中考數(shù)學(xué)壓軸題專題04：三角形四邊形存在性問題【裴培老師搜集】

1、2012年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題分類解析匯編專題4：三角形四邊形存在性問題30. （2012黑龍江龍東地區(qū)10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的邊OC、OA分別與x軸、y軸重合，ABOC，AOC=90°，BCO=45°，BC=12，點C的坐標(biāo)為（18，0）。（1）求點B的坐標(biāo)；（2）若直線DE交梯形對角線BO于點D，交y軸于點E，且OE=4，OD=2BD，求直線DE的解析式；（3）若點P是（2）中直線DE上的一個動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）過點B作BF

2、x軸于F，在RtBCF中BCO=45°，BC=12，CF=BF=12 。 C 的坐標(biāo)為（18，0），AB=OF=6。點B的坐標(biāo)為（6，12）。（2）過點D作DGy軸于點G，OD=2BD，OD=OB。ABDG，ODGOBA 。 ，AB=6，OA=12，DG=4，OG=8。D（4，8），E（0，4）。設(shè)直線DE解析式為y=kx+b（k0） ，解得。直線DE解析式為y=x+4。（3）結(jié)論：存在。點Q的坐標(biāo)為：（2 ，2 ），（2 ，2 ），（4，4），（2，2）?！究键c】一次函數(shù)綜合題，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，菱形的判定和性質(zhì)

3、?！痉治觥浚?）構(gòu)造等腰直角三角形BCF，求出BF、CF的長度，即可求出B點坐標(biāo)。（2）已知E點坐標(biāo)，欲求直線DE的解析式，需要求出D點的坐標(biāo)構(gòu)造ODGOBA，由線段比例關(guān)系求出D點坐標(biāo)，從而可以求出直線DE的解析式。（3）如圖所示，符合題意的點Q有4個：設(shè)直線y=x+4分別與x軸、y軸交于點E、點F，則E（0，4），F(xiàn)（4，0），OE=OF=4，EF=4。菱形OEP1Q1，此時OE為菱形一邊。則有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EFP1E=44。易知P1NF為等腰直角三角形，P1N=NF=P1F=42。設(shè)P1Q1交x軸于點N，則NQ1=P1Q1P1N=4（42）=2。又ON=OFNF=2

4、，Q1（2 ，2）。菱形OEP2Q2，此時OE為菱形一邊。此時Q2與Q1關(guān)于原點對稱，Q2（2，2）。菱形OEQ3P3，此時OE為菱形一邊。此時P3與點F重合，菱形OEQ3P3為正方形，Q3（4，4）。菱形OP4EQ4，此時OE為菱形對角線。由菱形性質(zhì)可知，P4Q4為OE的垂直平分線，由OE=4，得P4縱坐標(biāo)為2，代入直線解析式y(tǒng)=x+4得橫坐標(biāo)為2，則P4（2，2）。由菱形性質(zhì)可知，P4、Q4關(guān)于OE或x軸對稱，Q4（2，2）。綜上所述，存在點Q，使以O(shè)、E、P、Q為頂點的四邊形是菱形，點Q的坐標(biāo)為：Q1（2，2），Q2（2，2），Q3（4，4），Q4（2，2）。31. （2012黑龍江綏化

5、10分）如圖，四邊形ABCD為矩形，C點在x軸上，A點在y軸上，D點坐標(biāo)是（0，0），B點坐標(biāo)是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，且F點的坐標(biāo)是（2，4）（1）求G點坐標(biāo)；（2）求直線EF解析式；（3）點N在x軸上，直線EF上是否存在點M，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）由已知得，F(xiàn)G=AF=2，F(xiàn)B=1。四邊形ABCD為矩形，B=90°。G點的坐標(biāo)為（3，4）。（2）設(shè)直線EF的解析式是y=kx+b，在RtBFG中，BFG=60°。AF

6、E=EFG=60°。AE=AFtanAFE=2tan60°=2。E點的坐標(biāo)為（0，42）。又F點的坐標(biāo)是（2，4）， 解得。直線EF的解析式為。（3）存在。M點的坐標(biāo)為（），（），（ ）?！究键c】一次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，待定系數(shù)法，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)折疊性質(zhì)可知FG=AF=2，而FG=ABAF=1，則在RtBFG中，利用勾股定理求出BG的長，從而得到CG的長，從而得到G點坐標(biāo)。（2）由題意，可知AEF為含30度角的直角三角形，從而可求出E

7、點坐標(biāo)；又F點坐標(biāo)已知，所以可利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式。（3）分FG為平行四邊形邊和對角線兩種情況討論，探究可能的平行四邊形的形狀： 若以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，則可能存在以下情形：FG為平行四邊形的一邊，且N點在x軸正半軸上，如圖1所示。過M1點作M1Hx軸于點H，易證M1HN1GBF，M1H=GB=，即yM1=。由直線EF解析式，求出。M1（）。FG為平行四邊形的一邊，且N點在x軸負半軸上，如圖2所示。仿照與相同的辦法，可求得M2（）。FG為平行四邊形的對角線，如圖3所示。過M3作FB延長線的垂線，垂足為H易證M3FHGN3C，則有M3H=CG=4，所以M3的縱

8、坐標(biāo)為8。代入直線EF解析式，得到M3的橫坐標(biāo)為。M3（）。綜上所述，存在點M，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，點M的坐標(biāo)為：M1（），M2（），M3（ ）。32. （2012黑龍江黑河、齊齊哈爾、大興安嶺、雞西10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知RtAOB的兩條直角邊0A、08分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x27x+12=0的兩根(OA<0B)，動點P從點A開始在線段AO上以每秒l個單位長度的速度向點O運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒(1)求A、B兩點的坐標(biāo)。(2)求當(dāng)t為何值時，A

9、PQ與AOB相似，并直接寫出此時點Q的坐標(biāo)(3)當(dāng)t=2時，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點M，使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）由x27 x +12=0解得x1=3，x2=4。 OAOB ，OA=3 , OB=4。A(0，3)， B(4，0)。 (2)由OA=3 , OB=4，根據(jù)勾股定理，得AB=5。由題意得，AP=t, AQ=52t 。分兩種情況討論：當(dāng)APQ=AOB時，如圖1，APQAOB。 ，即 解得 t= 。Q（）。當(dāng)AQP=AOB時，如圖2， APQABO。 ，即 解得 t= 。Q（）。（3）存在。M1（），

10、 M2（），M3（）?！究键c】動點問題，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定?！痉治觥浚?）解出一元二次方程，結(jié)合OAOB即可求出A、B兩點的坐標(biāo)。 （2）分APQ=AOB和AQP=AOB兩種情況討論即可。（3）當(dāng)t=2時，如圖，OP=2，BQ=4，P（0，1），Q（）。 若以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形，則 當(dāng)AQ為對角線時，點M1的橫坐標(biāo)與點Q的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為。M1（）。 當(dāng)PQ為對角線時，點M2的橫坐標(biāo)與點Q的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為。M2（）。當(dāng)AP為對角線時，點Q、M3關(guān)于AP的中點對稱。由A(0，3)，P（0，1）得AP的中點坐標(biāo)為（0，2）。

11、由Q（）得M3的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為。M3（）。綜上所述，若以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形，則M點的坐標(biāo)為（）或（）或（）。33. （2012湖北襄陽12分）如圖，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點B落在OA邊上的點E處分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O，D，C三點（1）求AD的長及拋物線的解析式；（2）一動點P從點E出發(fā)，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿CO以每秒1個單位長的速度向點O運動，當(dāng)點P運動到點C時，兩點同時停止運動設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t

12、為何值時，以P、Q、C為頂點的三角形與ADE相似？（3）點N在拋物線對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M與點N的坐標(biāo)（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）四邊形ABCO為矩形，OAB=AOC=B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10。由折疊的性質(zhì)得，BDCEDC，B=DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD。由勾股定理易得EO=6。AE=106=4。設(shè)AD=x，則BD=CD=8x，由勾股定理，得x2+42=（8x）2，解得，x=3。AD=3。拋物線y=ax2+bx+

13、c過點D（3，10），C（8，0），解得。拋物線的解析式為：。 （2）DEA+OEC=90°，OCE+OEC=90°，DEA=OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，PC=102t。當(dāng)PQC=DAE=90°，ADEQPC，即，解得。當(dāng)QPC=DAE=90°，ADEPQC，即，解得。當(dāng)或時，以P、Q、C為頂點的三角形與ADE相似。（3）存在符合條件的M、N點，它們的坐標(biāo)為：M1（4，32），N1（4，38）；M2（12，32），N2（4，26）；M3（4，），N3（4，）。【考點】二次函數(shù)綜合題，折疊和動點問題，矩形的性質(zhì)

14、，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)折疊圖形的軸對稱性，CEDCBD，在RtCEO中求出OE的長，從而可得到AE的長；在RtAED中，AD=ABBD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的長進一步能確定D點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式。 （2）由于DEC=90°，首先能確定的是AED=OCE，若以P、Q、C為頂點的三角形與ADE相似，那么QPC=90°或PQC=90°，然后在這兩種情況下，分別利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出對應(yīng)的t的值。（3）假設(shè)存在符合條件

15、的M、N點，分兩種情況討論：EC為平行四邊形的對角線，由于拋物線的對稱軸經(jīng)過EC中點，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點必為拋物線頂點。由得拋物線頂點，則：M（4，）。平行四邊形的對角線互相平分，線段MN必被EC中點（4，3）平分，則N（4，）。EC為平行四邊形的邊，則ECMN，設(shè)N（4，m），則M（48，m+6）或M（4+8，m6）；將M（4，m+6）代入拋物線的解析式中，得：m=38，此時 N（4，38）、M（4，32）；將M（12，m6）代入拋物線的解析式中，得：m=26，此時 N（4，26）、M（12，32）。綜上所述，存在符合條件的M、N點，它們的坐標(biāo)為：M1（4，32），N1（

16、4，38）；M2（12，32），N2（4，26）；M3（4，），N3（4，）。34. （2012湖南永州10分）如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx1（a0）的圖象過點A（2，0）和B（4，3），l為過點（0，2）且與x軸平行的直線，P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的任意一點，過P作PHl，H為垂足（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）請直接寫出使y0的對應(yīng)的x的取值范圍；（3）對應(yīng)當(dāng)m=0，m=2和m=4時，分別計算|PO|2和|PH|2的值由此觀察其規(guī)律，并猜想一個結(jié)論，證明對于任意實數(shù)m，此結(jié)論成立；（4）試問是否存在實數(shù)m可使POH為正三角形？若存在，求出m的值；若

17、不存在，請說明理由【答案】解：（1）二次函數(shù)y=ax2+bx1（a0）的圖象過點A（2，0）和B（4，3），-，解得。二次函數(shù)的解析式為y=x21。（2）當(dāng)2x2時y0。（3）當(dāng)m=0時，|PO|2=1，|PH|2=1；當(dāng)m=2時，P點的坐標(biāo)為（2，0），|PO|2=4，|PH|2=4；當(dāng)m=4時，P點的坐標(biāo)為（4，3），|PO|2=25，|PH|2=25。由此發(fā)現(xiàn)|PO|2=|PH|2。設(shè)P點坐標(biāo)為（m，n），即n=m21|OP|2= m2+ n2，|PH|2=（n+2）2=n2+4n+4=n2+m2。對于任意實數(shù)m，|PO|2=|PH|2。（4）存在。由（3）知OP=PH，只要OH=OP成

18、立，POH為正三角形。設(shè)P點坐標(biāo)為（m，n），|OP|2= m2+ n2，|OH|2=4+ m2，由|OP|=|OH|得，m2+ n2=4+ m2，即n2=4，解得n=±2。當(dāng)n=2時，n=m21不符合條件，當(dāng)n=2時，由2=m21解得m=±2。故當(dāng)m=±2時可使POH為正三角形【考點】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定。【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx1（a0）的圖象過點A（2，0）和B（4，3），待定系數(shù)法求出a和b的值，拋物線的解析式即可求出。（2）令y=x21=0，解得x=2或x=2，由圖象可知

19、當(dāng)2x2時y0。（3）分別求出當(dāng)m=0，m=2和m=4時，分別計算|PO|2和|PH|2的值然后觀察其規(guī)律，再進行證明。（4）由（3）知OP=OH，只要OH=OP成立，POH為正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表達式，令兩式相等，求出m和n的值。35. （2012湖南婁底10分）已知二次函數(shù)y=x2（m22）x2m的圖象與x軸交于點A（x1，0）和點B（x2，0），x1x2，與y軸交于點C，且滿足（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）探究：在直線y=x+3上是否存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求出點P的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由【答案】解：（1）二次函數(shù)y=x2（m2

20、2）x2m的圖象與x軸交于點A（x1，0）和點B（x2，0），x1x2，令y=0，即x2（m22）x2m=0 ，則有：x1+x2=m22，x1x2=2m。，化簡得到：m2+m2=0，解得m1=2，m2=1。當(dāng)m=2時，方程為：x22x+4=0，其判別式=b24ac=120，此時拋物線與x軸沒有交點，不符合題意，舍去；當(dāng)m=1時，方程為：x2+x2=0，其判別式=b24ac=90，此時拋物線與x軸有兩個不同的交點，符合題意。m=1。拋物線的解析式為y=x2+x2。（2）存在。理由如下：假設(shè)在直線y=x+3上是否存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形。如圖所示，連接PAPBACBC，過點P作PD

21、x軸于D點。拋物線y=x2+x2與x軸交于AB兩點，與y軸交于C點，A（2，0），B（1，0），C（0，2）。OB=1，OC=2。PACB為平行四邊形，PABC，PA=BC。PAD=CBO，APD=OCB。在RtPAD與RtCBO中，PAD=CBO ，PA=BC，APD=OCB ，RtPADRtCBO（AAS）。PD=OC=2，即yP=2。直線解析式為y=x+3，xP=1。P（1，2）。在直線y=x+3上存在一點P，使四邊形PACB為平行四邊形，P點坐標(biāo)為（1，2）?！究键c】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)與x點問題，曲線圖上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角

22、形的判定和性質(zhì)。【分析】（1）欲求拋物線的解析式，關(guān)鍵是求得m的值根據(jù)題中所給關(guān)系式，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得m的值，從而問題得到解決。注意：解答中求得兩個m的值，需要進行檢驗，把不符合題意的m值舍去。（2）利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等關(guān)系求得P點的縱坐標(biāo)，從而得到P點的橫坐標(biāo)，從而求得P點坐標(biāo)。36. （2012湖南衡陽10分）如圖，A、B兩點的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點）方向向點O作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，若設(shè)運動時間為t（0

23、t）秒解答如下問題：（1）當(dāng)t為何值時，PQBO？（2）設(shè)AQP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；若我們規(guī)定：點P、Q的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標(biāo)（x2x1，y2y1）稱為“向量PQ”的坐標(biāo)當(dāng)S取最大值時，求“向量PQ”的坐標(biāo)【答案】解：（1）A、B兩點的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），則OB=6，OA=8。如圖，當(dāng)PQBO時，AQ=2t，BP=3t，則AP=103t。PQBO，即，解得t=。當(dāng)t=秒時，PQBO。（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如圖所示，過點P作PDx軸于點D，則PDBO。APDABO。，即，解得PD=6t。S與

24、t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=（0t）。當(dāng)t=秒時，S取得最大值，最大值為5（平方單位）。如圖所示，當(dāng)S取最大值時，t=，PD=6t=3，PD=BO。又PDBO，此時PD為OAB的中位線，則OD=OA=4。P（4，3）。又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）。依題意，“向量PQ”的坐標(biāo)為（4，03），即（，3）當(dāng)S取最大值時，“向量PQ”的坐標(biāo)為（，3）。【考點】動點問題，平行線分線段成比例，二次函數(shù)的最值，勾股定理，三角形中位線定理?！痉治觥浚?）如圖所示，當(dāng)PQBO時，利用平分線分線段成比例定理，列線段比例式，求出t的值。（2）求S關(guān)系式的要點是求得AQP的高，如圖所示，過點P作過點P作

25、PDx軸于點D，構(gòu)造平行線PDBO，由APDABO得 求得PD，從而S可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是一個關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出S的最大值。求出點P、Q的坐標(biāo)：當(dāng)S取最大值時，可推出此時PD為OAB的中位線，從而可求出點P的縱橫坐標(biāo)，又易求Q點坐標(biāo)，從而求得點P、Q的坐標(biāo)；求得P、Q的坐標(biāo)之后，代入“向量PQ”坐標(biāo)的定義（x2x1，y2y1），即可求解。37. （2012湖南株洲10分）如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c過A、B兩點（1）求這個拋物線的解析式；（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N求當(dāng)t取

26、何值時，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標(biāo)【答案】解：（1）分別交y軸、x軸于A、B兩點，A、B點的坐標(biāo)為：A（0，2），B（4，0）。將x=0，y=2代入y=x2+bx+c得c=2；將x=4，y=0代入y=x2+bx+c得0=16+4b+2，解得b=。拋物線解析式為：y=x2+x+2。（2）如圖1，設(shè)MN交x軸于點E，則E（t，0），BE=4t。，ME=BEtanABO=（4t）× =2t。又N點在拋物線上，且xN=t，yN=t2+t+2。當(dāng)t=2時，MN有最大值4。（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，

27、1），N（2，5）如圖2，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，D點的可能位置有三種情形。（i）當(dāng)D在y軸上時，設(shè)D的坐標(biāo)為（0，a），由AD=MN，得|a2|=4，解得a1=6，a2=2，從而D為（0，6）或D（0，2）。（ii）當(dāng)D不在y軸上時，由圖可知D為D1N與D2M的交點，由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程為y=x+6；由D2（0，2），M（2，1）D2M的方程為y=x2。由兩方程聯(lián)立解得D為（4，4）。綜上所述，所求的D點坐標(biāo)為（0，6），（0，2）或（4，4）。【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，平行四邊形的

28、判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）首先求得A、B點的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式。（2）求得線段MN的表達式，這個表達式是關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的極值求線段MN的最大值。（3）明確D點的可能位置有三種情形，如圖2所示，不要遺漏其中D1、D2在y軸上，利用線段數(shù)量關(guān)系容易求得坐標(biāo)；D3點在第一象限，是直線D1N和D2M的交點，利用直線解析式求得交點坐標(biāo)。38. （2012湖北鄂州12分）已知：如圖一，拋物線與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線經(jīng)過A、C兩點，且AB=2.（1）求拋物線的解析式；（2）若直線DE平行于x軸并從C點開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分

29、別交y軸、線段BC于點E、D，同時動點P從點B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個單位速度運動，（如圖2）；當(dāng)點P運動到原點O時，直線DE與點P都停止運動，連DP，若點P運動時間為t秒 ；設(shè)，當(dāng)t 為何值時，s有最小值，并求出最小值。（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點的三角形與ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由?！敬鸢浮拷猓海?）在中，由x=0得y=2，C（0，2）。 由 y=0得 x=2，A（2，0）。 AB=2，B（4，0）。 可設(shè)拋物線的解析式為，代入點C（0，2）得。拋物線的解析式為。（2）由題意：CE=t，PB=2t，OP=42t。EDBA，

30、CEDCOB。 ，即。ED=2t。當(dāng)t=1時，有最大值1。當(dāng)t=1時，的值最小，最小值是1。（3）存在。設(shè)BC所在直線的解析式為y=kx+b，由B（4，0），C（0，2）得 ，解得，C所在直線的解析式為。 由題意可得：D點的縱坐標(biāo)為t2，則D點的橫坐標(biāo)為2t。又。PBD=ABC，以P、B、D為頂點的三角形與ABC相似有兩種情況：當(dāng)時，即，解得；當(dāng)時，即，解得。綜上所述，當(dāng)或時，以P、B、D為頂點的三角形與ABC相似。【考點】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的最值，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）求出C、A、B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x2

31、）（x4），代入點C的坐標(biāo)求出a即可。（2）由題意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由EDBA得出CEDCOB ，從而，求出ED=2CE=2t，根據(jù) ，根據(jù)二次函數(shù)的最值求出即可。（3）以P、B、D為頂點的三角形與ABC相似有兩種情況：和代入求出即可。39. （2012福建寧德13分）如圖，矩形OBCD的邊OD、OB分別在x軸正半軸和y軸負半軸上，且OD10，OB8將矩形的邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C恰好與x軸上的點A重合(1)直接寫出點A、B的坐標(biāo)：A( ， )、B( ， )；(2)若拋物線yx2bxc經(jīng)過點A、B，則這條拋物線的解析式是 ；(3)若點M是直線AB上方拋物線上的一個動

32、點，作MNx軸于點N問是否存在點M，使AMN與ACD相似？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(4)當(dāng)x7，在拋物線上存在點P，使ABP的面積最大，求ABP面積的最大值【答案】解：（1）（6，0），（0，8）。 （2）。 （3）存在。設(shè)M，則N（m，0）MN=，NA=6m。 又DA=4，CD=8，若點M在點N上方，則AMNACD。，即，解得m=6或m=10。與點M是直線AB上方拋物線上的一個動點不符。此時不存在點M，使AMN與ACD相似。若點M在點N下方，則AMNACD。，即，解得m=2或m=6。與點M是直線AB上方拋物線上的一個動點不符。此時不存在點M，使AMN與ACD相似。若點M在

33、點N上方，則AMNACD。，即，方程無解。此時不存在點M，使AMN與ACD相似。若點M在點N下方，則AMNACD。，即，解得m=或m=6。當(dāng)m=時符合條件。此時存在點M（，），使AMN與ACD相似。綜上所述，存在點M（，），使AMN與ACD相似。（4）設(shè)P（p，）， 在中，令y=0，得x=4或x=6。 x7分為x4，4x6和6x7三個區(qū)間討論： 如圖，當(dāng)x4時，過點P作PHx軸于點H則OH=p，HA=6p ，PH=。 當(dāng)x4時，隨p的增加而減小。當(dāng)x=時，取得最大值，最大值為。如圖，當(dāng)4x6時，過點P作PHBC于點H，過點A作AGBC于點G。則BH= p，HG=6p，PH=， 當(dāng)4x6時，隨p

34、的增加而減小。當(dāng)x=4時，取得最大值，最大值為8。如圖，當(dāng)6x7時，過點P作PHx軸于點H。則OH=p，HA= p6，PH=。當(dāng)6x7時，隨p的增加而增加。當(dāng)x=7時，取得最大值，最大值為7。綜上所述，當(dāng)x=時，取得最大值，最大值為?！究键c】二次函數(shù)綜合題，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理， 曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定，二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥浚?）由OD10，OB8，矩形的邊BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C恰好與x軸上的點A重合，可得OA2=AB2OB2=10282=36，OA=6。A（6，0），B（0，8）。（2）拋物線yx2bxc經(jīng)過點A、B， ，解得。 這條拋物線的解析式

35、是。（3）分若點M在點N上方，若點M在點N下方，若點M在點N上方，若點M在點N下方，四種情況討論即可。（4）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分x4，4x6和6x7三個區(qū)間分別求出最大值，比較即可。40. （2012福建龍巖14分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中， 一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊 AB在x軸上，直角頂點C在y軸正半軸上，已知點A（1，0） （1）請直接寫出點B、C的坐標(biāo)：B（ ， ）、C（ ， ）；并求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式； （2）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中EDF=90°，DEF=60°），把頂點E放在線段AB上（點E是不與A、B

36、兩點重合的動點），并使ED所在直線經(jīng)過點C 此時，EF所在直線與（1）中的拋物線交于第一象限的點M 設(shè)AE=x，當(dāng)x為何值時，OCEOBC； 在的條件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P使PEM是等腰三角形，若存在，請求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）B（3，0），C（0，）。 A（1，0）B（3，0）可設(shè)過A、B、C三點的拋物線為 。 又C（0，）在拋物線上，解得。經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式 即。（2）當(dāng)OCEOBC時，則。 OC=， OE=AEAO=x1， OB=3，。x=2。 當(dāng)x=2時，OCEOBC。 存在點P。 由可知x=2，OE=1。E（1，0）。 此時，C

37、AE為等邊三角形。 AEC=A=60°。又CEM=60°， MEB=60°。 點C與點M關(guān)于拋物線的對稱軸對稱。 C（0，），M（2，）。 過M作MNx軸于點N（2，0），MN=。 EN=1。 。若PEM為等腰三角形，則：)當(dāng)EP=EM時, EM=2，且點P在直線x=1上，P(1，2)或P（1，2）。 ）當(dāng)EM=PM時，點M在EP的垂直平分線上，P(1，2) 。 ）當(dāng)PE=PM時，點P是線段EM的垂直平分線與直線x=1的交點，P(1，) 綜上所述，存在P點坐標(biāo)為（1，2）或（1，2）或（1，2）或（1，）時，EPM為等腰三角形。【考點】二次函數(shù)綜合題，銳角三角函數(shù)

38、定義，特殊角的三角函數(shù)值，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）由已知，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和特殊角的三角函數(shù)值可求出OC和AB的長，從而求得點B、C的坐標(biāo)。設(shè)定交點式，用待定系數(shù)法，求得拋物線解析式。（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊成比例列式求解。 求得EM的長，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三種情況求解即可。41. （2012福建漳州12分）已知拋物線y=x2 + 1(如圖所示) (1)填空：拋物線的頂點坐標(biāo)是(_，_)，對稱軸是_； (2)已知y軸上一點A(0，2)，點P在拋物

39、線上，過點P作PBx軸，垂足為B若PAB是等邊三角形，求點P的坐標(biāo)； (3)在(2)的條件下，點M在直線AP上在平面內(nèi)是否存在點N，使四邊形OAMN為菱形?若存在，直接寫出所有滿足條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】解：（1）頂點坐標(biāo)是（0，1），對稱軸是y軸（或x=0）。（2）PAB是等邊三角形， ABO=90°60°=30°。AB=2OA=4。PB=4。把y=4代入y=x2+1，得 x=±。點P的坐標(biāo)為（，4）或（ ，4）。（3）存在。所有滿足條件的點N的坐標(biāo)為 (，1)， (-，-1)， (-，1)， (，-1)。【考點】二次函數(shù)綜合題，

40、二次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定?！痉治觥浚?）根據(jù)函數(shù)的解析式直接寫出其頂點坐標(biāo)和對稱軸即可。（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得PB=4，將PB=4代入函數(shù)的解析式后求得x的值即可作為P點的橫坐標(biāo)，代入解析式即可求得P點的縱坐標(biāo)。（3）首先求得直線AP的解析式，然后設(shè)出點M的坐標(biāo)，利用勾股定理表示出有關(guān)AP的長即可得到有關(guān)M點的橫坐標(biāo)的方程，求得M的橫坐標(biāo)后即可求得其縱坐標(biāo)：設(shè)存在點M使得OAMN是菱形，OAP900，OA不可能為菱形的對角線，只能為菱形的邊。若點P的坐標(biāo)為（，4），點A的坐標(biāo)為（0，2），設(shè)線段AP所在直線的解析式為y=kx+b，則，解得： 。 AP所在直線的解析式

41、為：y=x+2。點M在直線AP上，設(shè)點M的坐標(biāo)為：（m， m+2）。如圖，作MHy軸于點H，則MH= m，AN=OHOA=m+22=m。OA為菱形的邊，AM=AO=2。在RtAMH中，AH2+MH2=AM2，即：m2+（m）2=22，解得：m=±。M（，3）或（，1）。當(dāng)M（，3）時，N（，1）；當(dāng)M（，1）時，N（，1）。若點P的坐標(biāo)為（，4），同理可得N的坐標(biāo)為（，1）或（，1）。綜上所述，存在點N（，1），（，1），（，1），（，1），使得四邊形OAMN是菱形。42. （2012福建三明12分）已知直線與x軸和y軸分別交于點A和點B，拋物線的頂點M在直線AB上，且拋物線與直線A

42、B的另一個交點為N（1）如圖，當(dāng)點M與點A重合時，求：拋物線的解析式；（4分）點N的坐標(biāo)和線段MN的長；（4分）（2）拋物線在直線AB上平移，是否存在點M，使得OMN與AOB相似？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（4分）【答案】解：（1）直線與x軸和y軸分別交于點A和點B，A（，0），B（0，5）。當(dāng)頂點M與點A重合時，M（，0）。拋物線的解析式是：，即。N是直線與在拋物線的交點，解得或。N（，4）。如圖，過N作NCx軸，垂足為C。N（，4），C（，0）NC=4MC=OMOC=。 。（2）存在。點M的坐標(biāo)為（2，1）或（4，3）。【考點】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點

43、的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定。【分析】（1）由直線與x軸和y軸分別交于點A和點B，求出點A、B的坐標(biāo)，由頂點M與點A重合，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出頂點解析式。 聯(lián)立和，求出點N的坐標(biāo)，過N作NCx軸，由勾股定理求出線段MN的長。（2）存在兩種情況，OMN與AOB相似： 情況1，OMN=900，過M作MDx軸，垂足為D。 設(shè)M（m，），則OD= m，DM=。 又OA=，OB=5， 則由OMDBAO得，即，解得m=2。M（2，1）。 情況2，ONM=900，若OMN與AOB相似，則OMN=OBN。 OM=OB=5。 設(shè)M（m，），則解得m=4。M（4，3）。

44、綜上所述，當(dāng)點M的坐標(biāo)為（2，1）或（4，3）時，OMN與AOB相似。43. （2012福建福州13分）如圖，在RtABC中，C90º，AC6，BC8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PDBC，交AB于點D，連接PQ點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒(t0)(1) 直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB_，PD_(2) 是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由并探究如何改變點Q的速度(勻速運動)，使四

45、邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；(3) 如圖，在整個運動過程中，求出線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長【答案】解：(1) QB82t，PDt。 (2) 不存在。理由如下：在RtABC中，C90°，AC6，BC8， AB10。 PDBC， APDACB。 ，即：， ADt。 BDABAD10t。 BQDP， 當(dāng)BQDP時，四邊形PDBQ是平行四邊形。82tt，解得：t。當(dāng)t時，PD×，BD10×6， DPBD。PDBQ不能為菱形。設(shè)點Q的速度為每秒v個單位長度，則BQ8vt，PDt，BD10t。要使四邊形PDBQ為菱形，則PDBDBQ，當(dāng)PDBD時，即t10t

46、，解得：t。當(dāng)PDBQ時，t時，即×8v，解得：v。要使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，點Q的速度為單位長度/秒。 (3) 如圖，以C為原點，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系。依題意，可知0t4。當(dāng)t0時，點M1的坐標(biāo)為(3，0)；當(dāng)t4時，點M2的坐標(biāo)為(1，4)。設(shè)直線M1M2的解析式為ykxb， ，解得：。直線M1M2的解析式為y2x6。點Q(0，2t)，P(6t，0)，在運動過程中，線段PQ中點M3的坐標(biāo)為(，t)。把x，代入y2x6，得y2×6t。點M3在直線M1M2上。線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長即為線段M1M2。過點M2作M2Nx軸于點N，則M2N4，

47、M1N2。 M1M22。線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長為2單位長度?！究键c】銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)綜合題，勾股定理，菱形的判定和性質(zhì)【分析】(1) 根據(jù)題意得：CQ2t，PAt，由RtABC中，C90°，AC6，BC8，PDBC，即可得tanA ，則可求得QB與PD的值。(2) 易得APDACB，即可求得AD與BD的長，由BQDP，可得當(dāng)BQDP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時DP與BD的長，由DPBD，可判定PDBQ不能為菱形；然后設(shè)點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PDBDBQ，列方程即可求得答案。(3) 建立直角坐

48、標(biāo)系，求出線段PQ中點M始末坐標(biāo)M1和M2，求出直線M1M2的解析式，并證明線段PQ任一中點在直線M1M2上，從而得出線段M1M2即為線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長，根據(jù)勾股定理即可求出。44. （2012遼寧丹東14分）已知拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標(biāo)是（1，0），O是坐標(biāo)原點，且（1）求拋物線的函數(shù)表達式； （2）直接寫出直線BC的函數(shù)表達式；（3）如圖1，D為y軸的負半軸上的一點，且OD=2，以O(shè)D為邊作正方形ODEF.將正方形ODEF以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向移動，在運動過程中，設(shè)正方形ODEF與OBC重疊部分的面積為s，運動的時間為t秒（0t2）.求：

49、s與t之間的函數(shù)關(guān)系式； 在運動過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由（4）如圖2，點P（1，k）在直線BC上，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以A、M、N、P為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【答案】解：（1） A（1，0）, ，C（0，3）。拋物線經(jīng)過A（1，0）,C（0，3），解得。拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)=x22x3。（2）直線BC的函數(shù)表達式為y=x3。（3）當(dāng)正方形ODEF的頂點D運動到直線BC上時，設(shè)D點的坐標(biāo)為（m，2），根據(jù)題意得：2=m3，m=1。當(dāng)0t1時，S1=2t；當(dāng)1t2時，如圖，O1（t

50、，0），D1（t，2），G（t，t3），H（1，2）， GD1=t1，HD1= t1。S= 。s與t之間的函數(shù)關(guān)系式為在運動過程中，s是存在最大值：當(dāng)t =2秒時，S有最大值，最大值為。（4）存在。M 1（，0）M2（，0），M3（，0），M4（，0）?！究键c】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定。【分析】（1）求出點C的坐標(biāo)，即可根據(jù)A，C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達式。（2）求出點B的坐標(biāo)（3，0），即可由待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達式。（3）分0t1和1t2討論即可。 由于在0t2上隨t的增大而增大，從而在運

51、動過程中，s是存在最大值：當(dāng)t =2秒時，S有最大值，最大值為。（4）由點P（1，k）在直線BC上，可得k=2。P（1，2）。則過點P且平行于x軸的直線N1N2和在x軸上方與x軸的距離為2的直線N3N4，與y=x22x3的交點N1、N2、 N3、N4的坐標(biāo)分別為N1（，2），N2（，2）， N3（， 2），N4（， 2）。若AP是邊，則M1的橫坐標(biāo)為PN1加點A的橫坐標(biāo)：；M2的橫坐標(biāo)為PN2加點A的橫坐標(biāo)：；M3的橫坐標(biāo)為N3的縱坐標(biāo)加N3的橫坐標(biāo)：；M4的橫坐標(biāo)為N4的縱坐標(biāo)加N4的的橫坐標(biāo)：。若AP是對角線，符合條件的點M與上述M 1（，0）和M2（，0）重合。綜上所述，M 1（，0），M2（，0），M3（，0），M4（，0）。45. （2012遼寧阜新12分）在平面直角坐