數(shù)學(xué)解題技巧導(dǎo)數(shù)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載第十講導(dǎo)數(shù)【考點(diǎn)透視】1 了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念2 熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3 理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系； 了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)）；會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值【例題解析】考點(diǎn) 1 導(dǎo)數(shù)的概念對(duì)概念的要求： 了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，掌握導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念 .例 1f ( x) 是

2、 f (x)1 x32x1 的導(dǎo)函數(shù)，則 f ( 1) 的值是3 考查目的 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)和能力. 解答過(guò)程 f(x)x2 2,f(1)223.1故填 3.例 2.設(shè)函數(shù) f ( x )xa ,集合 M= x | f (x)0 ,P= x | f '( x) 0 ,若 MP,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是x1()A.(- ,1)B.(0,1)C.(1,+ )D. 1,+ ) 考查目的 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力. 解答過(guò)程 由 xa0,當(dāng)a>1時(shí),1xa;當(dāng) a<1時(shí), ax1.x1/xayx a , y/x ax 1a 1 2 0.

3、2x1x1x 1x1a1.綜上可得 MP 時(shí),a1.考點(diǎn) 2曲線的切線（1 ）關(guān)于曲線在某一點(diǎn)的切線求曲線 y=f(x) 在某一點(diǎn)P（ x,y ）的切線， 即求出函數(shù)y=f(x) 在 P 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)的學(xué)習(xí)好資料歡迎下載切線的斜率 .（2 ）關(guān)于兩曲線的公切線若一直線同時(shí)與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.典型例題例 3.已知函數(shù) f ( x)1 x31 ax2bx 在區(qū)間 11)， ， (1，3 內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)32（I ）求 a24b的最大值；（II ）當(dāng) a24b8時(shí)，設(shè)函數(shù) yf ( x) 在點(diǎn) A(1， f (1) 處的切線為 l ，若 l 在點(diǎn) A 處穿過(guò)函數(shù) y

4、f(x) 的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A 附近沿曲線 yf ( x) 運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 時(shí)，從 l 的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)f ( x) 的表達(dá)式思路啟迪 ：用求導(dǎo)來(lái)求得切線斜率 .解答過(guò)程：（ I）因?yàn)楹瘮?shù) f ( x)1 x31 ax 2bx 在區(qū)間 11)， ，(1，3 內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，32所以 f ( x)x2ax b0 在 11)， (1，3內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為x1， x2 （ x1x2 ），則 x2x1a24b ，且 0x2 x1 4 于是0a24b 4， 0a24b 16 ，且當(dāng) x1，x3，即 a2 ， b3 時(shí)等號(hào)12成立故 a24b 的最大值是 16（II ）解法一：由

5、f(1)1 ab 知 f ( x) 在點(diǎn) (1， f (1) 處的切線 l 的方程是yf (1)f(1)(x1) ，即 y(1 ab)x21 a ，32因?yàn)榍芯€ l在點(diǎn) A(1， f ( x) 處空過(guò) yf ( x) 的圖象，所以 g(x)f ( x)(1a b) x21 a 在 x1 兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則32x 1 不是 g( x) 的極值點(diǎn)而 g( x)1 x31 ax2bx(1ab)x21 a ，且3232g ( x)x2axb (1ab)x2axa1 (x 1)(x 1 a) 若 11a ，則 x1 和 x1a 都是 g (x) 的極值點(diǎn)學(xué)習(xí)好資料歡迎下載所以 11 a ，即 a2

6、，又由 a24b8 ，得 b1，故 f (x)1 x3x2x 213解法二：同解法一得g( x)f ( x)(1ab) xa1 ( x3a) x3 a) 321) x2(1(2322因?yàn)榍芯€ l 在點(diǎn) A(1， f (1) 處穿過(guò) yf (x) 的圖象，所以 g( x) 在 x1 兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，于是存在m1， m2 （ m11m2 ）當(dāng) m1x 1時(shí)， g( x)0 ，當(dāng) 1 xm2 時(shí)， g( x)0 ；或當(dāng) m1x 1時(shí)， g ( x)0，當(dāng)1x m2 時(shí)， g(x) 0 設(shè) h( x)x213ax23a，則22當(dāng) m1x 1時(shí)， h(x)0 ，當(dāng) 1 xm2 時(shí)， h( x)0

7、；或當(dāng) m1x 1時(shí)， h( x)0 ，當(dāng) 1 xm2 時(shí)， h(x) 0 由 h(1)0 知 x1 是 h(x) 的一個(gè)極值點(diǎn)，則h(1) 21 13a0 ，2所以 a2 ，又由 a24b8 ，得 b1，故 f ( x)1 x3x2x 例 4.若曲線 yx4 的一條切線 l 與直線 x34 y8 0 垂直，則 l 的方程為（）A 4x y 3 0B x 4 y 5 0C 4x y 3 0D x 4 y 3 0 考查目的 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力. 解答過(guò)程 與直線 x4y 80 垂直的直線 l 為 4x y m0 ，即 yx 4 在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4 ，而 y 4x

8、3 ，所以 yx4在(1 ，1) 處導(dǎo)數(shù)為 4，此點(diǎn)的切線為 4xy30.故選 A.例 5過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與x2 +y2 -4x+2 y+ 5 =0 相切的直線的方程為()2A.y=-3 x 或 y= 1 xB. y=-3 x 或 y=- 1 xC. y=-3 x 或 y=- 1 xD. y=3 x 或 y= 1 x3333 考查目的 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力. 解答過(guò)程 解法 1 ：設(shè)切線的方程為ykx,kx y 0.又 x 2225 ,圓心為 2, 1.y12學(xué)習(xí)好資料歡迎下載2k15 ,3k28k 3 0.k1 , k3.k2 123y1 x, 或 y3

9、x.3故選 A.解法 2:由解法1 知切點(diǎn)坐標(biāo)為 (1331由,),2222( x 2) 22/y 1x/5,2 x2( x2)2y 1 y x/0,yx /x2.y1k1yx /133,k2 yx /3 1(,)(, )222 2y3x, y1 x.31 .3故選 A.例 6.已知兩拋物線 C1 : yx 22x,C 2 : yx2a ,a 取何值時(shí) C1 ， C2 有且只有一條公切線，求出此時(shí)公切線的方程 .思路啟迪 ：先對(duì)C1:yx22,2:yx2a求導(dǎo)數(shù) .x C解答過(guò)程： 函數(shù) yx2'2 x2，曲線 C 在點(diǎn) P(2)處的切線方程為2 x 的導(dǎo)數(shù)為 yx1 , x12x11

10、y (x22x1)2(x2)( xx ) ，即y2(x11)xx12111曲線 C在點(diǎn) Q (x ,x2a) 的切線方程是y(xa)2x(x x) 即122222y2 x2 x x22a若直線 l 是過(guò)點(diǎn) P 點(diǎn)和 Q 點(diǎn)的公切線，則式和式都是l 的方程，故得x1 1x2 ,x12x221，消去 x2 得方程， 2x122x1 1a0若 =442(1a)0，即 a1 時(shí)，解得 x11 ，此時(shí)點(diǎn) P、Q 重合 .22當(dāng)時(shí) a1 ， C1 和 C 2 有且只有一條公切線，由式得公切線方程為y x1 .24考點(diǎn) 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而

11、有力的工具，特別是對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能對(duì)其進(jìn)行全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡(jiǎn)明易行的方法，進(jìn)而與不等式的證明，討論方程解學(xué)習(xí)好資料歡迎下載的情況等問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法.復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)高度重視以下問(wèn)題:1. 求函數(shù)的解析式; 2. 求函數(shù)的值域; 3. 解決單調(diào)性問(wèn)題; 4. 求函數(shù)的極值（最值）;5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式.典型例題例 7函數(shù) f ( x) 的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(a,b) ，導(dǎo)函數(shù) f (x) 在 (a,b)內(nèi)的圖象如圖所示， 則函數(shù) f ( x)在開(kāi)區(qū)間 (a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A1 個(gè)B2 個(gè)yyf (x)C3 個(gè)D 4個(gè)

12、aOb 考查目的 本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)x的應(yīng)用能力 . 解答過(guò)程 由圖象可見(jiàn) , 在區(qū)間 (a,0)內(nèi)的圖象上有一個(gè)極小值點(diǎn) .故選 A.例 8 . 設(shè)函數(shù) f ( x)2x33ax23bx8c在 x1 及 x2 時(shí)取得極值（）求 a、b 的值；（）若對(duì)于任意的x0，3 ，都有 f (x)c2 成立，求 c 的取值范圍思路啟迪 ：利用函數(shù) f ( x) 2x33ax23bx8c 在 x1 及 x2時(shí)取得極值構(gòu)造方程組求a、b 的值解答過(guò)程：（） f( x)6x26ax3b ，因?yàn)楹瘮?shù) f ( x) 在 x1及 x2取得極值，則有f(1) 0 ， f (2) 0 66a

13、3b，0即2412a3b0解得 a3 ， b4 （）由（）可知，f ( x)2x39x212x8c ，f (x)6x218x126( x1)(x2) 當(dāng) x(01)， 時(shí)， f ( x)0 ；學(xué)習(xí)好資料歡迎下載當(dāng) x(12)， 時(shí)， f( x)0 ；當(dāng) x(2，3)時(shí)， f ( x)0 所以，當(dāng) x1 時(shí)， f ( x) 取得極大值f (1)58c ，又 f (0)8c ， f (3) 9 8c 則當(dāng) x0，3時(shí)， f (x) 的最大值為f (3)98c 因?yàn)閷?duì)于任意的 x0，3，有 f ( x)c2 恒成立，所以9 8cc2，解得c1或 c9，因此 c 的取值范圍為 (， 1) (9，) 例

14、 9.函數(shù) y2x4x3 的值域是 _.思路啟迪 ：求函數(shù)的值域， 是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，一般可以通過(guò)圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解， 也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，采用導(dǎo)數(shù)法求解較為容易。解答過(guò)程： 由 2x40得， x2 ，即函數(shù)的定義域?yàn)?2, ) .x30y'112 x32x4 ，2x 4 2 x 32 2x 4 x 3又 2x 32 x42x8，x32x24當(dāng) x2 時(shí)， y' 0，函數(shù) y2 x4x3 在 (2, ) 上是增函數(shù)，而f ( 2)1，y2x4x 3的值域是 1,) .例 10 已知函數(shù) fx4x 33x 2 cos3 co

15、s，其中 xR,為參數(shù)，且 0216（1）當(dāng)時(shí) cos0，判斷函數(shù) f x是否有極值；（2）要使函數(shù)f (x) 的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)（ 2 ）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù) f x在區(qū)間 2a1, a 內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 考查目的 本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力，以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法.學(xué)習(xí)好資料歡迎下載 解答過(guò)程 （）當(dāng) cos0 時(shí)， f ( x)4x3 ，則f (x) 在 (, ) 內(nèi)是增函數(shù)，故無(wú)極值 .（） f '(x) 12x26 xcos，令 f &

16、#39;( x)0 ，得 x10, x2cos .2由（），只需分下面兩種情況討論.當(dāng) cos0 時(shí)，隨 x 的變化f '( x) 的符號(hào)及f (x) 的變化情況如下表：x( ,0)0(0, cos )cos( cos , )222f '( x)+0-0+f ( x)極大值極小值因此，函數(shù)f (x) 在 xcos處取得極小值cos332f() ，且 f ( cos )1 cos22416 .cos) 0，必有1 cos(cos23)0，可得 0cos3 .要使 f (2442由于 0 cos3 ，故2或 311 .2626當(dāng)時(shí) cos0 ，隨 x 的變化，f '(x)

17、的符號(hào)及 f (x) 的變化情況如下表：x(, cos)cos( cos,0)0(0, )222f '( x)+0-0+f ( x)極大值極小值因此，函數(shù) f (x)在 x0 處取得極小值f (0)，且 f (0)3 cos .16若 f (0) 0，則 cos0 .矛盾 .所以當(dāng) cos0 時(shí)， f ( x) 的極小值不會(huì)大于零 .綜上，要使函數(shù) f ( x)在 (,) 內(nèi)的極小值大于零， 參數(shù)的取值范圍為 ( ,)( 3,11 ).6226（III）解：由（ II ）知，函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 (, ) 與 ( cos ,) 內(nèi)都是增函數(shù)。2由題設(shè)，函數(shù)f (x)在(2 a1,a

18、)內(nèi)是增函數(shù)，則a 須滿足不等式組2a1 a或2a1a1 cosa02a12由（ II），參數(shù)時(shí)(,)( 3,11)時(shí)， 0cos3 .要使不等式 2a 11 cos關(guān)于參數(shù)622622恒成立，必有 2a13，即 43a .48學(xué)習(xí)好資料歡迎下載綜上，解得 a 0或 43a 1.8所以 a 的取值范圍是 (,0) 43,1).8例 11設(shè)函數(shù) f(x)= ax (a+1)ln( x+1) ，其中 a-1 ，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間 . 考查目的 本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法,函數(shù)的極值的判定, 考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力 解答過(guò)程 由已知得函數(shù)f (x) 的定義域?yàn)?( 1,

19、) ，且 f ' (x)ax 1 (a 1),x 1（1）當(dāng) 1a 0時(shí)， f ' (x)0, 函數(shù) f (x) 在 ( 1,) 上單調(diào)遞減，（2 ）當(dāng) a0 時(shí)，由 f'(x)10, 解得 x.af ' (x) 、 f (x) 隨 x 的變化情況如下表x(1, 1)1(1, )aaaf ' ( x)0+f ( x)極小值從上表可知當(dāng) x( 1,1 ) 時(shí)， f ' (x)0, 函數(shù) f (x) 在 (1,1) 上單調(diào)遞減 .aa當(dāng) x(1, ) 時(shí)， f ' (x)0, 函數(shù) f (x) 在 (1,) 上單調(diào)遞增 .aa綜上所述：當(dāng) 1

20、 a 0時(shí)，函數(shù) f (x) 在 (1,) 上單調(diào)遞減 .當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f ( x) 在 ( 1, 1) 上單調(diào)遞減，函數(shù) f ( x) 在 (1, ) 上單調(diào)遞增 .aa例 12 已知函數(shù) f (x)ax3bx2cx 在點(diǎn) x0 處取得極大值5 ，其導(dǎo)函數(shù) yf '(x) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1,0) ， (2,0) ，如圖所示 . 求：（） x0 的值；（） a, b, c 的值 . 考查目的 本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的極值的判定, 閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值, 函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力學(xué)習(xí)好資料歡迎下載 解答過(guò)程

21、解法一：（）由圖像可知，在,1 上 f ' x 0 ，在 1,2 上 f ' x 0 ，在 2,上 f ' x0 ,故 f (x) 在（ -， 1），（ 2， +）上遞增，在(1,2) 上遞減，因此 fx 在 x1 處取得極大值，所以x01（） f ' (x)3ax2 2bx c,'''1） 5，由 f（1） =0，（f2） 0，（f3a2bc0,得12a4bc0,abc5,解得 a2,b9,c12.解法二：（）同解法一（）設(shè)f ' (x)m(x1)(x2)mx23mx2m,又 f ' (x) 3ax2 2bx c,所以

22、am , b3 m, c2m32f ( x)m x33 mx2|2mx,32由f (1)即m3得m 6,m2m 5,5，32所以 a2,b9, c12例 13 設(shè) x3是函數(shù) f xx2ax b e3 x xR 的一個(gè)極值點(diǎn) .（）求 a 與 b 的關(guān)系式（用a 表示 b ），并求f x 的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè) a0 ， g xa 225ex .若存在 1, 20,4 使得 f 1 g 21 成立，求 a 的取值范4圍. 考查目的 本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力 . 解答過(guò)程 （） f (x) x2( a 2)x b a e 3 x,由 f (3)

23、=0 ，得 32(a 2)3 b a e3 3，即得 b 3 2a ， 0則 f (x) x2 (a 2)x 3 2a a e 3 x x2 (a 2)x3 3a e3 x (x3)(x a+ 1)e3 x.令 f (x) 0 ，得 x1 3 或 x2 a 1 ，由于 x 3 是極值點(diǎn)，學(xué)習(xí)好資料歡迎下載所以 x+a+ 1 0，那么 a 4.當(dāng) a< 4 時(shí)， x2>3 x1，則在區(qū)間（，3 ）上， f (x) <0 ， f (x) 為減函數(shù)；在區(qū)間（ 3， a 1）上， f (x)>0 ，f (x) 為增函數(shù)；在區(qū)間（ a 1，）上， f (x) <0 ， f

24、(x) 為減函數(shù) .當(dāng) a> 4 時(shí)， x2<3 x1，則在區(qū)間（， a 1 ）上， f (x) <0 ， f (x) 為減函數(shù)；在區(qū)間（ a 1， 3）上， f (x)>0 ，f (x) 為增函數(shù)；在區(qū)間（ 3，）上， f (x) <0 ， f (x) 為減函數(shù) .（）由（）知，當(dāng)a>0 時(shí)， f (x) 在區(qū)間（ 0，3 ）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3， 4）上單調(diào)遞減，那么f (x) 在區(qū)間 0，4上的值域是 min(f (0) ，f (4) )， f (3) ，而 f (0) （ 2a 3）e 3<0 ，f (4) （ 2a 13） e 1 >

25、;0 ，f (3) a 6，那么 f (x) 在區(qū)間 0，4上的值域是 （ 2a 3 ） e 3，a 6.又g( x)(a225x 在區(qū)間 0， 4上是增函數(shù)，)e4且它在區(qū)間 0，4上的值域是 a2 25，（ a2 25） e4 ，44由于（ a2 25 ）（ a 6） a2 a 1 （ a1 ） 2 0 ，所以只須僅須442（ a 2 25 ）（ a 6 ） <1 且 a>0 ，解得 0< a< 3 .42故 a 的取值范圍是（ 0， 3 ） .2例 14已知函數(shù) f ( x)1 ax3bx2(2 b) x 13在 xx1 處取得極大值，在 xx2 處取得極小值，且

26、 0 x1 1 x2 2 （ 1 ）證明 a 0 ；（ 2 ）若 z=a+2 b,求 z 的取值范圍。 解答過(guò)程 求函數(shù) f ( x)的導(dǎo)數(shù) f (x) ax22bx2 b （）由函數(shù)f ( x) 在 xx1 處取得極大值，在xx2 處取得極小值，知x1，x2 是 f (x) 0的兩個(gè)根所以 f ( x)a(xx1 )( xx2 )學(xué)習(xí)好資料歡迎下載當(dāng) xx1 時(shí)， f ( x) 為增函數(shù)，f( x) 0 ，由 x x10 ， xx20 得 a0f (0)02b0（）在題設(shè)下，0x11x22 等價(jià)于 f (1)0即 a2b2b0 f (2)04a4b2b02b 0化簡(jiǎn)得a3b20 4a5b20

27、此不等式組表示的區(qū)域?yàn)槠矫鎍Ob 上三條直線： 2 b0，a3b20，4a5b 20 ABC46，所圍成的的內(nèi)部，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為：， ，A77B(2 2)C(4 2)z 在這三點(diǎn)的值依次為16， b76 8所以z的取值范圍為16，2B(2，2)78C (4，2)146A7，7O24a小結(jié)：本題的新穎之處在把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與線性規(guī)劃有機(jī)結(jié)合考點(diǎn) 4 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用建立函數(shù)模型 , 利用典型例題例 15. 用長(zhǎng)為 18 cm 的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2：1，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？ 考查目的 本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本

28、知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 解答過(guò)程 設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x（m），則長(zhǎng)為 2x(m) ，高為1812 x3x(m)x3h44.50.2故長(zhǎng)方體的體積為V x)2x2(4.5 3x)9x26x33)x3(m(0).2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載從而V() 18x18x2(4.53 )18x(1).xxx令 V （ x） 0，解得 x=0（舍去）或x=1 ，因此 x=1.當(dāng) 0 x1 時(shí)， V（ x） 0 ；當(dāng) 1 x 2 時(shí)， V（ x） 0， 3故在 x=1 處 V （ x）取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V（ x）的最大值。從而最大體積 V V （ x） 9× 1 2-6 &

29、#215; 13（ m3 ），此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 2 m ，高為 1.5 m. 答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 2 m 時(shí)，寬為 1 m ，高為 1.5 m 時(shí)，體積最大，最大體積為 3 m 3。例 16 統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量 y （升）關(guān)于行駛速度x （千米 /小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：y 1 x3 3 x 8(0 x 120). 已知甲、乙兩地相距 100 千米 .12800080（ I ）當(dāng)汽車(chē)以 40 千米 /小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？（ II ）當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 考查目的 本小題主要考查函數(shù)、

30、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 解答過(guò)程 （ I）當(dāng) x40 時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了1002.5 小時(shí)，40要耗沒(méi) (1403340 8)2.517.5（升） .12800080答：當(dāng)汽車(chē)以40 千米 /小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5 升。（II ）當(dāng)速度為 x 千米 /小時(shí)時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了100 小時(shí)，設(shè)耗油量為h( x) 升，依x題意得 h( x)(1x33 x8).1001x280015 (0x120),12800080x1280x4h'( x)x800x3 803(0x120).640 x2640x2令 h'( x)0, 得 x80.當(dāng) x(0,80)時(shí)， h '( x)0,h(x) 是減函數(shù)；當(dāng)x(80,120) 時(shí)， h '(x)0, h( x) 是增函數(shù) .當(dāng) x80時(shí)， h( x) 取到極小值 h(80)11.25.因?yàn)?h( x) 在 (0,120 上只有一個(gè)極值，所以它是最小值.答：當(dāng)汽車(chē)以80 千米 /