第2章-1.波函數(shù)及薛定諤方程(1)

1、2.1 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的統(tǒng)計解釋2.2.2 2 態(tài)迭加原理態(tài)迭加原理2.2.5 5 薛定諤方程薛定諤方程2.7 2.7 能量本征方程能量本征方程2.8 2.8 能量本征態(tài)的一般性質能量本征態(tài)的一般性質2.2.3 3 動量分布概率動量分布概率2.2.4 4 力學量的平均值力學量的平均值2.6 2.6 定域的概率守恒定域的概率守恒2.9 2.9 波函數(shù)的標準條件波函數(shù)的標準條件2.10 2.10 階梯形方勢階梯形方勢2.11 2.11 諧振子諧振子2.1 2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)的統(tǒng)計解釋問題問題: : (1) (1) 是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2)

2、(2) 如何體現(xiàn)波粒二象性的？如何體現(xiàn)波粒二象性的？觀點一觀點一: : 電子波應理解為電子的某種實際結構電子波應理解為電子的某種實際結構, ,即電子即電子是無限多波長不同的平面波疊加而成的波包是無限多波長不同的平面波疊加而成的波包, ,波包的大波包的大小即電子的大小小即電子的大小, ,波包的群速度即電子的運動速度波包的群速度即電子的運動速度. . tkxiexpAt , x等相面等相面: : kudtdxkudtdxkdtd, 0ctkx1.單個平面波情況：單個平面波情況： mpE22222k,mkvcmvmcpEkku22cu平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，平面波描寫自由粒子，其特

3、點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，意義的，與實驗事實相矛盾。與實驗事實相矛盾。 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內。實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內。例如在一個原子內，其廣延不會超過原子大小例如在一個原子內，其廣延不會超過原子大小1 1 。電子衍射動畫電子衍射動畫 -exp21,dktkxiktx , 0 k 0 tdkdx 即即 tdkdxxc 2. 有限波包：有限波包：物質波包的群速度為物質波包的群速度為 mpmkdk

4、dvg 波包形狀隨時間的改變波包形狀隨時間的改變：設設 (k)(k)是一個很窄的波包是一個很窄的波包, ,波波數(shù)集中在數(shù)集中在k k0 0附近一個不大范圍中附近一個不大范圍中. .在在k k0 0附近對附近對 (k) (k) 作泰作泰勒級數(shù)展開勒級數(shù)展開 2022000021kkdkdkkdkdkkkk txkiexpt , xCdktkkvkxiexpktiexpt , xg0000 tvxtvxkktxCggsin2,0mpmkkmkku221)2(2cuvg 2由于正弦的幅角含有小量由于正弦的幅角含有小量,C(x,t),C(x,t)只是隨時間只是隨時間t t和坐標和坐標x x緩慢地變化緩

5、慢地變化. .所以所以, ,我們能把我們能把C(x,t) C(x,t) 當作近似單色波的當作近似單色波的振幅振幅, ,而把而把k k0 0 x-x- (k(k0 0)t)t作為單色波的相作為單色波的相. .把振幅的分子和把振幅的分子和分母都乘以分母都乘以 k k, ,并簡記為并簡記為z=z= k x-vg gt , ,容易看到容易看到, ,振幅的振幅的變化取決于因子變化取決于因子, ,它有性質它有性質,zzzzsin3001 -20-15-10-505101520-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0圖圖2.2.12.2.1波包波包: : 一些快速振一些快速振動波的疊加動波的疊加

6、迄今迄今, ,我們忽略了我們忽略了 (k) (k) 級數(shù)展開中高于一級數(shù)展開中高于一階的項階的項, ,這僅當介質無色散的時候才是允這僅當介質無色散的時候才是允許的許的. .因為物質波在真空中也出現(xiàn)色散因為物質波在真空中也出現(xiàn)色散 0022kdkd這暗示波包不保持其形式這暗示波包不保持其形式, , 而是逐而是逐漸地擴展?jié)u地擴展. .隨時間的演化隨時間的演化, ,電子將愈電子將愈變愈變愈“胖胖”, ,這與實驗是矛盾的這與實驗是矛盾的. . 觀點二觀點二: : 結論：結論：這種看法是與實驗矛盾的這種看法是與實驗矛盾的原因：原因：它不能解釋長時間單個電子衍射實驗它不能解釋長時間單個電子衍射實驗-單單個

7、電子就具有波動個電子就具有波動性性. .證明證明1 1：單電子衍射單電子衍射電子一個一個的入電子一個一個的入射，經過足夠長的射，經過足夠長的時間，在屏幕上形時間，在屏幕上形成衍射圖樣。成衍射圖樣。波由粒子組成波由粒子組成,如，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。如，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。證明證明2 2：正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子?。┲须娮舆\動的穩(wěn)定性以及能原子（只含一個電子！）中電子運動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。 錯誤的根源：錯誤的根源： 波由粒子組成的看法夸大

8、了粒子性的一面，而抹殺波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。了粒子的波動性的一面，具有片面性。觀點三觀點三: : 電子所顯現(xiàn)的粒子性總是以具有一定的質量、電電子所顯現(xiàn)的粒子性總是以具有一定的質量、電荷等屬性的客體出現(xiàn)荷等屬性的客體出現(xiàn), ,但并不與但并不與“粒子有確切的軌道粒子有確切的軌道”的概念有什么必然聯(lián)系的概念有什么必然聯(lián)系. .電子顯現(xiàn)出的波動性電子顯現(xiàn)出的波動性, ,也只不也只不過是波動性中最本質的東西過是波動性中最本質的東西波的波的“相干疊加性相干疊加性”, ,并不一定要與某種實際的物理量在空間的分布聯(lián)系在并不一定要與某種實際的物理量在空間的

9、分布聯(lián)系在一起一起. .把微觀粒子的把微觀粒子的“粒子性粒子性”與波的與波的“相干疊加性相干疊加性”統(tǒng)一起來是玻恩提出來的幾率波統(tǒng)一起來是玻恩提出來的幾率波. .1.1.有一定質量、電荷等有一定質量、電荷等“顆粒性顆粒性”的屬性的屬性 2 2. .有確定的運動軌道，每一時刻有一定位置有確定的運動軌道，每一時刻有一定位置和速度和速度 1.1.實在的物理量的空間分布作周期性變化實在的物理量的空間分布作周期性變化 2 2. .干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性 （2 2）Born Born 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋幾率波波函數(shù)的統(tǒng)計解釋幾率波我們再看一下電子的衍射實驗我們再看一下電子的

10、衍射實驗 經典概念中經典概念中粒子：粒子：經典概念中經典概念中波：波：v大量電子一次大量電子一次入射入射, ,立即在立即在屏幕上形成衍屏幕上形成衍射圖樣。射圖樣。方方法法一一方方法法二二電子一個一個的電子一個一個的入射，經過足夠入射，經過足夠長的時間，在屏長的時間，在屏幕上形成同樣的幕上形成同樣的衍射圖樣。衍射圖樣。1.1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣示衍射圖樣; ;電子源電子源感感光光屏屏QQOPP2.2. 入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣. .在電子衍射實驗中，在電子衍射實

11、驗中，照相底片上照相底片上 r r 點附近衍射花樣的強度點附近衍射花樣的強度 正比于該點附近感光點的數(shù)目正比于該點附近感光點的數(shù)目 正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目 正比于電子出現(xiàn)在正比于電子出現(xiàn)在 r r 點附近的幾率。點附近的幾率。 l波函數(shù)波函數(shù)波動性觀點：亮處波動性觀點：亮處到達該處電子波的強度大到達該處電子波的強度大 暗處暗處到達該處電子波的強度小到達該處電子波的強度小粒子性觀點：亮處粒子性觀點：亮處單位時間內到達該處的電子數(shù)多單位時間內到達該處的電子數(shù)多 暗處暗處單位時間內到達該處的電子數(shù)少單位時間內到達該處的電子數(shù)少統(tǒng)計的觀點：亮處統(tǒng)計的觀點：亮處電子到達

12、該處的概率大電子到達該處的概率大 暗處暗處電子到達該處的概率小電子到達該處的概率小 )(expEtrpiA),(tr 如果粒子處于如果粒子處于隨時間和位置變化的力場隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常波函數(shù)，它通常是一個是一個復函數(shù)復函數(shù)。稱為稱為 dedeBroglieBroglie波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。

13、 假設衍射波波幅用假設衍射波波幅用 (r) (r) 描述，與光學相似，衍射花描述，與光學相似，衍射花的強度則用的強度則用 | (r)| (r)|2 2 描述，但意義與經典波不同描述，但意義與經典波不同。| (r)| (r)|2 2 的意義是代表電子出現(xiàn)在的意義是代表電子出現(xiàn)在 r r 點附近幾率的大小，點附近幾率的大小，確切的說，確切的說，| (r)| (r)|2 2 x y z x y z 表示在表示在 r r 點處，體積元點處，體積元x yzx yz中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強度中找到粒子的幾率。波函數(shù)在空間某點的強度（振幅絕對值平方）和在這點找到粒子的幾率成比例（振幅絕對值平方

14、）和在這點找到粒子的幾率成比例根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質：在在t時刻時刻，d=dxdydz體積內，找到由波函數(shù)體積內，找到由波函數(shù)(r,t)描描寫的粒子的寫的粒子的是：是：，C是比是比例系數(shù)。例系數(shù)。在在t 時刻，體積時刻，體積 V 內內找到粒子的找到粒子的幾率幾率為：為： W(t) = V dW = V( r, t ) d= CV | (r,t)|2 d由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產生和湮滅情由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應為一，即況），所以在全空間找到粒子的幾率應為一，即： C

15、| (r , t)|2 d= 1, 從而得常數(shù)從而得常數(shù) C 之值為：之值為：C = 1/ | (r , t)|2 d這即是要求描寫粒子量子這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)狀態(tài)的波函數(shù) 必須是絕必須是絕對值平方可積的函數(shù)。對值平方可積的函數(shù)。 | (r,t)|2d , 則則 C 0, 這這是沒有意義的。是沒有意義的。 )(exp),(EtrpiAtr注意：自由粒子波函數(shù)注意：自由粒子波函數(shù) 不滿足這一要求。關于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問不滿足這一要求。關于自由粒子波函數(shù)如何歸一化問題，以后再予以討論。題，以后再予以討論。 (r,t)和和C(r,t)所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，所描寫狀態(tài)的相

16、對幾率是相同的，這里的這里的C C是常數(shù)。因為在是常數(shù)。因為在t t時刻，空間任意兩點時刻，空間任意兩點r r1 1和和r r2 2 處找到粒子的相對幾率之比是：處找到粒子的相對幾率之比是：221221)t ,r()t ,r()t ,r(C)t ,r(C 可見，可見， (r , t ) 和和 C (r , t ) 描述的是同一幾率波，所描述的是同一幾率波，所以以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度

17、的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即 (r, t) (r, t) 和和 C (r, t) C (r, t) 描述同一狀態(tài)描述同一狀態(tài)u 若若 (r , t ) 沒有歸一化，沒有歸一化，| (r , t )|2 d= A （A 是大是大于零的常數(shù)），則有于零的常數(shù)），則有 |(A)-1/2 (r , t )|2 d= 1注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個模為一的因子不定模為一的因子不定性。性。若若 (r , t )是歸一化波函數(shù)，那末

18、，是歸一化波函數(shù)，那末，expi (r , t ) 也是歸一化波函數(shù)（其中也是歸一化波函數(shù)（其中是實數(shù)），與前者描是實數(shù)），與前者描述同一幾率波。述同一幾率波。(A)-1/2 (r , t )是歸一化的波函數(shù)，與是歸一化的波函數(shù)，與 (r , t )描寫描寫同一幾率波，同一幾率波， (A)-1/2 稱為歸一化因子稱為歸一化因子。1、波函數(shù)描寫微觀粒子的量子狀態(tài)，表示粒波函數(shù)描寫微觀粒子的量子狀態(tài)，表示粒子出現(xiàn)的概率大小。而當一粒子處于一個已知子出現(xiàn)的概率大小。而當一粒子處于一個已知的量子狀態(tài)時，粒子的力學量如坐標、動量、的量子狀態(tài)時，粒子的力學量如坐標、動量、角動量等將如何描述？它們的值怎么確

19、定？角動量等將如何描述？它們的值怎么確定？一、引言一、引言2、微觀粒子的波粒二象性決定了它們的描述微觀粒子的波粒二象性決定了它們的描述方式與經典力學中描述不一樣方式與經典力學中描述不一樣（波函數(shù)的統(tǒng)計波函數(shù)的統(tǒng)計解釋解釋）。）。實際波粒二象性還通過另一個基本原實際波粒二象性還通過另一個基本原理理態(tài)疊加原理態(tài)疊加原理體現(xiàn)體現(xiàn)二、態(tài)疊加原理二、態(tài)疊加原理圖2.4.1電子雙縫衍射示意圖2122221212122212212第三、四項為干涉項第三、四項為干涉項, ,衍射花樣衍射花樣的產生證實了干涉項的存在的產生證實了干涉項的存在. . 21經典物理：經典物理： 描寫光波、聲波的描寫光波、聲波的狀態(tài)函數(shù)

20、都遵從疊狀態(tài)函數(shù)都遵從疊加原理！加原理！ 量子物理：量子物理： 狀態(tài)函數(shù)狀態(tài)函數(shù) 是否是否也都遵從疊加原也都遵從疊加原理？理？ 21 ba ？22212 當粒子處于當粒子處于 和態(tài)和態(tài) 的線性疊加態(tài)的線性疊加態(tài)時，粒子是既處于態(tài)時，粒子是既處于態(tài) 又處于態(tài)又處于態(tài) 。 2 1 1 2 2 1 3 3、態(tài)迭加原理是與測量密切聯(lián)系在一起、態(tài)迭加原理是與測量密切聯(lián)系在一起的一個基本原理的一個基本原理. .1 1、幾率幅（態(tài)函數(shù)）遵守疊加的規(guī)則、幾率幅（態(tài)函數(shù)）遵守疊加的規(guī)則, ,而幾而幾率不遵從疊加的規(guī)則率不遵從疊加的規(guī)則. .2 2、這里所謂干涉是一個電子的兩個態(tài)之間、這里所謂干涉是一個電子的兩個

21、態(tài)之間的干涉的干涉, ,而不是兩個電子之間的干涉而不是兩個電子之間的干涉. . 1121 niiniiic,c 推廣到更一般情況下：推廣到更一般情況下：其中：系數(shù)可以為復數(shù)！其中：系數(shù)可以為復數(shù)！)t , r()p()t , r(pp 2、按照態(tài)疊加原理，粒子處在、按照態(tài)疊加原理，粒子處在r處的狀態(tài)應處的狀態(tài)應該是各種動量該是各種動量p運動的狀態(tài)的線性疊加：運動的狀態(tài)的線性疊加：由于出射粒子出射動量連續(xù)變化則由于出射粒子出射動量連續(xù)變化則)Etrp(iexp)t , r(p2321）（pdeptrrpi323)()2(1),(1、電子在晶體表面反射后，可能以各種不同、電子在晶體表面反射后，可能

22、以各種不同的動量運動（對應不同的出射角度）。以動的動量運動（對應不同的出射角度）。以動量量p運動的狀態(tài)運動的狀態(tài) pde )t ,p()()t ,r(rpi32321 xde )t ,r()()t ,p(rpi32321 說明：任何波函數(shù)說明：任何波函數(shù) 都可以看作是各種不同都可以看作是各種不同動量平面波的迭加動量平面波的迭加 )t ,r( )t ,r( )t ,p( pdnhdnsinn pn n 而沿而沿 出射波的波幅出射波的波幅 應該正比入射波中動量相應該正比入射波中動量相應分波的波幅應分波的波幅1)(32pdp 當可能值為離散值時當可能值為離散值時: 一個物理量的平均值等于一個物理量的

23、平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應的物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應的幾率求和；幾率求和； 當可能值為連續(xù)取值時：當可能值為連續(xù)取值時：一個物理量出現(xiàn)的各種可一個物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應的能值乘上相應的幾率密度求積分。幾率密度求積分。 1 1、坐標平均值：、坐標平均值：粒子處于狀態(tài)粒子處于狀態(tài) (r,t)(r,t), ,不考慮時間不考慮時間t,t,則其位置坐標則其位置坐標r r處的幾率密度為處的幾率密度為| | (r)|(r)|2 2 . .這樣這樣, ,位位置坐標的平均值為置坐標的平均值為 dxxxxdxxxxdx*x 密密度度坐坐標標變變量量所所對對應應的的幾幾率率坐坐標標變變量

24、量 xdrrrxdrrrr33 2、動量平均值：、動量平均值： peirpxddpperpxdprpirpi233323332121d rprxdrirxdp33 rpierxdp3232 rpiepxdr 32123)()()(332ppppdpdppp引進坐標和動量算符引進坐標和動量算符 有經典對應的力學量有經典對應的力學量A A是是r r和和p p的函數(shù)的函數(shù), ,只需把只需把A(r,p)A(r,p)的表達式中作替換的表達式中作替換: : pp, rr3、力學量算符、力學量算符 izkyjxi iprra.坐標算符坐標算符b.動量算符動量算符c.動能算動能算符符mpT22 mpT22 則

25、則動能平均值動能平均值所以所以動能算符動能算符在經典力學中，在經典力學中，rd)r(T)r(TT )xyyx(ip yp xL)zxxz(ip xp zL)yzzy(ip zp yLxyzzxyyzx 三三個個分分量量：d.角動量算符角動量算符),(3AxdAA 一般而言一般而言, ,任何一個力學量任何一個力學量A A的平均值可表示為的平均值可表示為四四章章中中討討論論。將將在在第第算算符符之之間間更更深深刻刻的的關關系系學學量量與與相相應應算算符符的的寫寫法法以以及及力力量量，對對于于有有經經典典對對應應的的力力學學的的粒粒子子在在勢勢場場中中)r(Vm)r(VTHVTH)r(V 222 經

26、典力學量子力學狀態(tài)r, p(r,t)運動方程牛頓方程dp/dt=F(r,p)?) t , r (H) t , r ()r (Vm) t , r (ti 222mpE22 Etrpi/trki/peet , r 23232121 222p,pi,Eti 022222 )mpE()mti ( ipptiE推廣到勢場V(r)中運動的粒子 rVmpE 22 薛定諤方程是是量子力學的一個基本假定薛定諤方程是是量子力學的一個基本假定, ,并不能并不能從什么更根本的假定來證明它從什么更根本的假定來證明它, ,其正確性其正確性, ,歸根到底歸根到底只能靠實踐來檢驗只能靠實踐來檢驗. . ) t , r (H)

27、 t , r ()r (Vm) t , r (ti 222 ipptiE三、薛定諤方程的寫法三、薛定諤方程的寫法1、寫出體系對應在經典力學中的哈密頓量、寫出體系對應在經典力學中的哈密頓量H(r,p,t)2、將經典哈密頓量中的力學量換為量子力、將經典哈密頓量中的力學量換為量子力學中的算符表示學中的算符表示3、將哈密頓算符作用在態(tài)函數(shù)上、將哈密頓算符作用在態(tài)函數(shù)上=能量能量E乘以態(tài)函數(shù)乘以態(tài)函數(shù)薛定諤方程只含對時間的一階導數(shù)薛定諤方程只含對時間的一階導數(shù), , 為何可以描述波動為何可以描述波動過程呢過程呢? ? 經典力學中經典力學中, , 波動方程波動方程 022 uautt有周期性的解有周期性的

28、解. . 熱傳導方程熱傳導方程 022 uaut描述不可逆過程描述不可逆過程, , 沒有周期性的解沒有周期性的解. .以余弦函數(shù)為例以余弦函數(shù)為例 trkcosAu trkcosAktrkcosAkutrkcosAtrksinAtuut22223周期函數(shù)不可能滿足熱傳導方程周期函數(shù)不可能滿足熱傳導方程 薛定諤方程雖然只含對時間的一階導數(shù)薛定諤方程雖然只含對時間的一階導數(shù), ,但在但在 t t他他前面出現(xiàn)前面出現(xiàn) i=exp(i /2), , 正好使正好使兩者相位一致兩者相位一致, ,因而有周期性的解因而有周期性的解, ,而且薛而且薛定諤方程中定諤方程中i i因子的出現(xiàn)因子的出現(xiàn), ,使得波函數(shù)

29、一般使得波函數(shù)一般是復函數(shù)是復函數(shù). .1. 1. 定域的幾率守恒定域的幾率守恒 , ) t , r (Vm) t , r (tiI 222VVIII ）（ *)Vm(tiII* 222)II()I( *)*(m*)*(m)*(ti222222),t , r () t , r (*)*(21*)*(2ppmmij* 22閉區(qū)域閉區(qū)域上找到粒上找到粒子的總幾子的總幾率在單位率在單位時間內的時間內的增量增量所以上式是幾率（粒子數(shù)）守所以上式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式。恒的積分表示式。 0 d)t ,r(dtd0 Jt 其微分形式與其微分形式與流體力學中連流體力學中連續(xù)性方程的形續(xù)性方程的形式

30、相同式相同 dJd )t ,r(dtd 是是幾幾率率密密度度流流的的表表面面是是體體積積幾幾率率密密度度JS)t ,r(SdJd)t ,r(dtdS 使用使用 Gauss Gauss 定理定理單位時間內通過單位時間內通過的封閉表面的封閉表面 S S 流入（面積分前面的負號）流入（面積分前面的負號）內內的幾率的幾率miJ 2SdS 令上式令上式趨于趨于 ，即讓積分對全空間進，即讓積分對全空間進行，考慮到任何真實的波函數(shù)應該是平方行，考慮到任何真實的波函數(shù)應該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠處為零，則式右可積的，波函數(shù)在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零面積分趨于零 0 d)t ,r(dtd討論：討論：

31、表明，波函數(shù)歸一化不隨表明，波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是時間改變，其物理意義是粒子既未產生也未消滅。粒子既未產生也未消滅。（1 1）這里的幾率守恒具有定域性質，當空間某處幾）這里的幾率守恒具有定域性質，當空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現(xiàn)這種變化。不變，并伴隨著某種流來實現(xiàn)這種變化。（2 2） 以以乘連續(xù)性方乘連續(xù)性方程等號兩邊，得到：程等號兩邊，得到：0 Jt量子力學的質量量子力學的質量守恒定律守恒定律同理可得量子力學同理可得量子力學的電荷守恒定律：的電荷守恒定律：0 eeJt表明電荷總量表明

32、電荷總量不隨時間改變不隨時間改變 )(iJJ| )t ,r(|22質量密度質量密度 和和 質量流密度矢量質量流密度矢量 )(ieJeJ| )t ,r(|eeee22電荷密度電荷密度 和和 電流密度矢量電流密度矢量對不顯含對不顯含t t勢場勢場V(r)V(r),t (f)r()t , r( E)r()r(Vm)r(dtdf)t (fi 22211,Ei)t(flndtd Etie )r()t ,r( )r(E)r()r(VmrH 222哈密頓算符的本征值方程哈密頓算符的本征值方程. . 定態(tài)定態(tài): :具有確定能量值的狀態(tài)具有確定能量值的狀態(tài) tiEnnnert ,r 含時薛定諤方程的一般解可表示

33、為含時薛定諤方程的一般解可表示為 tiEnnnnnnnerct ,rct ,r 它是若干定態(tài)波函數(shù)的疊加它是若干定態(tài)波函數(shù)的疊加, ,按態(tài)疊加原理按態(tài)疊加原理, ,當體系處于當體系處于態(tài)態(tài) (r,t)(r,t)時時, ,發(fā)現(xiàn)粒子處于發(fā)現(xiàn)粒子處于 n n(r,t)(r,t)的幾率為的幾率為|c|cn n| |2 2. . 本征方程、本征值、本本征方程、本征值、本征態(tài)的概念征態(tài)的概念3.3.定態(tài)與非定態(tài)定態(tài)與非定態(tài) 粒子在空間的概率密度以及概率密度流不隨時間改變。粒子在空間的概率密度以及概率密度流不隨時間改變。 任何（不顯含時間任何（不顯含時間t）的力學量的平均值不隨時間改變。）的力學量的平均值不

34、隨時間改變。 任何（不顯含時間任何（不顯含時間t）的測量值的概率分布不隨時間改變。）的測量值的概率分布不隨時間改變。能量具有確定的態(tài)（能量不隨時間的能量具有確定的態(tài)（能量不隨時間的變化而變化，一般情況是勢能變化而變化，一般情況是勢能V(r)不顯含時間不顯含時間t） )()()(222rErrVmrH因因 E=E*; V(r)=V*(r)()r(E)r()r(Vm)()r(E)r()r(Vm*22122222 定定態(tài)態(tài)方方程程)()r(E)r()r(Vm*3222 對比（對比（1）（）（3）兩式發(fā)現(xiàn)，對同一個方程而有兩個解）兩式發(fā)現(xiàn)，對同一個方程而有兩個解 和和 和和 =C =C* =C*C =

35、 如如 與與 同屬于能量同屬于能量E的一組解的一組解(可能為復函數(shù)可能為復函數(shù))(r)=(r)=(r) =-i-(1),(2)也為原方程的解，對應的能量也為也為原方程的解，對應的能量也為E 且且(r)= *(r)；(r)= *(r) 故：故： (r)和和(r)為實函數(shù)為實函數(shù) )/2 r) - )/2 ）（）（32222222)r(E)r()r(Vm)r(E)r()r(Vm 定定態(tài)態(tài)方方程程）（ 1222)r(E)r()r(Vm 勢能為勢能為V(-r)V(-r)方程方程因因V(r)=V(-r) 因為因為 和和 )()()()()()()()(rgrrrgrfrrrff(r)和和g(r)都為方程

36、能量都為方程能量E的解的解,而而f(r)為偶宇稱為偶宇稱g(r)為為奇宇稱奇宇稱（2 2）能級簡并）能級簡并（1 1）能級不簡并）能級不簡并)()(rrP定義空間反射算符：)()()(rCrrP想當于把空間坐標想當于把空間坐標r反射為反射為-r。因為能量因為能量E無簡并，則無簡并，則 和和 代表同一個態(tài)代表同一個態(tài) 1)()()()()(222CrCrCPrPrrP021222222 )r()r(VEm)x(dxd)r(E)r()r(Vm定態(tài)方程定態(tài)方程）（圖圖2.4.1 勢階梯勢階梯oaV(x)xV2V1 x 證明證明 在在V(x)V(x)連續(xù)的區(qū)域連續(xù)的區(qū)域, ,是存在的是存在的, , x

37、 x和和為為x x的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù). .在V(x) 在x=a點的情況. xE)x(Vdxmaaaalim 20200V(x)-E 是有限 當0 時,上式右邊積分趨于零 00aa即即 x 在在x=ax=a點連續(xù)點連續(xù) 所以所以 x 在點在點a a必連續(xù)必連續(xù) ax,Beax),xksin(Axxk21)VE(mk112 )EV(mk 222考察考察V1EV2 時解的行為時解的行為 因因 在在a處連續(xù)，處連續(xù)， 和和 所以所以 在在a處連續(xù)處連續(xù) 21111)()()(2kxkcotkxBelnxksinAlnlnxkdxd 積積分分兩兩邊邊同同時時對對 1212222111222VVVEek

38、kekaksineABaEVmakak V2,相應地相應地,k2 在這一極限情況下在這一極限情況下,波函數(shù)在波函數(shù)在x=a處為零處為零. x1 x2 Cxxxx 2121 證明證明 （）xxVEmx02121 ）（202222 xxVEmx 1221 01221 01221 C 1221 假設有簡并態(tài)：一個能量假設有簡并態(tài)：一個能量E對應兩個態(tài)對應兩個態(tài) 和和 x1 x2 因為為束縛態(tài)，故：因為為束縛態(tài)，故： 021 xx,x即要求即要求122112210 C21212121212211 CClnlnlnClnlnlndxlndxlnlnln x1 x2 只相差一無關常數(shù)因子，故代表只相差一無

39、關常數(shù)因子，故代表一個同一個態(tài)一個同一個態(tài)1. 1.有限性有限性. . 例如,設設r=rr=r0 0是是 (r)(r)的一個孤立奇點的一個孤立奇點,C,C是包圍是包圍r r0 0的任意小體的任意小體積積, ,按統(tǒng)計詮釋按統(tǒng)計詮釋, ,只要只要 ,xdr有有限限值值 320 如取如取r r0 00 0, ,采用球坐標采用球坐標, ,則此條件相當于要求（注意：則此條件相當于要求（注意：0 00,0,顯然要求積分值顯然要求積分值0 0）0023)r(r,r 2. 2.可積性可積性. . 132 xdr 例如例如平面波（平面波（動量本征態(tài)動量本征態(tài)）rp irexp2)(233.3.單值性單值性. .

40、 Southwestern UniversityClick to edit company slogan .I.I.箱歸一化箱歸一化設想：粒子被限定在一個邊長為設想：粒子被限定在一個邊長為L的正方形箱中的正方形箱中要求：波函數(shù)在兩個相對的箱壁上對應點具有相同要求：波函數(shù)在兩個相對的箱壁上對應點具有相同的值，的值，波函數(shù)滿足這樣的邊界條件稱為周期性邊界波函數(shù)滿足這樣的邊界條件稱為周期性邊界條件條件。）（下的波函數(shù)為下的波函數(shù)為即自由粒子在箱歸一化即自由粒子在箱歸一化）（）（：21111123232323)Etr .p(VV)Etr .p()Etr .p()Etr .p(iiiieAVAdxAdx

41、eeAdxz , y,xdxz , y,xAez , y,x 體積積無窮所以自由粒子的波函數(shù)）（則則能能量量）（；同同理理得得：則則：）（其其中中）（）（如如果果將將5432222222112)nnn()(Eppppn21eeeLz , y,xz ,Ly,xz , y,Lxz , y,xererez , y,xzxyxmLmpLn2zLn2yLn2xLn2xxL.pL.pz .py .p)Lx.(pz .py .px .pr .pVpEtp)Etr .p(Vzyxxxxizyxizyxiiii 此方程的解得條件是邊界條件要求nx, ny, nz 取整數(shù)！取整數(shù)！注意：當注意：當L取無窮大時，（

42、取無窮大時，（n+1）與）與n級之間的動量級之間的動量差或能量差趨于零，構成連續(xù)能級。差或能量差趨于零，構成連續(xù)能級。II. II. 函數(shù)歸一化函數(shù)歸一化 1 1、定義：、定義： 0000)(xxxxxx )0(1)()(0000 dxxxdxxxxx或等價的表示為：對在或等價的表示為：對在x=xx=x0 0 鄰域連續(xù)鄰域連續(xù)的任何函數(shù)的任何函數(shù) f f（x x）有：）有：)()()(00 xfdxxxxf 3 3、 函數(shù)函數(shù) 亦可寫成亦可寫成 Fourier Fourier 積分形積分形式：式：)(0021)(xxikedkxx 令令 k=pk=px x/ / , dk= dp, dk= d

43、px x/ / , , 則則xxxpidpexxx)(0021)( 2 2、性質：、性質：)()()()(000 xxxfxxxf )(|1)(xaax )()(xx 0 x0 x)(0 xx dxe)pp(xpxpx)pp(ixxxxxx 210，則則，作作代代換換：EtipEtrpiperAetr )(),(寫成分量形式寫成分量形式321)()()()(zpiypixpippprpipzyxzyxeAeAeAzyxAer t=0 t=0 時的平面波時的平面波)(),(),(22*22xxtppippppedxtxtxxxxx 考慮一維積分考慮一維積分dxxxexxxxpptEEi)()(*

44、 dxxxexxxxpptppi)()(*2222 dxxxxxpp)()(* )(221xxppA 若取若取 A A1 12 2 2 2 = 1 = 1，則，則 A A1 1= 2= 2 -1/2-1/2, , 于是于是xpipxxex 21)( )(xxpp 平面波可歸一化為平面波可歸一化為函數(shù)函數(shù))(xxpp dxtxtxxxpp),(),(* )(xxpp dxeAxppixx21 dxeppxppixxxx)(21)( )()()()(000 xxxfxxxf EtipEtrpiperetr )(21),(2/3 drredtrtrpptEEipp)()(),(),(* )()()(

45、)()()(*ppppppppdrrzzyyxxpp 2/332121 AAAA)()(ppppetEEi 其中其中2/321)(rpiper 由于粒子的狀態(tài)應由波函數(shù)來描述。因此，就不由于粒子的狀態(tài)應由波函數(shù)來描述。因此，就不能像經典那樣以每時刻，用動量和坐標來描述能像經典那樣以每時刻，用動量和坐標來描述（事實上由前一節(jié)也看出，自由粒子的動量并不（事實上由前一節(jié)也看出，自由粒子的動量并不一定取一個值）。但是否仍能像經典那樣在坐標一定取一個值）。但是否仍能像經典那樣在坐標r r處發(fā)現(xiàn)粒子具有動量處發(fā)現(xiàn)粒子具有動量P P呢？呢？ W.Heisenberg指出指出：當我們測量客體的動量如有：當我們

46、測量客體的動量如有一測不準度一測不準度 （即客體動量在這區(qū)域中的幾率很（即客體動量在這區(qū)域中的幾率很大），我們在同時，不可能預言它的位置比大），我們在同時，不可能預言它的位置比 更精確。也就是說，在同一時刻測量動量和位置，更精確。也就是說，在同一時刻測量動量和位置，其測不準度必須滿足其測不準度必須滿足v類似類似v v這稱為這稱為Heisenberg測不準關系測不準關系。 xp xp xpxypyzpzv 應該注意：這是實驗的結果應該注意：這是實驗的結果; 當然也是波當然也是波v一粒兩象性的結果；自然也是波函數(shù)幾率解釋一粒兩象性的結果；自然也是波函數(shù)幾率解釋v和態(tài)疊加原理的結果。和態(tài)疊加原理的結

47、果。v 我們將從幾個方面來論述它我們將從幾個方面來論述它:v A. 具有確定動量具有確定動量 （一維運動）的自由粒子，（一維運動）的自由粒子，v 是以是以v v 來描述，其幾率密度來描述，其幾率密度 0p/ )tExp( ippe)()t ,x( 002121 2120 )t ,x(p粒子在空間各點的幾率都相同（不依賴于粒子在空間各點的幾率都相同（不依賴于）所以坐標完全不確定，即所以坐標完全不確定，即 x 00021212121pxi/pxix/xedxe )x()p( )xx(x,x.Bx0000 ，相相應應的的波波函函數(shù)數(shù)為為度度即即位位置置的的不不確確定定置置設設一一維維粒粒子子具具有有

48、確確切切位位所以所以 21)(20 px粒子動量取各種值的幾率都相同（不依賴于粒子動量取各種值的幾率都相同（不依賴于）所以動量完全不確定，即所以動量完全不確定，即 p 變變換換，相相應應的的波波函函數(shù)數(shù)的的即即位位置置的的不不確確定定度度的的區(qū)區(qū)域域中中要要局局限限在在可可以以看看出出，粒粒子子位位置置主主，描描述述的的粒粒子子高高斯斯波波包包Fourier112222222ax,axee.C/x/x pxkpkx,ake)k(e)k(edxeedxee)k(kkkikxxikxx/ 利用德布羅意關系利用德布羅意關系所以要求所以要求得：得：高斯積分公式高斯積分公式111121222222222

49、224221v 如一個自由粒子是由一系列沿如一個自由粒子是由一系列沿x方向的方向的v平面波疊加而成的波包描述。平面波疊加而成的波包描述。v設：設：k很小，很小， 變化很緩慢，可近似取為變化很緩慢，可近似取為 kkkk)tkx( idke)k(C)t , r( 0021)k(C)k(C0v 所以，v v 0kk00dkd)kk( 0kk0dkdl kklt)dkd(xi) txk( i0dlee2)k(C) t , r (000 ) txk( i0000etdkdxk tdkdxSin22kC lk)kk(kk000v 這是具有一定形狀沿這是具有一定形狀沿x方向傳播的波包。波方向傳播的波包。波v

50、包的極大值位置為包的極大值位置為v ，v所以它移動的速度所以它移動的速度 v即粒子的速度，如前述稱為群速度。即粒子的速度，如前述稱為群速度。v在在 時，位相為時，位相為 00 t)dkd(xk 00kkg)dpdE()dkd(dtdxv 00t ,x00000txk v在在 時，位相也為時，位相也為 v 所以，位相傳播速度所以，位相傳播速度 v ，v如前述稱為相速度。如前述稱為相速度。v 這個波包擴展度的區(qū)域不是任意小，即這個波包擴展度的區(qū)域不是任意小，即v t , xtxk000 0000ppEktxv kx 2 v于是有于是有v 所以要波包僅局限于空間一定區(qū)域，相應所以要波包僅局限于空間一

51、定區(qū)域，相應 v的擴展度不可能任意?。划?shù)臄U展度不可能任意?。划?的擴展度一定時，的擴展度一定時，v那波包的擴展度也不可能任意小。那波包的擴展度也不可能任意小。v （2）一些實驗：）一些實驗：v A位置測量：一束電子平行地沿位置測量：一束電子平行地沿 方向方向v入射，通過窄縫入射，通過窄縫a，從而測出，從而測出 方向的位置。在方向的位置。在v 方向有一不確定度方向有一不確定度y=a，而人們認為，而人們認為 h2pxx 0py0ypyxPxPxyyv而在而在0附近有一寬度附近有一寬度v 所以，當測量所以，當測量y的位置越精確（即的位置越精確（即a越?。叫。?，v那動量在那動量在y方向越不精確，它們的精確度至少要方向越不精確，它