2015西城區(qū)高三一模數(shù)學(xué)(理)試題及答案(共16頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上北京市西城區(qū)2015年高三一模試卷 數(shù) 學(xué)（理科） 2015.4第卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)1設(shè)集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）（A）（B）（C）（D）2復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限3. 在極坐標(biāo)系中，曲線是（ ） （A）過極點(diǎn)的直線 （B）半徑為2的圓 （C）關(guān)于極點(diǎn)對稱的圖形 （D）關(guān)于極軸對稱的圖形 x=3x開始 n=n+1輸出n結(jié)束否是輸入x4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x的值為

2、3， 則輸出的n的值為（ ） （A）（B）（C）（D）5若函數(shù)的定義域?yàn)?，則“，”是“函數(shù)為增函數(shù)”的（ ）（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件側(cè)(左)視圖正(主)視圖俯視圖21112211116 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積的是（ ） （A） （B）（C） （D）7. 已知6枝玫瑰與3枝康乃馨的價格之和大于24元，而4枝玫瑰與4枝康乃馨的價格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的價格的比較結(jié)果是（ ） （A）2枝玫瑰的價格高（B）3枝康乃馨的價格高 （C）價格相同（D）不確定Oxy5A8. 已知拋物線和所圍成的封閉曲

3、線如圖所示，給定點(diǎn)，若在此封閉曲線上恰有三對不同的點(diǎn)，滿足每一對點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） （A）（B） （C）（D）第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9. 已知平面向量滿足，那么 _.10已知雙曲線C：的一個焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，且雙曲線 C的離心率為，那么雙曲線C的方程為_.11在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 若，則_. 12若數(shù)列滿足，且對于任意的，都有，則_；數(shù)列前10項(xiàng)的和_13. 某種產(chǎn)品的加工需要A，B，C，D，E五道工藝，其中A必須在D的前面完成（不一定相鄰），其它工藝的順序可以改變，但不能同時進(jìn)行，為了節(jié)

4、省加工時間，B與C必須相鄰，那么完成加工該產(chǎn)品的不同工藝的排列順序有_種. （用數(shù)字作答）BADC14. 如圖，四面體的一條棱長為，其余棱長均為1，記四面體的體積為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_；最大值為_.三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，.（）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（）已知函數(shù)的圖象與直線有交點(diǎn)，求相鄰兩個交點(diǎn)間的最短距離.16（本小題滿分13分）2014年12月28日開始，北京市公共電汽車和地鐵按照里程分段計價. 具體如下表.（不考慮公交卡折扣情況）乘公共電汽車 方案10公里（含）內(nèi)2元；10公里以上部分，每增加1元可

5、乘坐5公里（含）.乘坐地鐵方案（不含機(jī)場線）6公里（含）內(nèi)3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）. 已知在北京地鐵四號線上，任意一站到陶然亭站的票價不超過5元，現(xiàn)從那些只乘坐四號線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中隨機(jī)選出120人，他們乘坐地鐵的票價統(tǒng)計如圖所示O票價(元)345104050人數(shù)302060（）如果從那些只乘坐四號線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中任選1人，試估計此人乘坐地鐵的票價小于5元的概率；（）從那些只乘坐四號線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中隨機(jī)選2人，記X為這2人乘坐地鐵的

6、票價和，根據(jù)統(tǒng)計圖，并以頻率作為概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）小李乘坐地鐵從A地到陶然亭的票價是5元，返程時，小李乘坐某路公共電汽車所花交通費(fèi)也是5元，假設(shè)小李往返過程中乘坐地鐵和公共電汽車的路程均為s公里，試寫出s的取值范圍(只需寫出結(jié)論)17（本小題滿分14分）如圖，在五面體中，四邊形是邊長為4的正方形，平面平面，且, ，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn).（）證明：平面；（）若直線BF與平面所成角的正弦值為，求的長；FC A DB G E （）判斷線段上是否存在一點(diǎn)，使/平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由 18（本小題滿分13分）設(shè)，函數(shù)，函數(shù)，. （）當(dāng)時，寫出函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由；（）

7、若曲線與曲線分別位于直線的兩側(cè)，求的所有可能取值.19（本小題滿分14分）設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對稱.（）求橢圓的方程；（）過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，問是否存在直線，使得四邊形的對角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由. 20（本小題滿分13分） 已知點(diǎn)列(，)滿足，且與() 中有且僅有一個成立（）寫出滿足且的所有點(diǎn)列；（） 證明：對于任意給定的（，），不存在點(diǎn)列，使得；（）當(dāng)且（）時，求的最大值北京市西城區(qū)2015年高三一模試卷參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 高三數(shù)學(xué)（理科） 2015.4一、選擇題：本大題共8小題，

8、每小題5分，共40分.1B 2C 3D 4B 5B 6A 7A 8D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9 10 11 12 13 14 (或?qū)懗? 注：第12，14題第一問2分，第二問3分.三、解答題：本大題共6小題，共80分. 其他正確解答過程，請參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分. 15（本小題滿分13分） （）解：因?yàn)?1分 3分=， 5分因?yàn)?， 所以， 6分所以 ， 即，其中當(dāng)時，取到最大值2；當(dāng)時，取到最小值， 所以函數(shù)的值域?yàn)? 9分（）依題意，得， 10分 所以 或 ， 12分所以 或 ， 所以函數(shù)的圖象與直線的兩個相鄰交點(diǎn)間的最短距離為. 13分16（本小題滿分13分）（）解

9、：記事件A為“此人乘坐地鐵的票價小于5元”， 1分 由統(tǒng)計圖可知，得120人中票價為3元、4元、5元的人數(shù)分別為，（人）.所以票價小于5元的有（人） 2分故120人中票價小于5元的頻率是 所以估計此人乘坐地鐵的票價小于5元的概率 4分（）解：X的所有可能取值為6，7，8，9，10. 5分 根據(jù)統(tǒng)計圖，可知120人中地鐵票價為3元、4元、5元的頻率分別為， ，即， 6分 以頻率作為概率，知乘客地鐵票價為3元、4元、5元的概率分別為， 所以 ， 8分所以隨機(jī)變量的分布列為：X678910P 9分所以. 10分（）解： 13分17（本小題滿分14分）（）證明：因?yàn)椋c(diǎn)G是EF的中點(diǎn)， 所以 . 1分

10、 又因?yàn)?， 所以 . 2分 因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?平面， 所以 平面. 4分（）解：因?yàn)槠矫?，所以兩兩垂? 以A為原 點(diǎn)，以，分別為軸、軸和軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 5分FC A DB G E zxy則，設(shè)，則， 所以，. 設(shè)平面的法向量為， 由 ，得 令 , 得. 7分 因?yàn)锽F與平面所成角的正弦值為， 所以 ， 8分 即 ， 解得或. 所以 或 . 9分（）解：假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得/平面， 設(shè)，則 ， 由 ，得， 10分 設(shè) ，則， 所以 . 11分 設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，由 ，得 令 , 得， 12分 因?yàn)?/平面， 所以 ，即，解得 .所以 ，此時，所以當(dāng)時， /平

11、面. 14分18.（本小題滿分13分）（）證明：結(jié)論：函數(shù)不存在零點(diǎn). 1分 當(dāng)時，求導(dǎo)得， 2分 令，解得. 3分 當(dāng)變化時，與的變化如下表所示：0 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 則當(dāng)時，函數(shù)有最大值. 4分 所以函數(shù)的最大值為， 所以函數(shù)不存在零點(diǎn). 5分（）解：由函數(shù)求導(dǎo)，得 ， 令，解得. 當(dāng)變化時，與的變化如下表所示：0 7分 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 則當(dāng)時，函數(shù)有最大值； 8分 由函數(shù)，求導(dǎo)，得 ， 9分 令 ，解得. 當(dāng)變化時，與的變化如下表所示：0 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 則當(dāng)時，函數(shù)有最小值. 11分 因?yàn)?，函?shù)有最大值， 所以曲線在直線的

12、下方，而曲線在直線的上方， 所以， 12分 解得. 所以的取值集合為. 13分19（本小題滿分14分）（）解：由點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對稱，得， 1分 所以橢圓E的焦點(diǎn)為， 2分 由橢圓定義，得 . 所以 ，. 4分 故橢圓E的方程為. 5分（II）解：結(jié)論：存在直線，使得四邊形的對角線互相平分. 6分 理由如下： 由題可知直線，直線PQ的斜率存在， 設(shè)直線的方程為，直線PQ的方程為. 7分 由 消去， 得， 8分 由題意，可知 ，設(shè)， 則， 9分 由消去, 得， 由，可知 ，設(shè)，又， 則，. 10分 若四邊形的對角線互相平分，則與的中點(diǎn)重合， 所以，即， 11分 故. 12分 所以 . 解得 . 所以直線為時， 四邊形的對角線互相平分. 14分 （注：利用四邊形為平行四邊形，則有，也可解決問題）20（本小題滿分13分）（）解：符合條件的點(diǎn)列為； 或；或 3分（）證明：由已知，得， 所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 由，得（） 3分 故 5分 若存在點(diǎn)列，使得， 則 ，即 因?yàn)檎麛?shù)和總是一個為奇數(shù)，一個為偶數(shù)，且， 而整數(shù)中不含有大于1的奇因子， 所以對于任意正整數(shù)，任意