分塊乘法的初等變換

1、E分塊成分塊成 ，作，作1次次“初等變換初等變換”可得可得 00mnEE0,0nmEE,0mnEPE0,0nPE0.mnEPE0;0mEP0;0mnEE一、分塊乘法的初等變換一、分塊乘法的初等變換且有且有 0.mnEA BABPEC DCPA DPB 0,0nmEA BC DEC DA B 0,0nPA BPA PBEC DCD 若若A可逆，令可逆，令 上式變?yōu)椋荷鲜阶優(yōu)椋?PCA 1100mnEABA BC DCAEDCA B 特別地特別地,二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例例例1 A，D可逆，求可逆，求 1T 0,ATC D 解：解：及及 1110000AADD 10000mnEAAC DDCAE

2、由由 111100mnEATC DCAE 有有11110AD CAD 111000mnEACAED 例例2 ，求，求 1 11111 111 111111 1A 1A 把把A分塊成分塊成1111,AAAAA 11 1,11A 111111 12A 則則解：解：11.2A 又又 111100AAE EEEAAE E 1120,0AA 111200AEAAE E 11111120000AE EEAEAE E 1111100200AEE EE EEA 1110041002AEE EE EEA 111120000AE EEAEAE E 111111441144AAAA 11110411042AE EE

3、AA 1.4A 例例3證明：證明： ( (A、B為為n級方陣級方陣) ) ABA B 作作 00,0nnEAAABEE BEB 證：證：再作再作 2n 級消法矩陣級消法矩陣 這里這里 ,0nijijnEEPE 中除中除 的元素為的元素為 外，其余元素皆為外，其余元素皆為0 ijaijEi j（ ,）,）由初等矩陣與初等變換的關(guān)系由初等矩陣與初等變換的關(guān)系 , 得得 ,0nnEAE 11111111nnnnaaaa 111100nnnnnnEPPPPE而消法變換不改變行列式的值而消法變換不改變行列式的值, , 1111000nnnnnnEAAAPPPPEE BE B0AE B ,A B ABA

4、B.0ABEB 0( 1)nABBE ( 1)nABE AB 又又 例例4. 設(shè)設(shè) ,且且 ，()ijn nAa 11110kkkkaaaa 1kn證明：存在下三角矩陣證明：存在下三角矩陣 ，使，使 為上三角形為上三角形 n nB BA證：對證：對 作歸納法作歸納法n當(dāng)當(dāng) =1時，時， 為上三角形為上三角形n111111 11(),(),()AaBbBAa b1n 假設(shè)對假設(shè)對 級矩陣命題成立，即對級矩陣命題成立，即對1(1) (1)()ijnnAa 結(jié)論成立，于是存在結(jié)論成立，于是存在 矩陣矩陣 ，滿足，滿足: :(1)(1)nn 1B 為上三角形為上三角形11B A 為上三角形為上三角形 對對A作分塊作分塊 1112,12,1,(,)nnnn nnnnnnnaAAaaaaaa 則則 111111010nnnnAEAaAaA 11111111100 100nnnnAB ABBaAaA n