【高考數(shù)學沖刺解題技巧】導數(shù)中的參數(shù)范圍的求法

1、2導數(shù)中的參數(shù)范圍的求法一、與單調性有關的參數(shù)問題此時參數(shù)可以位于函數(shù)中也可以位于區(qū)間內，常見的提問方式是函數(shù)在某個區(qū)間 單調遞減、單調遞增、單調、不單調，研究這類問題的關鍵是把握原函數(shù)和導函數(shù)的 關系，這里需要注意的一個問題：若函數(shù)f(x)單調，則f(x)恒為非正或非負，函數(shù) 的極值點并不等同于導函數(shù)的零點，極值點的個數(shù)和導函數(shù)的根的個數(shù)也不能直接劃 等號。例1.已知函數(shù)f (x) =x3-3X?-9x在區(qū)間(a,2a-1)上單調遞減，求a的取值范圍。解析：先根據(jù)函數(shù)單調性作出函數(shù)的趨勢圖像，再安排存在參數(shù)的區(qū)間位置即可。 2f (x) =3x -6x -9 =3(x 1)(x -3)令f(

2、x)0,則x - 3或x：-1;令f(x)：0,則-1：x：3，作出趨勢圖像如下:a -1函數(shù)在區(qū)間(a,2a-1)上單調遞減，需滿足2a-仁3=1ca2Na-Ia22例2已知函數(shù)f(x)=x a lnx在1,4上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍xa2解析：轉化為函數(shù)單調性與導函數(shù)的正負性的關系即可，f (x) =2x2x x22在1,4上是減函數(shù)，即f (x)乞0= a乞-2x2在1,4上恒成立x令g(x) = -2x2，因為g(x)在1,4上遞減，則g(x)min= g=-一x22所以a豈-63(1)xf(x)2、例 3.3.已知函數(shù)f (x)二ax, g(x) = Inx,aR，若函數(shù)G(x

3、)ag(x)在區(qū)間ax1,：)上為單調函數(shù)，求a的取值范圍。解析：題目只是說明函數(shù)是單調函數(shù)，并未說明是單增還是單減，因此需要分兩種情 況討論，將單調性轉化為參數(shù)恒成立問題即可。3xf (x)2a 2 2x +ax2G(x)ag(x)，G(x)=2x22axx xx若G(x)在區(qū)間1,=)上單調遞增，則G(x)_O在1,：)上恒成立，即22一22a3-2x在1,丘)上恒成立，令h(x) =-2x，因為h(x)在1,畑)遞減，則xxh(x)max二h(1)=0，此時aO若G(x)在區(qū)間1,=)上單調遞減，則G(X)乞0在1,：)上恒成立，即2222a 2x在1,=)上恒成立，令h(x) 2x，因

4、為h(x)無最小值，則不存xx在這樣的a綜上，a-0例 4.4.已知函數(shù)f (x) = x3 (k -1)x2(k 5)x，其中kR，若函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,3)上不是單調函數(shù)，求k的取值范圍。解析：這個問題相對復雜些，但是思路還算清晰，函數(shù)在(0,3)上不是單調函數(shù)，意味著原函數(shù)在(0,3)上存在極值點，因為三次函數(shù)極值點的個數(shù)可能是兩個也可能沒 有，原題目中排出沒有的情況，因此題目存在兩個極值點，但是這兩個極值點有 幾個落在區(qū)間(0,3)內這是個問題，可能只有一個極值點在，也可能兩個都在，此 外極值點是導函數(shù)的根，題目即可轉化為二次函數(shù)在區(qū)間內根的分布問題。 2f (x) =3x 2(

5、k -1)x k 5，函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,3)上不是單調函數(shù)，則f(x)在(0,3)內必定存在極值點，此時f(x)不能單調遞增，只能是保持一種增減增的狀態(tài)，因此f (x)在(0,3)內的極值點可能是一個也可能是兩個。(1)若極值點在(0,3)內只有一個，情況如下：5 3:1/-4-2134!i 6r e o io-11o(2)If (0) o26此時f (x)只需要滿足gn a J(3) 0 f0 A 0二、與極值有關的參數(shù)范圍問題此時f (x)只需要滿足常見的問法是函數(shù)有無極值點， 有幾個極值點的問題，極值點是函數(shù)單調性發(fā)生 改變的點，因此有極值點意味著函數(shù)不單調，沒有極值點則意味著函

6、數(shù)單調，有幾個 極值點意味著導函數(shù)有幾個零點，但是導函數(shù)有幾個零點不等同于函數(shù)有幾個極值點(導函數(shù)為零的點不一定為極值點，極值點一定為導函數(shù)為零的點) 例 5.5.已知函數(shù)f (x)n(X，設h(x) =xf (x)-x-ax3在(0,2)上有極值，求a的取x值范圍。解析：h(x)二ln(x 1)xax3(x *1且x = 0),2h(x)二-3ax2-1二(),h(x)在(0,2)上有極值，則h (x)x+1x + 12在(0, 2)上有零點，即-3ax -3ax-1=0在(0,2)有根C11從13a =一，故a -x2+x618例 6.6.若函數(shù)f (x ex(x2ax a 1)沒有極值點

7、，求a的取值范圍解析：f (x) = exx2(a 2)x 2a 1)，令f (x) = 0，即x2(a 2)x 2a 1 = 0函勺數(shù)無極值點，貝V厶=(a，2)24(2a *1)0= 0乞a乞43例7.7.已知函數(shù)f (x) = a In x - ax - 3，函數(shù)f (x)的圖像在x = 4處的切線的斜率為，且g(x)=-x3x2 f (x)在區(qū)間(1,3)上不是單調函數(shù)，求m的取值范圍。3213m22解析：由已知得a = -2，g(x)x3(2)x2- 2x，g (x x2(m 4)x - 2，函32數(shù)在區(qū)間(1,3)上不是單調函數(shù)，則導函數(shù)在區(qū)間上存在零點，根據(jù)二次函數(shù)根的I g：0

8、 19分布列不等式，：一：:m：-3lg( 3)=03二、與雙參數(shù)有關的參數(shù)冋題在參數(shù)問題中參數(shù)的個數(shù)可能不止一個，另外在此類問題中變量的個數(shù)也可能不 止一個，也可能會出現(xiàn)雙變量的問題。題目中若含有雙參數(shù)m,n，其中一個一般是給出了區(qū)間，而讓求另一個未給出的 參數(shù)的取值范圍，除了這個之外一般還會給出未知量x的區(qū)間，一個參數(shù)一個未知量是以任意性和存在性方式給出，其實這種題目大多是參數(shù)恒成立或存在性問題的延伸， 只不過需要求兩次最值，因為多了一個參數(shù)，所以在難度上會適當?shù)慕档?。解題的思路是將所求的參數(shù)m單獨分離，另一邊包括另外一個參數(shù)n和變量x,此時可以將參數(shù)n或變量x中的一個當成自變量，另外一個

9、當做常量即可，求出最值 后可消去參數(shù)n或自變量x，再將問題轉化為常規(guī)恒成立問題即可，但是如果所求的 參數(shù)m不能分離，可分離的是另一個參數(shù)n，這樣反而簡單，直接利用任意性或存在性消去參數(shù)n。例 8.8.已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3，若函數(shù)f(x)的圖像在點(2, f(2)處的切線 的傾 斜角為45，對于任意的r 1,2，函數(shù)g(xx3x2 f (x) 在區(qū)間(t,3)上總不 是單調函數(shù)，求m的取值范圍。、.3rm2解析：由題意知a =-2，g(x)=x (2)x -2x2g (x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數(shù)，即g (x)在(t,3)上存在零點g (x) =3x2 (m 4)x -2

10、，根據(jù)二次函數(shù)根的分布列不等式37m *-3Jm+4)t c2_3t22成立，則m 4 3tt2_ 2因為3t在t 1,2上單調遞減，及(7 - 3t)min- 5，綜上所述，m：-932例 9.9.設函數(shù)f (x) = a ln x - bx，當b= 0時，若不等式f (x)一m x對所有的32a 0, , x 1,e 都成立，求實數(shù)m的取值范圍。2解析：當b=0時，f (x) =aln x，f (x)亠m x= a ln x亠m x對所有的3232a 0,-, x，1,e2都成立，即m空alnx-x對所有的a 0,x 1,e2都成立2 22令h(a)二alnx-x，h(a)為一次函數(shù)，當x 1,e 時