第十講弧、弦、圓心角、圓周角

1、第十講 弧、弦、圓心角、圓周角知識(shí)點(diǎn)一弧、弦、圓心角的關(guān)系【定義】、如圖所示，AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做 【探究】如圖所示的O中，分別作相等的圓心角AOB和AOB將圓心角AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到AOB的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？相等的弦： ；相等的弧： 【探究】在等圓中，相等的圓心角是否也有所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等呢？ 如圖1，在O和O中，分別作相等的圓心角AOB和AOB得到如圖2，滾動(dòng)一個(gè)圓，使O與O重合，固定圓心，將其中的一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使得OA與OA重合你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由？因此，我們可以得到下面的定理：【歸納】在同圓或等圓中，相等的圓心角所

2、對(duì)的弧 ，所對(duì)的弦 。幾何語(yǔ)言： 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的 相等，所對(duì)的 也相等幾何語(yǔ)言： 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的 相等，所對(duì)的 也相等幾何語(yǔ)言： 【辨析】定理“在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？你能舉出反例嗎？【拓展】如圖，在O中，AB、CD是兩條弦（1） 如果AB=CD，那么_,_（2） 如果弧AB=弧CD，那么_,_（3） 如果AOB=COD，那么_,_（4） 如果AB=CD, OEAB，OFCD,OE與OF相等嗎？（5）如果OE=OF，那么與的大小有什么關(guān)系？AB與CD的

3、大小有什么關(guān)系？為什么？AOB與COD呢？【歸納】:在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中有一組量相等，它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也 。【應(yīng)用】例、如圖，在O中，AB=AC ACB =60 °，求證AOB=BOC=AOC. 方法小結(jié)：圓中證明圓心角相等，可通過(guò)證明_例、如圖，AB是O的直徑，=，COD=35 °，求AOE的度數(shù)。方法小結(jié)：同圓中，弧相等的關(guān)系可轉(zhuǎn)化為_(kāi)例、已知：如圖，A、B、C、D在O上，AB=CD求證：AOC=DOB方法小結(jié)：同圓中，由弦相等可得_,弧之間可進(jìn)行加或_【自我檢測(cè)】1如果兩個(gè)圓心角相等，那么（ ） A這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦相等 B

4、這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等 C這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦的弦心距相等 D以上說(shuō)法都不對(duì) 2在同圓中，圓心角AOB=2COD，則兩條弧AB與CD的關(guān)系是（ ）兩條弦AB和CD的關(guān)系是（ ） A. AB=2CD BAB>2CD CAB<2CD D不能確定 3、一條弦長(zhǎng)恰好為半徑長(zhǎng)，則此弦所對(duì)的弧是半圓的_4、如圖，AB和DE是O的直徑，弦ACDE，若弦BE=3，則弦CE=_5、如圖所示，平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑的圓分別交AD、BC于E、F，延長(zhǎng)BA交圓于G。求證： 思路導(dǎo)航：證弧EF和弧GE相等，可通過(guò)證明兩條弧所對(duì)的_相等，因此，可作輔助線_6、已知：如圖，P是AOB的角

5、平分線OC上的一點(diǎn)，P與OA相交于E，F(xiàn)點(diǎn)，與OB相交于G，H點(diǎn)，試確定線段EF與GH之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論思路導(dǎo)航：由角平線線可聯(lián)想_,因此可添加輔且線_由同圓中_相等，可得出弦EF和GH相等。知識(shí)點(diǎn)二、圓周角定理【探究】：同學(xué)甲站在圓心O 的位置，同學(xué)乙站在正對(duì)著玻璃窗的 靠墻的位置C，他們的視角（AOB和ACBÐ）有什么關(guān)系?！咎骄俊浚喝绻瑢W(xué)丙、丁分別站在其他靠墻的位置D和E，他們的視角ADB和AEB相同嗎？ACB, ADB和AEB的共同特征是，頂點(diǎn)在_，并且兩邊_的角叫做圓周角?！颈嫖觥孔R(shí)別圖形：判斷下列各圖中的角是否是圓周角？【探究】如圖，AB為O的直徑，BOC、

6、BAC分別是BC所對(duì)的圓心角、圓周角，求出圖（）、（）、（）中BAC的度數(shù)通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：BACBOC試證明這個(gè)結(jié)論【探究】如圖，B C所對(duì)的圓心角有多少個(gè)？B C所對(duì)的圓周角有多少個(gè)？在畫出的無(wú)數(shù)個(gè)圓周角中，這些圓周角與圓心O有幾種位置關(guān)系？你能證明剛才的結(jié)論嗎？ 圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半推論:半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑辨析：在半徑不等的圓中，相等的兩個(gè)圓周角所對(duì)的弧相等嗎？【小結(jié)】：圓周角定理的前提條件是：_【應(yīng)用】例1、 圖中分別相等的圓周角有_例2、 如圖，點(diǎn)A、B、C在O上，AO

7、BC，OAC=20°，則AOB的度數(shù)是_.方法小結(jié)：求圓中的圓周角可利用_所對(duì)_實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。例3、 如圖， OA、OB、OC都是圓O的半徑,AOB=2BOC求證:ACB=2BAC方法小結(jié)：已知兩個(gè)圓心角的關(guān)系，可通過(guò)_所對(duì)的_與_的關(guān)系聯(lián)系已知與未知。例4、如圖，AB是O的直徑，BD是O的弦，延長(zhǎng)BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？方法小結(jié)：直徑所對(duì)的圓周角是_，垂直可結(jié)合等腰三角形_的性質(zhì)。例5、如圖，AB為圓O的直徑，CD為圓O的弦，ACD=42度，則BAD=_方法小結(jié)：圓中出現(xiàn)直徑，求圓周角時(shí)，可構(gòu)造直徑所對(duì)_解題?！咀晕覚z測(cè)】1、 如圖，ABD的三個(gè)頂點(diǎn)

8、在O上，AB是直徑，點(diǎn)C在O上，且ABD=52°，則BCD=_2、 如圖，在O中，弧AB=弧AC，AOB=50°，則ADC的度數(shù)=_3、 如圖，BD是O的直徑，CBD=30°，則A的度數(shù)為_(kāi)4、 如圖4，A、B是O的直徑，C、D、E都是圓上的點(diǎn)，則1+2=_ 【經(jīng)典例題】例、如圖，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在圓O上，且對(duì)角線ACBD,OEBC于點(diǎn)E，求證：OE= AD思路導(dǎo)航：由倍分關(guān)系，聯(lián)系_，由OE和BC的位置關(guān)系，由垂徑定可知點(diǎn)E是BC的_,又由圓的性質(zhì)知點(diǎn)O為直徑的中點(diǎn)，故可作輔助線_本題知識(shí)點(diǎn)：_,_,_知識(shí)點(diǎn)三、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【定義】如果四邊形的各頂

9、點(diǎn)在一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓。例如，圖1中，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形；O是四邊形ABCD的外接圓。圓內(nèi)接四邊形有以下性質(zhì)： 性質(zhì)定理 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的相鄰內(nèi)角的對(duì)角。應(yīng)用例1、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，BOD=100°，則BCD=_度例2、如圖A，B，C是O上的三個(gè)點(diǎn)，若AOC=100°，則ABC等于例3、如圖，ABC內(nèi)接于O，OBC=40°，則A的度數(shù)為 方法小結(jié)：圓中求角的問(wèn)題可利用圓內(nèi)接四邊形_的性質(zhì)解題，未出現(xiàn)基本圖形時(shí)，可構(gòu)造圓內(nèi)接邊形解題。例4、如圖，AB是半圓的

10、直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，ABC=50°，則DAB等于（   ）例5、如圖，已知AB=AC=AD，BAC=44°，則BDC的度數(shù)為（） 方法小結(jié)：弧中點(diǎn)的條件可轉(zhuǎn)化為_(kāi),見(jiàn)直徑應(yīng)想到_，例5中出現(xiàn)到定點(diǎn)A的距離相等的線段，可構(gòu)造輔助圓。 經(jīng)典例題 如圖，ABC內(nèi)接于O，且ABACBAC的外角平分線交O于E，EFAB，垂足為F（1）求證：EB=EC；（2）分別求式子 和的值（3）若EF=AC=3，AB=5，求AEF的面積妙題巧解如圖，在四邊形ABCD中，ABC=ADC=90°，DAB=60°，BD=6cm，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)【自我檢測(cè)】1、 如圖12，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，DCE=70°，則BOD=_2、如圖，A、B、C在O上，OAB=22.5°，則ACB=_3、如圖，O是ABC的外接圓，已知B=62°，則CAO=_4、已知A，B，C是O上不同的三個(gè)點(diǎn)，AOB=60°，則ACB=_5、如圖OA=OB=OC且ACB=30°，