高二數(shù)學(xué)橢圓專題詳細(xì)解析

1、朗培教育橢圓專題解析1. 橢圓定義：（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn).當(dāng)時(shí), 的軌跡為橢圓 ; ; 當(dāng)時(shí), 的軌跡不存在; 當(dāng)時(shí), 的軌跡為 以為端點(diǎn)的線段（2）橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線(定點(diǎn)不在定直線上)的距離之比是常數(shù)()的點(diǎn)的軌跡為橢圓（利用第二定義,可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化）.2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)參數(shù)關(guān)系焦點(diǎn)焦距范圍頂點(diǎn)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱離心率準(zhǔn)線 考點(diǎn)1 橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 題型1:橢圓定義的運(yùn)用例1 (湖北部分重點(diǎn)中學(xué)2009屆高三聯(lián)考)橢圓有這樣

2、的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，今有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，點(diǎn)A、B是它的焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，靜放在點(diǎn)A的小球（小球的半徑不計(jì)），從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是OxyDPABCQA4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 解析按小球的運(yùn)行路徑分三種情況:(1),此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2(ac);(2), 此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2(a+c);(3)此時(shí)小球經(jīng)過的路程為4a,故選D【名師指引】考慮小球的運(yùn)行路徑要全面【新題導(dǎo)練】1.短軸長(zhǎng)為，離心率的橢圓兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交橢圓

3、于A、B兩點(diǎn)，則ABF2的周長(zhǎng)為（ ）A.3 B.6 C.12 D.24解析C. 長(zhǎng)半軸a=3，ABF2的周長(zhǎng)為4a=122.已知為橢圓上的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 兩圓心C、D恰為橢圓的焦點(diǎn)，的最小值為10-1-2=7題型2 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為4，求此橢圓方程.【解題思路】將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)的式子“描述”出來解析設(shè)橢圓的方程為或，則，解之得：，b=c4.則所求的橢圓的方程為或.【名師指引】準(zhǔn)確把握?qǐng)D形特征，正確轉(zhuǎn)

4、化出參數(shù)的數(shù)量關(guān)系警示易漏焦點(diǎn)在y軸上的情況【新題導(dǎo)練】3. 如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.解析(0,1). 橢圓方程化為+=1. 焦點(diǎn)在y軸上，則>2，即k<1.又k>0，0<k<1. 4.已知方程,討論方程表示的曲線的形狀解析當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，當(dāng)時(shí)，方程表示圓心在原點(diǎn)的圓，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓5. 橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是，求這個(gè)橢圓方程.解析 ，所求方程為+=1或+=1.考點(diǎn)2 橢圓的幾何性質(zhì) 題型1:求橢圓的離心率（或范

5、圍）例3 在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率解析 ，【名師指引】（1）離心率是刻畫橢圓“圓扁”程度的量，決定了橢圓的形狀；反之，形狀確定，離心率也隨之確定（2）只要列出的齊次關(guān)系式，就能求出離心率（或范圍）（3）“焦點(diǎn)三角形”應(yīng)給予足夠關(guān)注【新題導(dǎo)練】6.如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,那么這個(gè)橢圓的離心率為 . . . . 解析選7.已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n，mn成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為 解析由，橢圓的離心率為題型2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用（范圍、對(duì)稱性等）例4 已知實(shí)數(shù)滿足,求的最大值與最小值【解題

6、思路】 把看作的函數(shù) 解析 由得,當(dāng)時(shí),取得最小值,當(dāng)時(shí),取得最大值6【新題導(dǎo)練】9.已知點(diǎn)是橢圓（，）上兩點(diǎn),且,則= 解析 由知點(diǎn)共線,因橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,10.如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)則_解析由橢圓的對(duì)稱性知： 考點(diǎn)3 橢圓的最值問題例5 橢圓上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值為_【解題思路】把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為某個(gè)變量的函數(shù) 解析在橢圓上任取一點(diǎn)P,設(shè)P(). 那么點(diǎn)P到直線l的距離為：【名師指引】也可以直接設(shè)點(diǎn)，用表示后，把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為的函數(shù)，關(guān)鍵是要具有“函數(shù)思想”【新題導(dǎo)練】11.橢圓的內(nèi)接矩形的面積的最

7、大值為 解析設(shè)內(nèi)接矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為，矩形的面積12. 是橢圓上一點(diǎn)，、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的最大值與最小值解析 當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值13.已知點(diǎn)是橢圓上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又、，是原點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值是_解析 設(shè)，則考點(diǎn)4 橢圓的綜合應(yīng)用題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題例6 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且（1）求橢圓方程；（2）求m的取值范圍【解題思路】通過，溝通A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再利用判別式和根與系數(shù)關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于m的不等式解析（1）由題意可知橢圓為焦

8、點(diǎn)在軸上的橢圓，可設(shè)由條件知且，又有，解得 故橢圓的離心率為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為： （2）設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k22）x22kmx（m21）0（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）>0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 m2時(shí)，上式不成立；m2時(shí)，k2，因3 k0 k2>0，1<m< 或 <m<1容易驗(yàn)證k2>2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范圍為（1，）（，1） 【名師指引】橢圓與向量、解三角形的交匯

9、問題是高考熱點(diǎn)之一，應(yīng)充分重視向量的功能【新題導(dǎo)練】14.設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是 （ ） A. B. C. D. 解析 ，選A.15. 如圖，在RtABC中，CAB=90°，AB=2，AC=。一曲線E過點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|+|PB|的值不變，直線l經(jīng)過A與曲線E交于M、N兩點(diǎn)。 （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程； （2）設(shè)直線l的斜率為k，若MBN為鈍角，求k的取值范圍。解：（1）以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A（1，0），B（1，0）由題設(shè)可得

10、動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為，則曲線E方程為（2）直線MN的方程為由方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根MBN是鈍角即解得：又M、B、N三點(diǎn)不共線綜上所述，k的取值范圍是基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn),直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為( ) A B C D 解析 B . 2. 設(shè)F1、F2為橢圓+y2=1的兩焦點(diǎn)，P在橢圓上，當(dāng)F1PF2面積為1時(shí)，的值為A、0B、1C、2D、3解析 A . ， P的縱坐標(biāo)為，從而P的坐標(biāo)為，0， 3.橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是 A B C D解析 D. ,兩式相減得：，4.在中，若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 解析5. 已

11、知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),若, 則此橢圓的離心率為 _. 解析 三角形三邊的比是6.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率= 解析綜合提高訓(xùn)練7、已知橢圓與過點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)的直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率求橢圓方程解析直線l的方程為：由已知由得：，即由得：故橢圓E方程為8.已知A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。 （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于ABC，求的值。解析（1）點(diǎn)是線段的中點(diǎn) 是

12、的中位線又 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1 （2）點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)ACBC2a，AB2c2 在ABC中，由正弦定理， 9. 已知長(zhǎng)方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系.()求以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;OABCD圖8()過點(diǎn)P(0,2)的直線交()中橢圓于M,N兩點(diǎn),是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.解析 ()由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為聯(lián)立方程: 消去整理得, 有若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn),則,所以,所以,即所以, 即 得所以直線的方程為,或