一課時)；(5)三角形與梯形面積計算的綜合練習(xí)課(一課時)。按照這樣的教學(xué)順序進(jìn)行教學(xué)，一共安排5課時。 教學(xué)順序二： (1)三角形與梯形面積計算公式新課(一課時)；(2)三角形與梯形面積的練習(xí)課(三

8、課時)； (其中第一課時重點練習(xí)三角形面積計算公式的應(yīng)用，但也有梯形面積公式的應(yīng)用練習(xí)；第二課時重點練習(xí)梯形面積計算公式的應(yīng)用，但也有三角形面積計算公式的應(yīng)用練習(xí)。第三課時是三角形與梯形面積計算公式的綜合應(yīng)用練習(xí)。)共安排了4課時。請你回答下面的問題：(1) 上面的兩種不同的教學(xué)順序你更喜歡哪一種？喜歡的主要理由是什么。(2) 從學(xué)生作業(yè)錯誤率的高低來看，憑你的經(jīng)驗，覺得按照順序一這樣教學(xué)，一開始的錯誤率會高還是低？大約到第幾節(jié)課時，學(xué)生的錯誤率最高？按照順序二教學(xué)，錯誤率的高低又是怎樣變化的？(3) 有人認(rèn)為：“不能簡單地說上面的哪一種教學(xué)順序更好。而應(yīng)該根據(jù)對不同的學(xué)生實際，不同難度的數(shù)學(xué)

9、教學(xué)內(nèi)容來確定不同的順序?！蹦阃膺@個觀點嗎？以下的一些情況，你認(rèn)為分別運用哪一種教學(xué)順序更合適？請在括號內(nèi)分別寫出順序一或二。并簡要說明理由。 班級學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對比較弱；( ) 班級學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對比較好；( ) 數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容比較抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)的難度比較大；( ) 學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容難度比較小；( )(4) 如果對兩個基礎(chǔ)差不多的班級學(xué)生，分別用上面的兩種順序進(jìn)行教學(xué)，那么這兩個班的學(xué)生，在三角形與梯形的面積計算公式的理解與掌握水平上會有差異嗎？如果沒有差異，主要原因是什么？如果有，主要差異是哪些？(5) *如果要運用上面的兩種不同的教學(xué)順序設(shè)計做一個對比教學(xué)實驗，那么，這個實驗的主

10、要過程是哪些？請你寫一寫。(二)5 按照現(xiàn)行教材的編寫順序，在學(xué)習(xí)平行四邊形面積計算公式之前，學(xué)生有哪些知識和經(jīng)驗與學(xué)習(xí)這一知識密切相關(guān)？6 *在學(xué)生沒有學(xué)習(xí)平行四邊形面積公式之前，如果給他們一個平行四邊形的紙片，讓他們求出這個平行四邊形的面積，他們可能會運用什么樣的方法？(如果讀者感興趣，可以把了解學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形的面積計算公式的起點，作為一個專題來研究，寫成專題研究文章，即通過調(diào)查，包括訪談，了解到學(xué)生的學(xué)習(xí)起點和解決問題的不同思路。)7 一個老師在上平行四邊形面積計算公式這節(jié)課時，設(shè)計了開門見山的導(dǎo)入方式，上課一開始教師就在黑板上寫出：平行四邊形的面積。并問：看到這個課題，你想提出什么

11、數(shù)學(xué)問題。（學(xué)生提問。）教師根據(jù)學(xué)生的提問梳理篩選出學(xué)習(xí)目標(biāo)：(1)什么是平行四邊形的面積？(2)怎樣計算平行四邊形的面積？(3)計算平行四邊形的面積有什么用處？ 你喜歡這樣的開頭方式嗎？你覺得這樣的設(shè)計有什么優(yōu)點？有什么不足？8 大家知道，在學(xué)習(xí)平行四邊形的面積計算公式之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了長方形的面積計算公式，但在長方形的面積計算公式推導(dǎo)中，學(xué)生并沒有學(xué)到“圖形的面積大小與高有關(guān)”這一知識點，也沒有相應(yīng)的基本活動經(jīng)驗。在平行四邊形的面積計算公式推導(dǎo)中，學(xué)生將第一次接觸“圖形的面積與高有關(guān)”這一知識。掌握這一知識對于推導(dǎo)三角形和梯形的面積計算公式，顯然有著十分重要的意義。想一想，你有什么辦法可

12、以讓學(xué)生明確平行四邊形的面積大小與高有關(guān)？下面的做法是否可以使學(xué)生明確到這一點？先用硬紙板做一個平行四邊形的框架，然后拉動變形，使得變化出的平行四邊形有不同的高。拉動時，先定格在一個位置，讓學(xué)生觀察這時平行四邊形的底、高和面積等因素，再拉動定格在另一位置，讓學(xué)生觀察、想象、思考：兩個不同位置時平行四邊形的什么變了？什么沒有變？再做一個課件，在網(wǎng)格中先出示一個平行四邊形，然后慢慢的不斷變化，把變化前后的幾個平行四邊形都呈現(xiàn)出來(如下圖2)，讓學(xué)生觀察、想象、思考：什么在變？什么沒有變？平行四邊形的面積大小是怎么變化的？底與高是怎樣在變化？面積的大小與什么有關(guān)？9 有一個老師在備平行四邊形面積教學(xué)

13、這節(jié)課時，做了以下的預(yù)設(shè)：今天我們來研究平行四邊形的面積(板書課題)。這里有兩個圖形(如圖3)，一個是長方形，一個是平行四邊形，請大家先測量出必要的數(shù)據(jù)，再通過計算求出它們的面積。 圖3預(yù)設(shè)：第一個圖形是長方形，學(xué)生會先量出(或數(shù)出)它的長是6厘米，寬是4厘米，從而計算出面積是6×4=24(平方厘米)。第二個圖形是平行四邊形，學(xué)生可能會運用以下的一些方法求出它的“面積”：方法一：先量出橫的(水平的)底是6厘米，斜的(傾斜的)底是5厘米，從而計算出面積是6×5=30(平方厘米)。這實質(zhì)上是學(xué)生的猜想，這部分學(xué)生認(rèn)為平行四邊形面積等于相鄰兩邊的乘積。方法二：先測量出平行四邊形相

14、鄰兩條邊的長度(也是兩條底邊的長度)，分別是6厘米和5厘米,再計算出面積是(6+5)×2=22(平方厘米)。這是學(xué)生的又一個猜想。方法三：先畫出這個平行四邊形底邊上的高，再量出高是4厘米，底是6厘米，面積是6×4=24(平方厘米)。這也是學(xué)生的一個猜想。在學(xué)生有這些猜想后，接著就是運用各種方法來驗證猜想是否正確。在上面的預(yù)設(shè)中，你覺得：(1)學(xué)生有可能象方法一這樣求平行四邊形的面積嗎？(2)認(rèn)為平行四邊形面積等于相鄰兩邊乘積的學(xué)生數(shù)占全班的百分比大約是多少？(3)學(xué)生為什么會認(rèn)為：平行四邊形的面積等于相鄰兩邊的乘積呢？也就是他們產(chǎn)生這一結(jié)論的主要原因是什么？(4)可以設(shè)計怎

15、樣的教學(xué)過程，逐步引導(dǎo)學(xué)生自己認(rèn)識到：“平行四邊形面積等于相鄰兩邊的乘積”這一結(jié)論是錯誤的？適當(dāng)?shù)馗倪M(jìn)上面第9題的演示過程，可以讓學(xué)生明確這一點嗎？10 在平行四邊形面積計算公式教學(xué)時，要運用化歸的方法，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成為已經(jīng)知道面積計算公式的長方形。這是學(xué)生第一次接觸到剪、拼轉(zhuǎn)化的方法。想一想，你可以通過怎樣的引導(dǎo)過程，能夠使更多的學(xué)生自己想到用這種剪、拼的方法？下面是兩個不同的引導(dǎo)過程，你更喜歡哪一個設(shè)計？為什么？(1) 整體入手的方法：教師向?qū)W生說明，下面將出示一些圖形，要求他們求出這些圖形的面積。如果圖形中有方格，那么一個小方格代表1平方厘米。圖4 出示上圖4(1)，讓學(xué)生說一說它的

16、面積是多少。可以用什么方法知道這個長方形的面積。交流后得到可以用數(shù)方格(數(shù)方格法)和測量出長與寬的長度再計算出面積(公式法)這兩種方法。板書：數(shù)方格法：要把圖形放在網(wǎng)格中。公式法：要測量出相關(guān)線段的長度，然后運用這些長度進(jìn)行計算，從而得出這個圖形的面積。 出示圖4(2)，讓學(xué)生說出面積是多少。并進(jìn)一步明確可以用數(shù)方格法和公式法得出面積。引出剪、拼轉(zhuǎn)化的思想，討論交流：剪、拼轉(zhuǎn)化前后兩個圖形的什么變了(形狀變了)，什么沒有變(面積的大小沒有變)。如果要用公式法計算這個圖形的面積，需要測量出哪幾條線段的長度(或者說哪幾條線段的長度需要知道。) 出示圖4(3)，與上述過程類似。并進(jìn)一步討論出可以在不

17、同的地方剪開，再拼。強調(diào)用剪、拼的方法轉(zhuǎn)化成已經(jīng)知道面積計算公式的圖形時，要注意剪、拼前后兩個圖形的比較與分析。 出示圖4(4)，讓學(xué)生分別用數(shù)方格法和用剪、拼的方法得出這個平行四邊形的面積。比較剪、拼前后的兩個圖形，得出如果要用公式法計算平行四邊形面積，那么就要測量出平行四邊形的底與高，公式是：平行四邊形面積=底×高。 出示圖4(5)，讓學(xué)生想一想，要求出這個平行四邊形的面積需要測量哪幾條線段的長度。這個圖形的面積是多少。 出示圖4(6)，與上述過程類似。要求學(xué)生自己畫出高，測量后再求出面積。 讓學(xué)生自己在方格紙上任意畫一個平行四邊形，先用公式法求出面積，再用數(shù)方格的方法進(jìn)行驗證。

18、(2) 局部入手的方法(數(shù)方格的方法)：學(xué)生在學(xué)習(xí)長方形面積計算公式時，是先用面積單位去度量，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律得到公式的。因此，用數(shù)方格的方法求出一個圖形的面積學(xué)生有一定的活動經(jīng)驗。讓學(xué)生用數(shù)方格的方法求平行四邊形的面積，當(dāng)遇到不是正好一格的時候，就要想辦法拼成一整格，要找到兩個(或幾個)不到一整格的圖形，使這些圖形可以拼成一整格，即拼成一個小正方形。這樣就會有部分學(xué)生想到把不到一格的剪下來，與另一個不到一格的圖形拼在一起。在面積不變的情況下，把不是整格的圖形轉(zhuǎn)化為整格。這可能是最容易想到用剪、拼方法的地方，也可能是剪、拼方法產(chǎn)生的最直接原因。學(xué)生在小范圍的部分剪、拼中(從理論上說，每次剪下的一塊都是可以是不足一整格的)，逐步發(fā)現(xiàn)較大范圍的整體剪、拼，即可以剪下一個三角形(或梯形)，再通過兩個三角形(或梯形)拼在一起，可以得到一個長方形，從而把平行四邊形轉(zhuǎn)化成了已經(jīng)知道面積計算公式的長方形了。這就是剪拼轉(zhuǎn)化思想的產(chǎn)生的整個過程。具體的操作過程如下： 出示圖5，先說明每一個小方格表示1平方厘米，再讓學(xué)生數(shù)一數(shù)(用數(shù)格的方法)這兩個面積各是多少平方厘米。 圖5學(xué)生數(shù)后思考：哪一個圖形的面積容易數(shù)出？為什么？這個平行四邊形的面積是多少？你是怎樣數(shù)的？交流后得出：長方形的面積容易數(shù)出，