高等數(shù)學(xué)公式

1、第七章 考點1. 向量的運算：1）設(shè)求解：考點2.旋轉(zhuǎn)曲面方程：繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得：，其它旋轉(zhuǎn)類似2）曲線繞x軸（或者y軸）旋轉(zhuǎn)一周的方程解：繞x得到：。繞y軸得到：考點3 平面方程：點法式方程，截距式：3）一個平面過點p(1,-3,2), 且垂直于點A(0,0,3)和點B(1,-3,-4)的連線，求該平面方程解：法向量平面方程為總復(fù)習(xí)：p40頁 習(xí)題A全做?？键c4. 求直線方程：點向式直線方程為4）求通過點(1,2,-4)垂直于平面的直線方程解：直線方程為5）求通過A(1,-1,1)和B（2，3，2）兩點的直線方程解：直線方程第八章 考點5、二元函數(shù)的極限：1）（2010級）2。2）43）考點

2、6、二元復(fù)合函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：4）求偏導(dǎo)數(shù)解：，考點7、隱函數(shù)求微分：5）（2004級）（2010級）2）求函數(shù)z=，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：， ，dz=。,.6）設(shè)函數(shù)，且是由方程確定的隱函數(shù)，求du解：du=，而補）6-1）求 解：考點8、多元函數(shù)條件極值（兩個考點）：（2010級）7）在橢圓上求一點，使其到直線的距離最短。解：橢圓上點到直線的距離為故設(shè)拉格朗日函數(shù)：解 得駐點；，故點為所求?？键c9、多元函數(shù)無條件極值（兩個考點）：設(shè)(1)當，在取得極值，且當時取得極大值，時取得極小值。（2）當，在沒有極值。（3）當時，不能確定。（2009級）8）、求函數(shù)的極值。解：由又第九章 二重

3、積分：考點10、交換積分次序：直角坐標系：X型積分，兩豎線夾區(qū)域定，另一豎線定y的值。類似Y型區(qū)域。（2005級）9）、交換二次積分次序，則.10)交換積分次序 =考點11、極坐標計算二重積分：極坐標系：兩射線夾區(qū)域，另一射線定大小，。11）計算積分解：D=12) ，其中D是由 圍成的區(qū)域。解：D=三重積分：直角坐標系：區(qū)域投影在xoy面定，另一投影線定z的范圍?？键c12、柱面坐標系：區(qū)域投影在xoy面定,將化為極坐標,另一投影線定z的范圍（只考柱面坐標計算）（2009級）13）求由球面與圓錐面所圍成的立體的體積。其中立體滿足：解：由，消去得，故立體在面的投影域為，用柱面坐標（2004級）14

4、）求由曲面及所圍成的立體的體積.解：,由交線,由極面坐標公式考點13 球面坐標系： 區(qū)域投影定，再求與z正半軸的夾角，射線交定。，。注釋：當為柱體或球體時，采用柱面坐標積分。（2010級）15）在球面坐標下將化為三次積分，其中是由曲面所圍成的閉區(qū)域，則（2008級）16）計算三重積分。解： 第十章考點14、對弧長的曲線積分：（1）直角坐標系：將直角坐標代入積分=（2006級）17）設(shè)有曲線：的起點為（0，0），終點為（1，1）則曲線積分： 。(2013級)18) 求，其中L是x+y=1與x軸及y軸所圍成的整個邊界。（2）參數(shù)方程：將參數(shù)坐標代入積分=（2004級） 19）設(shè)L為圓弧：，則曲線積

5、分=（3）極坐標方程：將參數(shù)坐標代入積分=考點15、對面積的曲面積分：口訣：曲面投影定，替換ds=和z。（2008級）20）計算，其中是錐面及平面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面.解：，ds=，化極坐標 （2010級）21）計算其中是上介于的部分。解：曲面在的投影為記，則：考點16、格林公式計算：（對坐標的曲線積分：直角坐標系，參數(shù)方程，極坐標方程直接代入積分，若L是封閉曲線，則用格林公式=。）（2006級）22）利用格林公式，計算曲線積分：為三頂點分別為（0，0）、（3，0）和（3，2）的三角形正向邊界.解： 由格林公式，得解法2: (2010級) 23)計算曲線積分其中L為逆時針方向的上半圓周解

6、：補直線從點到點則由格林公式考點17、積分與路徑無關(guān)：全微分函數(shù)求法（折線法）。積分與路徑無關(guān)（），則=+。（2007）24）當 2 時，曲線積分 與路徑無關(guān).(2010)2)證明曲線積分在xoy面內(nèi)與路徑無關(guān)，并計算的值。解：，故曲線積分與路徑無關(guān)，取路徑則(2013級）25)求對坐標的曲線積分解：原式=50考點18、全微分函數(shù)求法（折線法）： 若積分與路徑無關(guān)（），則u(x,y)是某個的全微分， ,+.。26)證明是u(x,y)的全微分，并計算u(x,y)的值。解：，故曲線積分與路徑無關(guān)，是u(x,y)的全微分，取路徑則27）判別下列方程是不是全微分方程，并求其通解u(x,y)證明：P=，Q=顯然，則通解u(x,y)考點19、高斯公式計算三重積分：（非封閉區(qū)域，請補全成一個封閉區(qū)域，一般補一個z=a的面）注意：