地下水向完整井的非穩(wěn)定運動

1、第四章第四章 地下水向完整井的非穩(wěn)定運動地下水向完整井的非穩(wěn)定運動1MULTIPLE AQUIFERSDistorted scale!肖 長 來吉林大學(xué)環(huán)境與資源學(xué)院2006-34-1承壓含水層中的完整井流承壓含水層中的完整井流 當(dāng)承壓含水層側(cè)向邊界離井很遠(yuǎn)，邊界對研究區(qū)的水頭分布沒有明顯影響時，可以把它看作是無外界補給的無限含水層。1. 定流量抽水時的定流量抽水時的Theis公式公式 承壓含水層中單井定流量抽水的數(shù)學(xué)模型是在下列假設(shè)條件下建立的： (1) 含水層均質(zhì)各向同性，等厚，側(cè)向無限延伸，產(chǎn)狀水平； (2) 抽水前天然狀態(tài)下水力坡度為零； (3) 完整井定流量抽水，井徑無限小； (4)

2、 含水層中水流服從Darcy定律； (5) 水頭下降引起的地下水從貯存量中的釋放是瞬時完成的。The Theis solution assumes the following:The aquifer is confined and has an apparent infinite extent;The aquifer is homogeneous, isotropic, and of uniform thickness over the area influenced by pumping;The piezometric surface was horizontal prior to pump

3、ing;The well is fully penetrating and pumped at a constant rate;Water removed from storage is discharged instantaneously with a decline in head;The well diameter is small, so well storage is negligible.Data requirements:Drawdown vs. time at an observation wellFinite distance from the pumping well to

4、 observation wellPumping rate (constant) 在上述假設(shè)條件下，抽水后將形成以井軸為對稱軸的下降漏斗，將坐標(biāo)原點放在含水層底板抽水井的井軸處，井軸為Z軸，如圖4-1所示。圖圖4-1 承壓水完整井流承壓水完整井流 此時，單井定流量的承壓完整井流，可歸納為如下的數(shù)學(xué)模型： 式中，s=H0-H。 下邊研究如何求降深函數(shù)s (r, t)。為此，利用Hankel變換，將方程式(4-1)兩端同乘以rJ0(r)，并在(0,)內(nèi)對r積分。2*21ssusrrrTtt0，0 (4-1) （4-2） s(r，0)=0 0r0 設(shè)導(dǎo)壓系數(shù) ，則有：方程式右端方程式左端，利用分部積

5、分，同時注意到邊界條件式（4-3）與式(4-4)，有：按Bessel函數(shù)的性質(zhì)，有：*Ta00001()()ssarrJr drrJr drrrtt0000()()sd srJr drsrJr drttdt01001()()()2saQarrJr drasd rJrrrtT1000()()sdrJrsrJr d r因此，有：上述定解問題，經(jīng)過Hankel變換，消去了變量r，轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｎ⒎址匠痰某踔祮栴}，即：其解為：再通過Hankel逆變換由 求s，即：2001()2saQarrJr drasrrrT2200d sa Qasd tTst2()02tata QsedT200()000()()2tat

6、ssJr daQeJr ddT（4-5） s先計算方括號內(nèi)的積分，為此設(shè)：將(4-6)式對r求導(dǎo)數(shù)，有：根據(jù)（4-6）式，有： 2()00()()atFreJr d（4-6） 22()00()00( )()1()2()atatFreJr dreJr da t ()()2()()()2()rFrFratd Frrd rFrat 兩邊積分得： 令 ，則有： 故：利用r=0時的F（r）值，由（4-6）可以確定C值：但由(4-7)式，有： 把上式代入(4-5)式，有：21ln( )4 ()rF rCa t 1lnCC2( )ln4 ()F rrCa t 24 ()( )ra tF rCe（4-7） 2

7、()001(0)(0)2 ()atFeJda t1(0),2()FC Ca t24()1( )2()ra tF rea t24()0122()rtataQsedTa t（4-8） 為計算方便，對（4-8）式進行變量代換，令：同時更換積分上下限，當(dāng)=0 時， 當(dāng)=t時，y= 于是， 其中， 222,4()4rrydd ya ta yatry42222244444yyruatQerQesdydyrTayTyay（4-9） 22*44rrua TT t（4-10） 在地下水動力學(xué)中，采用井函數(shù)W(u)代替(4-9)式中的指數(shù)積分式：則(4-9)式可改寫成：式中，s抽水影響范圍內(nèi)，任一點任一時刻的水位

8、降深；Q抽水井的流量；T導(dǎo)水系數(shù)；t自抽水開始到計算時刻的時間；r計算點到抽水井的距離；*含水層的貯水系數(shù)。 (4-9)式為無補給的承壓水完整井定流量非穩(wěn)定流計算公式，也就是著名的Theis公式公式。( )()yiueW uEudyy ()4QsWuT（4-11） 為了計算方便，通常將W(u)展開成級數(shù)形式：并制成數(shù)值表（表4-1），只要求出u值，從表4-1中就可查出相應(yīng)的W（u）值；反之亦然。21( )0.577216ln( 1)nynunuW uedyuuyn n 2. 流量變化時的計算公式流量變化時的計算公式 Theis公式是在假定流量固定不變的情況下導(dǎo)出的。這種情況通常只有在抽水試驗時

9、才能做到。實際上，很多生產(chǎn)井的流量是季節(jié)性變化的。如農(nóng)用井在灌溉季節(jié)抽水量大，非灌溉季節(jié)抽水量小。工業(yè)用水也有類似情況，常隨需水量而變化。在這種情況下，怎樣應(yīng)用Theis公式? 首先需要繪出生產(chǎn)井的Q=f（t）關(guān)系曲線，即流量過程線。 然后將流量過程線概化，用階梯形折線代替原曲線，坐標(biāo)選擇如圖4-2所示。概化原則是矩形面積等于曲線于橫坐標(biāo)所圍成的面積。其中，每一個階梯都可視為定流量，應(yīng)用Theis公式。把各階梯流量產(chǎn)生的降深，按疊加原理疊加起來，即得流量變化時水位降深的計算公式。當(dāng)0tt1時，水位降深為： 2144Qr usWTTt當(dāng) 時，水位降深為：圖圖4-2 流量概化呈階梯狀變化圖流量概化

10、呈階梯狀變化圖1iittt2221121114444 ()44 ()iiiQ QQQQrrrsWWWTTtTT t tTT t tt時刻經(jīng)歷若干個階梯流量后所產(chǎn)生的總水位降深為：式中，設(shè)t0=0，相應(yīng)的Q0=0。(4-12)式為流量變化時，經(jīng)概化呈階梯狀變化后的計算公式。3 . Theis公式的近似表達式 如前述，Theis公式中的井函數(shù)，可以展開成無窮級數(shù)形式，即： 21111()44 ()niiiirsQQWTT tt1iittt （4-12） 21( )0.577216ln( 1)!nynunuW ue dyuuyn n 前三項之后的級數(shù)是一個交錯級數(shù)。根據(jù)交錯級數(shù)的性質(zhì)可知，這個級數(shù)之

11、和不超過u。也就是說，當(dāng)u很小，井函數(shù)W(u)用級數(shù)前兩項(-0.577216-lnu)代替時，其舍掉部分不超過2u。因此，當(dāng)u 0.01(即 )井函數(shù)用級數(shù)前兩項代替時，其相對誤差不超過0.25%；當(dāng)u0.05時(即 )，相對誤差不超過2%；當(dāng)u 0.1時（即 ），相對誤差不超過5%。 一般生產(chǎn)上允許相對誤差在2%左右。因此，當(dāng)u0.01或u 0.05時，井函數(shù)可用級數(shù)的前兩項代替，即：22 5r utT25rutT22.5r utT22.25( )0.577216lnlnTtW uur于是，Theis公式可以近似地表示為下列形式：(4-13)式稱為Jacob公式(1946)。 流量階梯狀變

12、化時，當(dāng)ui0.01時，即(4-12)式可近似地表示為：2*22.250.1832.25lnlg4QTtQTtsTrTr u (4-13) 11212.25 ()0.183()lgniiiiT ttsQQTr (4-14)2()2 5(1 , 2)irttinT4 .對對Theis公式和與之有關(guān)的幾個問題的討論公式和與之有關(guān)的幾個問題的討論 1) Theis公式反映的降深變化規(guī)律公式反映的降深變化規(guī)律 將（將（4-11）式改寫成無量綱降深形式，即）式改寫成無量綱降深形式，即 ，并給出并給出 曲線曲線圖圖4-3(a)。曲線表明，同一時。曲線表明，同一時刻隨徑向距離刻隨徑向距離r增大，降深增大，降

13、深s變小，當(dāng)變小，當(dāng)r時，時，s0，這一，這一點符合假設(shè)條件。同一斷面點符合假設(shè)條件。同一斷面(即即r固定固定)，s隨隨t的增大而增大，的增大而增大，當(dāng)當(dāng)t=0時，時，s=0，符合實際情況。當(dāng)，符合實際情況。當(dāng)t時，實際上時，實際上s不能趨不能趨向無窮大。因此，降落漏斗隨時間的延長，逐漸向遠(yuǎn)處擴展。向無窮大。因此，降落漏斗隨時間的延長，逐漸向遠(yuǎn)處擴展。這種永不穩(wěn)定的規(guī)律是符和實際的，恰好反映了抽水時在沒這種永不穩(wěn)定的規(guī)律是符和實際的，恰好反映了抽水時在沒有外界補給而完全消耗貯存量時的典型動態(tài)有外界補給而完全消耗貯存量時的典型動態(tài).圖圖4-3反映了上反映了上述結(jié)論。述結(jié)論。()/ 4sWuQT1

14、()Wuu 從（4-11）或（4-13）式還可以看出：同一時刻的徑向距離r相同的地點，降深相同。這說明抽水后形成的等水頭線(s=常數(shù))是一些同心圓，圓心在井軸。當(dāng)u0.05時,可直接由(4-13)式導(dǎo)出描述它們的方程式為：4222 .2 5T sQT txye(4-15) 2) Theis公式反映的水頭下降速度的變化規(guī)律將(4-9)式對t求導(dǎo)數(shù)，得：式(4-16)表明，抽水初期隨著r的增大， 值減小。因此，近處水頭下降速度大，遠(yuǎn)處下降速度小。當(dāng)r一定時，(4-16)式又表明，不同時刻的水頭下降速度 ，由于 和 兩個因素起著增、減兩個方向相反的作用，所以 不是t 的單調(diào)函數(shù)； s-t曲線(圖4-

15、3b)不能沿著同一斜率變化，存在著拐點?？梢岳?，找出拐點的位置。為此有： 240144ruTtsQeuQduetuTutT t (4-16) 24r uTtest1t24r uTtets220st22242211044rTtsQretT tTt所以拐點出現(xiàn)的時間(此時u=1)為： 圖4-3的曲線也反映了上述結(jié)論，即每個斷面的水頭下降速度初期由小逐漸增大，當(dāng) =1時達到最大；而后下降速度由大變小，最后趨近于等速下降。 式(4-17)還表明不同斷面拐點出現(xiàn)的時間ti不同。將(4-17)式代入(4-11)式，得拐點處降深si為： 214rT t24irtT（4-17） 1u20.017544ii

16、QrQsWTTtT（4-18） 式(4-18)還反映出拐點處降深與r無關(guān)。說明任一斷面都經(jīng)歷著一個相同的過程，當(dāng)s=si時，出現(xiàn)最大下降速度,即：當(dāng)抽水時間足夠長時， (4-16)式變?yōu)椋?上式意味著：t足夠大時，在抽水井一定范圍內(nèi)，下降基本上是相同的，與r無關(guān)。換言之，經(jīng)過一定時間抽水后，下降速度變慢，在一定范圍內(nèi)產(chǎn)生大致等幅的下降。24210 .1 1 74irT tiisQQetTtr2*2*2425(0.01,0.991)4rTtrrtueTTt即14sQtTt（4-19） 3) Theis公式反映出的流量和滲流速度變化規(guī)律將(4-9)式對r求導(dǎo)數(shù)，得：又根據(jù)Darcy定律，可些導(dǎo)出r

17、處過水?dāng)嗝娴牧髁繛椋簩?4-20)式代入上式，得：2442uurT tsQeud utuTursQrerT （4-20） 2rsQK M rr 24rT trQQ e（4-21） 因為 恒取正值，所以， ，因而Qrtp）的剩余降深s(原始水位與停抽后某時刻水位之差)，可理解為流量Q繼續(xù)抽水一直延續(xù)到t時刻的降深和從停抽時刻起以流量Q 注水t-tp時間的水位抬升的疊加：兩者均可用Theis公式計算。故有：式中，22444QrrsWWTTtTt （4-23） pttt 20.014234rTt當(dāng)時，（）式可化簡為52.3lglglg44QTtTtQtsTrrTtt （4-2

18、4） 式(4-24)表明， 呈線性關(guān)系， 為直線斜率。利用水位恢復(fù)資料繪出 曲線，求得其直線段斜率i，由此可以計算參數(shù)T：如已知停抽時刻的水位降深sp，則停抽后任一時刻的水位上升值s*可寫成：式（4- 25）表明，s*與 呈線性關(guān)系，斜率為 。如根據(jù)水位恢復(fù)試驗資料繪出 曲線，求出其直線段斜率，也可計算T值。兩者所求T值應(yīng)基本一致。lgtst 2 .34QiTlgtst 2.30.1834 QQTii2.3lglglg444ppatQtQQtsssTtTrTt或（4-25） lgtt 2.32QT*lgtst又根據(jù) 將求出的 代入，可得：利用式(4-26)可求出導(dǎo)壓系數(shù)a

19、和貯水系數(shù)6. 定降深井流的計算定降深井流的計算 在側(cè)向無限延伸的承壓含水層中抽水，如果在整個抽水期間保持井中水頭hw或降深sw不變，那么抽水量Q將隨著抽水時間的延續(xù)而逐漸減少；除了抽水井本身以外，含水層中任一點的水頭H也將隨著時間的延續(xù)而逐漸降低。當(dāng)t 時，Q0，s(r)sw。一口頂蓋密封住的自流井，會保持原來水頭。在打開井蓋的瞬間，水從井中溢出，水位迅速降低到井口附近。在一定時間內(nèi)，自流井保持一定的水位，流量則逐漸減少。22.252.3lg4ppatQsTr2.32Qi20.4410psiprat（4-26） 對自流井放水來說，基本上屬于這種定降深變流量問題(圖4-8)?？拥婪潘@孔也類似

20、于這種情況。如果其他條件同推導(dǎo)Theis公式時的假設(shè)一樣，則該定解問題的數(shù)學(xué)模型為：圖圖4-8承壓含水層中定降深抽承壓含水層中定降深抽(放放)水試驗水試驗這個數(shù)學(xué)模型通過Laplace變換求得其解為：式中，sw為井中降深; 為以為變量的函數(shù)，稱為無越流補給承壓含水層定降深井流的降深函數(shù)，其值列于表4-3中； 為無量綱徑向距離； 無量綱時間。 表4-3函數(shù)A(，r)數(shù)值表(略)1ssrrrrTt,00s r,0st0,wsts t0 0r0r0 t0,wss Ar（4-27） ,Arwrrr2wTtr將（4-27）式對r求導(dǎo)數(shù)并代入Darcy定律，得：式中，Q為隨時間變化的流量; G ()為無越

21、流補給承壓含水層定降深井流的流量函數(shù)(表4-4)。2wQTs G(4-28) 表4-4G ()數(shù)值表（據(jù)Jacob和Lohman） 如果在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制 曲線（圖4-9），由此曲線可以看出，隨時間的增加，增大，G ()減小，流量Q也隨著減小。 是一個小于1的函數(shù)。由（4-27）式可以看出，各點降深等于自流井或放水井的降深乘以一個小于1的函數(shù)。這個函數(shù)在同一時刻隨著 的增加而減?。辉谕粩嗝嫔想S著t增加，增大而逐漸增加。因此，各點降深在同一時刻隨遠(yuǎn)離自流(放水)井而逐漸減小；在同一斷面上隨著時間增加而增大。這是符合實際情況的。 利用自流井做放水試驗可以確定水文地質(zhì)參數(shù)，這是一種既簡單又經(jīng)濟的

22、辦法。確定參數(shù)方法的原理和定流量抽水試驗相似。茲介紹如下： G,Arrr1）配線法 對（4-28）式和 式兩側(cè)取對數(shù)，有：在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上，Q-t曲線與G ()-曲線形狀相同，可以利用匹配點坐標(biāo)G ()，Q和t來確定參數(shù)。2）直線圖解法 根據(jù)(4-28)式，當(dāng) 時，有下列近似關(guān)系：2Ttr 2lglglg 2lglglgwQGTsrtT25000Ttr222.25lnwGTtr于是有： 242.25lnwwTsGTtr或：由上式可以看出， 與lgt為線性關(guān)系（圖4-10）。利用斜率i得：將直線延長，交t軸于一點to，利用to點的 =0，可計算 。212.32.25lg4wwTtQTsr20.1

23、832.250.183lglgwwwTttTsrTs1Q0.183wTs i1Q圖圖4-10定降深放水試驗應(yīng)用直線圖定降深放水試驗應(yīng)用直線圖解法確定水文地質(zhì)參數(shù)解法確定水文地質(zhì)參數(shù) 思考題：1.Theis公式的假設(shè)條件是什么?它的應(yīng)用有沒有局限性?2.有人說降深和時間關(guān)系為一對數(shù)曲線s=a +blgt，您認(rèn)為有根據(jù)嗎?3單對數(shù)紙上的水位恢復(fù)直線s=f(1+ )是否應(yīng)該通過坐標(biāo)原點，為什么?ptt4-2有越流補給的完整井流有越流補給的完整井流1 基本方程基本方程 在第1章中，我們曾談到在越流含水層中抽水時會發(fā)生越流。有時，人們把這種系統(tǒng)，包括越流含水層、弱透水層和相鄰的含水層(如果有的話)稱為越

24、流系統(tǒng)越流系統(tǒng)(圖1-30)。 越流系統(tǒng)通?？梢詣澐譃槿N類型: 第一越流系統(tǒng)是不考慮弱透水層彈性釋放、忽略補給層水位變化的越流系統(tǒng)； 第二越流系統(tǒng)是考慮弱透水層彈性釋放、不考慮補給層水位變化的越流系統(tǒng)； 第三越流系統(tǒng)是不考慮弱透水層彈性釋放、考慮補給層水位變化的越流系統(tǒng)。 第3章探討了這種情況下的穩(wěn)定運動(圖3-9)。 現(xiàn)在進而探討這種情況下的非穩(wěn)定運動。研究時采用了和研究穩(wěn)定運動時相同的地質(zhì)模型(圖3-9)和假設(shè)，即：(1)越流系統(tǒng)中每一層都是均質(zhì)各向同性，無限延伸的第一類越流系統(tǒng)，含水層底部水平，含水層和弱透水層都是等厚的；(2)含水層中水流服從Darcy定律；(3)雖然發(fā)生越流，但相鄰

25、含水層在抽水過程中水頭保持不變(這在徑流條件比較好的含水層中不難達到)；(4)弱透水層本身的彈性釋水可以忽略，通過弱透水層的水流可視為垂向一維流；(5)抽水含水層天然水力坡度為零，抽水后為平面徑向流；(6)抽水井為完整井，井徑無限小，定流量抽水。The Hantush-Jacob solution has the following assumptions:The aquifer is leaky and has an apparent infinite extentThe aquifer and the confining layer are homogeneous, isotropic,

26、and of uniform thickness over the area influenced by pumpingThe piezometric surface was horizontal prior to pumpingThe well is pumped at a constant rateThe well is fully penetratingWater removed from storage is discharged instantaneously with decline in headThe well diameter is small, so well storag

27、e is negligibleLeakage through the confining layer is vertical and proportional to the drawdownThe head in any un-pumped aquifer(s) remains constantStorage in the confining layer is negligibleFlow is unsteady.在上述假設(shè)條件下，根據(jù)微分方程(1-83)，把水頭化為以降深表示，并改用柱坐標(biāo)，于是有越流補給的抽水含水層中地下水運動的基本方程為：相應(yīng)的定解條件為： 對方程（4-29）施行Hank

28、el變換，于是原定解問題變?yōu)槌Ｎ⒎址匠痰某踔祮栴}，可以很容易地求得它的特解。000tsr 00rst 0lim02rsQrtrT (4-30)(4-31) (4-32) 2221ssssrrrBTt (4-29)再施行逆變換可求得其解為：其中， 有關(guān)推導(dǎo)過程請參閱文獻2。(4-33)式為Hantush和Jacob于1955年建立的有越流補給的承壓水完整井公式。其中 ，為不考慮相鄰弱透水層彈性釋水時越流系統(tǒng)的井函數(shù)，其值列于表4-5中。(課件中無此表內(nèi)容 ),4QrsWuTB(4-33) 22421,4ryB yurWuedyByruTt (4-34) ,rWuB2 公式討論 1) 降深-時間曲

29、線的形狀 將（4-33）式寫成無量綱降深形式：根據(jù)表4-5的井函數(shù)表，繪制 曲線（圖4-11).曲線反映出，有越流補給的s-t關(guān)系大致可分為三個階段：,4srWuQBT t1,rWuBu圖圖4-11越流潛水含水層的標(biāo)準(zhǔn)曲線越流潛水含水層的標(biāo)準(zhǔn)曲線（1）抽水早期，降深曲線同Theis曲線一致。這表明越流尚未進入主含水層，抽水量幾乎全部來自主含水層的彈性釋水。在理論上，相當(dāng)于 =0或B， W（u）此時和Theis曲線一致。 標(biāo)準(zhǔn)曲線組中又反映出， 不同時，與Theis曲線吻合的時間也不一樣。在其他條件一定時，如果越流系數(shù) 越?。?越小），同Theis曲線一致的過程就越長。這說明，弱透層透水性越小

30、，厚度越犬，阻力越大，越流進入抽水層的時間越晚。當(dāng)弱透水層透水性無限小時，在有限的抽水時間內(nèi)，可能沒有明顯的越流反映，而同Theis曲線相一致。（2）抽水中期，因水位下降變緩而開始偏Theis離曲線，說明越流已經(jīng)開始進入抽水含水層。這時，抽水量由兩部分組11Km,rWuBrB11KmrB成：一是抽水含水層的彈性釋水，二是越流補給， 值由零進入有限值，即：因此，越流含水層的降深小于無越流含水層的降深，而且隨 增大(即 越大)，越流含水層的降深比無越流含水層的降深小得越多。 (3)抽水后期，曲線趨于水平直線，抽水量與越流補給量平衡，表示非穩(wěn)定流已轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定流。此時方程（4-33），當(dāng)t時，u0，可

31、簡化成（3-33）式，即：式中， 為虛宗量第二類Bessel函數(shù)（表4-16）。 224ryB 22411,ryyB yuurWuedyedyW uByy 11KmrB02QrsKTB0rKB2）水頭下降速度 與(4-16)式比較可以看出，越流含水層水位下降速度比無越流含水層慢。另外，與無越流含水層一樣，當(dāng)t足夠大時，在一定的范圍內(nèi)，水位下降速度是相同的。2222441414ryByrTtTtBsQuedytTuytQeTt t(4-36) 3 利用抽水試驗資料確定越流系統(tǒng)的參數(shù)利用抽水試驗資料確定越流系統(tǒng)的參數(shù)1）配線法用定流量抽水試驗實測的lgs-lgt曲線與標(biāo)準(zhǔn)曲線lg -lgu的形狀是

32、相同的，只是其縱、橫坐標(biāo)彼此平移了lg 和 而已。下面僅簡單地寫出其步驟： （1）在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制 標(biāo)準(zhǔn)曲線；（2）在另一同模數(shù)的透明雙對數(shù)坐標(biāo)紙上，投上s-t實測數(shù)據(jù)；（3）在保持對應(yīng)坐標(biāo)軸彼此平行的前提下，相對移動兩坐標(biāo)紙；在一組 標(biāo)準(zhǔn)曲線中找出最優(yōu)重合曲線(圖4-12)；（4）兩曲線重合以后，任選一匹配點，記下對應(yīng)的四個坐標(biāo)值 ， ，t，s。將它們分別代入（4-33）和（4-35）式，可以計算含水層的參數(shù)T和，,rWuB4QT2lg4rT1,rW uBurB1u,rW uB即：（5）已知 和r，可計算出B值和 值： ,4QrTWrsB 241TtrurB11Km圖圖4-12越流含水層

33、的配線法越流含水層的配線法2) 拐點法（1）原理（a）取(4-33)對lgt的導(dǎo)數(shù)，由（4-36）式有故有：從(4-37)可看出，同一觀測孔的s-lgt曲線的斜率變化規(guī)律是由小到大，又由大變到小，存在著拐點?？梢酝ㄟ^s對lgt的二階導(dǎo)數(shù)等于零來確定其位置。設(shè)拐點為P，則：224lg1lg4rTtTtBssdtQettdtT t2242 .3lg4rT tT tBsQetT(4-37) 222224222.3044lgrTtpTtBpTtQsreTTtBt故在拐點有： 解得拐點處的時間tp為：相應(yīng)的u值為：將(4-39)式代回（4-37）式，得拐點處切線的斜率為： 2204ppT trT tB2

34、pB rtT (4-38) 242pprruT tB (4-39)2.34rBpQieT(4-40)（b）求拐點處降深：把(4-39)式代入（4-33）式，得：進行變量代換：設(shè)，當(dāng)y=0，當(dāng)則224214ryByrpBQsedyTy (4-41) 2222222,444rrrydydB yBBpyu2242prrB uB22402124rBrpBQrQsKedTBT (4-42) 將（4-41）式和（4-42）式相加，得：（4-43）式表明，拐點處降深等于最大降深的一半（圖4-13）。0max142pQrsKsTB (4-43) 圖圖4-13 s-lgt曲線曲線（c）建立拐點P處降深sp與斜率

35、ip之間的關(guān)系。用（4-40）式除（4-43）式得：（4-44）式右端的值已列成表4-7 表4-7 的數(shù)值表（略）應(yīng)用上述原理，根據(jù)某一觀測孔的觀測資料繪出s-lgt曲線，就可計算有關(guān)參數(shù)。（2）步驟：（a）單孔拐點法，有一個觀測孔時： 在單對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制s-lgt曲線，用外推法確定最大降深Smax(圖4-13)，并用（4-43）式計算拐點處降深Sp02.3rpBpsrKeiB (4-44) ,xxxiie K x e K xExEx e和 根據(jù)Sp確定拐點位置，并從圖上讀出拐點出現(xiàn)的時間tp。 做拐點P處曲線的切線，并從圖上確定拐點P處的斜率ip。 根據(jù)（4-44），求出有關(guān)數(shù)值后，查表4

36、-7確定 和 值 根據(jù) 值求B值：按（4-40）式和（4-38）式分別計算T和 值： 驗證，因為圖解出的Smax和Sp常有較大的隨意性而引起誤差，所以進行驗證是必要的。將所求得的參數(shù)代入（4-33）式，并給出不同的t值，計算理論深降。然后把它同實測降深比較，如果不吻合，則應(yīng)重新圖解計算。rBrBerBrBrB12122.3,4rpBpTtKQTTeiBrmB（b）多孔拐點法，有多個觀測孔時： 當(dāng)抽水時間不長，觀測孔降深未趨于穩(wěn)定，不知道或不可能外推求出Sm時，不能用上面介紹的方法。此時可利用下述方法求參數(shù)。根據(jù)（4-40）式有：兩邊同時取對數(shù)：2.34rBpQieT2 .3lnln4pQriT

37、B2.32.3 lg2.3 lg4pQrBBiT (4-45) 式（4-45）表明，r與 呈線性關(guān)系。如有三個以上的觀測孔資料能繪制出r-lgip曲線時，可以用它來計算參數(shù)。具體步驟如下： 繪每個觀測孔的s-lgt曲線（圖4-140，并從圖上確定每條曲線直線段的斜率近似地代替拐點處的斜率。lgpi 圖4-15 r-曲線圖圖4-15 r- 曲線曲線 lgpi圖圖4-14各觀測孔的各觀測孔的s-lgt曲線曲線 根據(jù)各孔的斜率作r- 曲線（圖4-15），應(yīng)為一條直線。取該直線的斜率，得： 將r-lgip直線段延長交橫軸于一點，讀得r=0時的（ ）。把它代入（4-45）式，得： 將所求得的B、T代入(

38、4-43)式，計算出不同觀測孔的拐點處降深：lgpi2.3 ,lg2.3lgpprrB Bii pi 02.30,lglg4pQriT 12102.34pKQTTmBi04pQrsKTB利用從s-lgt曲線上讀得tp值，然后按（4-38）式算出各孔的值：最后取其平均值。思考題：式（4-33）的假設(shè)條件是什么?有何局限性?2pTtBr4-3有弱透水層彈性釋水補給和越流補有弱透水層彈性釋水補給和越流補給的完整井流給的完整井流 在層狀含水層分布區(qū)一個含水層常被弱透水層覆蓋或下伏有弱透水層，形成雙層或多層結(jié)構(gòu)的含水層組。從含水層中抽水時，會引起弱透水層彈性釋水補給抽水含水層。當(dāng)弱透水層厚度較大時這種補

39、給相當(dāng)大，不能忽略不計。1960年M.s.Hantush研究了這個課題。1 基本方程基本方程 下面討論考慮弱透水層彈性釋水，而相鄰含水層（如果有下面討論考慮弱透水層彈性釋水，而相鄰含水層（如果有的話）水頭保持不變的越流系統(tǒng)的基本方程。其他假設(shè)條件的話）水頭保持不變的越流系統(tǒng)的基本方程。其他假設(shè)條件如下：如下： (1)含水層和弱透水層是均質(zhì)各向同性和等厚的，產(chǎn)狀水平，分布無限.天然水力坡度為零。單井定流量抽水。 (2)含水層抽水時，能得到弱透水層彈性釋水的補給。弱透水層滲透系數(shù)與含水層滲透系數(shù)相比，要小的多(差兩個數(shù)量級以上)。因此可以認(rèn)為，通過弱透水層中的水流是垂向運動，而抽水含水層中則為水平

40、徑向運動，服從Darcy定律。 在上述假設(shè)條件下，含水層中地下水的運動應(yīng)遵循(1-83)式，相應(yīng)地在弱透水層中地下水的運動服從(1-71)式。如果越流強度改用降深表示，則由（1-82）式有：式中， 分別為上、下弱透水層垂直方向的滲透系數(shù)和水頭。如整個方程組也改用降深表示，則有：1122111222,HsHsvKKvKKzzzt 1122,K H K H式中， 分別為抽水含水層、上弱透水層下弱透水層的貯水系數(shù)、導(dǎo)水系數(shù)和水位降深。根據(jù)連續(xù)性原理，在抽水含水層的底板(即 z =m2處)和頂板(即z =m2+M處)(圖1-30)分別有： 常見的考慮含水層彈性釋水補給而相鄰含水層(如果有的話)的水頭保

41、持不變的越流系統(tǒng)，主要有下列三種情況（圖4-16）：2121221sHsssTKKrrrzzt111222, , , , ,T s r tT s r z tT sr z t22,sr mts r t22,sr mM ts r t第一種情況，與上、下弱透水層相鄰的是兩個定水頭的含水層；第二種情況，與上、下弱透水層相鄰的是兩個隔水層；第三種情況，與第一個弱含水層相鄰的是定水頭含水層，與另一個弱含水層相鄰的是隔水層。 對于這三種情況，可以分別寫出它們的微分方程和定解條件。先看第一種情況：圖圖4-16 弱透水層彈性釋水的三種情況（據(jù)弱透水層彈性釋水的三種情況（據(jù)Hantush）上弱透水層：抽水含水層：

42、 211111112112(4 46), ,00(4 47),0(4 48),(4 49)ssTsts r zs r mMm ts r mM ts r t211222221101,(4 50),00(4 51),0(4 52),lim(4 53)2rsssTKs r mM tKs r m trr rzzts rsts r tQrrT下弱透水層： 第二種情況和第一種情況基本相同，只是將（4-48）和（4-56）式分別以下式代替： 2222221112(454), ,00(455),0,0(456),(457)ssTsts r zs rts r m ts r t121,0ssr mMmtz2, 0

43、,0ssrtz第三種情況也和第一種情況基本相同，只是將式（4-56）用下式代替： 上述定解問題，對于足夠短的時間和足夠長的時間有近似解。(1) 抽水初期的解 當(dāng) 和 時，三種情況有相同形式的近似解：2, 0 ,0ssrtz11110mtK11110mtK,4QsHuT式中， 分別為上、下兩個弱水層的越流因素?？紤]弱透水層彈性釋水時，越流系統(tǒng)的井函數(shù) 的值列于表4-8中。 ,yueuHuerfcdyyyyu24ruTt121244rrBB111TmBK222TmBK,H u2006-5-16起講 （2）抽水時間較久時的解：第一種情況：當(dāng) ，同時 時，其解為： 式中， 為不考慮弱透水層彈性釋水的越

44、流系統(tǒng)的井函數(shù)（表4-5）第二種情況：當(dāng) ，同時 時，其解為： 1115mtK2225mtK1,4QsWuaT（4-62） 1,Wua2121334ruTt11110mtK22210mtK24QsWuT式中， 為無越流含水層的井函數(shù)（表4-1）；第三種情況：當(dāng) ，同時 時，其解為：式中， 為不考慮弱透水層彈性釋水的越流系統(tǒng)的井函數(shù)(表4-5)；2Wu21224ruTt1115mtK22210mtK31,4QrsWuTB31,rWuB221334ruTt2 公式討論公式討論1）上面列舉的是在一般情況下的解。如果在上述三種情況的任何一個解中，令就成了無越流補給的承壓含水層的Theis公式。 在第一

45、、第三種情況中，如果取 ，此時(4-62)式和(4-64)式轉(zhuǎn)化為(4-33)式，即不考慮弱透水層彈性釋水的越流系統(tǒng)。 2）在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制 - 標(biāo)準(zhǔn)曲線(圖4-17)。由（4-60）式有： 1212,0001BBerfc 時，2120,0K,H u1u,4sHuQT t 可知，曲線反映出s與t的關(guān)系，也反映出s與的關(guān)系?？偟恼f來，s隨著的增大而減小。當(dāng)=0時，曲線和Theis曲線一致。這意味著：隨著 和 的增大，s會減小。因此，弱透水層的貯水系數(shù)增大，可以釋放出更多的水，抽水含水層的降深就會相應(yīng)地減??；隨著r的增大，s會減??；隨著越流因素B的減小，s也會減小。3 利用抽水試驗資料確定水文

46、地質(zhì)參數(shù)利用抽水試驗資料確定水文地質(zhì)參數(shù) 根據(jù)抽水初期或短時間抽水的資料，利用配線法求參數(shù)的原理同前。利用觀測孔的全部觀測資料，在雙對數(shù)透明紙上繪出s-t曲線，把抽水初期的曲線（或短時間抽水的曲線）同標(biāo)準(zhǔn)曲線 - （圖4-17）重合，記下匹配點的坐標(biāo)， ， ， 代入公式（4-60），求出含水層的參數(shù)T和 。12,H u1u,H u1u, , s t圖4-17考慮弱透水層彈性釋水，越流系統(tǒng)短期抽水時的標(biāo)準(zhǔn)曲線 （據(jù)Walton） ,4QTH us 241Ttru 對于長時間抽水，第一種情況(4-62)式和第三種情況利用配線法確定參數(shù)的原理和方法同有越流補給的相同，標(biāo)準(zhǔn)曲線都是用(圖4-11)所示

47、的曲線。 根據(jù)長期解的第二種情況（4-63）式，利用配線法確定參數(shù)和利用Theis公式的配線法相同。4-4潛水完整井流潛水完整井流 潛水井流與承壓水井流不同，它的上界面是一個隨時間而變化的浸潤曲面(自由面)。 其運動與承壓含水層中的情況不同, 體現(xiàn)在下列幾點： (1)潛水井流的導(dǎo)水系數(shù)T= Kh隨距離r和時間t而變化，承壓水井流T=KM，和r，t無關(guān)； (2)當(dāng)潛水井流降深較大時，垂向分速度不可忽略，在井附近為三維流。水平含水層中的承壓水井流垂向分速度可忽略，一般為二維流或可近似地當(dāng)二維流來處理； (3)從潛水井抽出的水主要來自含水層的重力疏干。重力疏干不能瞬時完成，而是逐漸被排放出來，因而出

48、現(xiàn)明顯地遲 后于水位下降的現(xiàn)象。潛水面雖然下降了，但潛水面以上的非飽和帶內(nèi)的水繼續(xù)向下不斷地補給潛水。因此，測出的給水度在抽水期間是以一個遞減的速率逐漸增大的。只有抽水時間足夠長時，給水度才實際上趨于一個常數(shù)值。承壓水井流則不同，抽出的水來自含水層貯存量的釋放，接近于瞬時完成，貯水系數(shù)是常數(shù)。 到目前為止，還沒有同時考慮上述三種情況的潛水井流公式。 一般對潛水井流的處理方法:(1)在一定條件下，也可將承壓水完整井流公式應(yīng)用于潛水完整井流的近似計算。如果滿足4-1前面的四個假設(shè)條件，條件(5)雖然不同，但當(dāng)抽水相當(dāng)長時間以后，遲后排水現(xiàn)象已不明顯，可近似地認(rèn)為已滿足條件(5)。因此，潛水完整井在

49、降深不大的情況下，即s0.1Ho，H。為抽水前潛水流的厚度，可用承壓水井流公式作近似計算。此時，潛水流厚度可近似地用 ，來代替。于是承壓水井公式中的2Ms用 代替，則有：(2)可采用修正降深值，直接利用Theis公式：式中， 為修正降深；S為實際觀測降深；H。為潛水流初始厚度。01()2mHHH220HH2220( ),()24mQrHHW uuTKHKT t2200( ),()244sQrssW uuTKHHTTt s 有關(guān)計算潛水完整井流的方法主要有：考慮井附近流速垂直分量的Boulton第一潛水井流模型； 考慮遲后排水的Boulton第二潛水井流模型；既考慮流速的垂直分量又考慮潛水含水層

50、彈性釋水的Neuman模型。這里簡單地介紹后兩種模型。1 考慮遲后疏干的Boulton模型 1) 假設(shè)條件及井流狀態(tài)分析 Boulton模型建立的水文地質(zhì)概念模型：（1）均質(zhì)各向同性、隔水底板水平的無限延伸的含水層；（2）初始自由水面水平；（3）完整井，井徑無限小，降深s ）排出的重力水量假設(shè)為：式中，為給水度，為一經(jīng)驗系數(shù)。()1tse（a）遲后疏干排水量 與t-的關(guān)系如圖4-18所示，符合一般經(jīng)驗。（b）在時刻以后，單位水平面積含水層內(nèi)降深為一個單位時，遲后重力排水的總體積為： 它等于含水層的給水度。因此，在水量均衡上沒有矛盾，符合實際，假設(shè)是合理的。（c）在和t區(qū)間遲后排水總量為： ()

51、1tse ()tedt()()1tttsedtse 由上式可了解的意義。若大，則到t時間內(nèi)排出的水量大，即遲后性??；或者說，1/小，遲后性小。因此，稱1/為延遲指數(shù)。2）數(shù)學(xué)模型及其解 如果只考慮貯存水的釋放，不考慮遲后重力排水，并假設(shè)降深很?。╯ H。）值保持不變，則潛水非穩(wěn)定徑向運動的偏微分方程可寫為： 如果考慮遲后重力排水，則方程式的右邊還要加上一項，即在t時刻單位水平面積含水層中單位時間內(nèi)遲后重力排水的體積。221()sssTrrrt這個值可以這樣來求得：將0到t這一時間段分成n個時間小段 每一小段 對應(yīng)的降深為 。 由上述假設(shè)知，在t時刻由 引起的排水量為 顯然，由于遲后排水，t時刻

52、以前的每一個 都會排水到達t時刻的潛水面。在t時刻單位水平面積的潛水面上，單位時間接受的遲后排水總量為：當(dāng)n， 0時， ，則有：1( 1 ,2,1 , ,iiiinn 而00 ）i(1,2,1, )is innis()itiseis()1intiise()1intiiiiseiiiss()0ttsed因此，考慮遲后重力排水時，流向潛水完整井非穩(wěn)定運動的偏微分方程為：相應(yīng)的定解條件為： Boulton求得上述定解問題的解為：2()021()ttssssTedrr rtsf (r，0)=0sf (，t)=0 t 00lim()2rsQrrT t 012022022(1)1()42uQx trsec

53、hushuJx dxtxuD式中：s定流量抽水、距抽水井為r處t時刻的降深；D= 疏干因素（量綱為L）； 貯水系數(shù)； 給水度； 延遲指數(shù)； x積分變量； Jo（x）第一類零階Bessel函數(shù)。21(1)2txu 22222(1)42atxxu1;T 1當(dāng)時，即給水度比貯水系數(shù)大得多時，（4-71）式可簡化為：式中， F= 。（4-72）式的積分部分可W（ ， ）來表示，稱為無壓含水層中完整井的井函數(shù)（表4-9）。其中的 ，在抽水早期取 值，抽水后期取 。它所描述的曲線形狀，也就是理論上降深一時間曲線的形狀。據(jù)此，可將上述解分為三部分：抽水早期 ：22100212()141txxQrdxsJxe

54、FtDxx22(1)21t xxex,a yurD, a yuauyu(,)4aQrsWuTD抽水中期 ：抽水晚期 ：式中 無壓含水層中完整井流A組井函數(shù)； 無壓含水層中完整井流B組井函數(shù)； 虛宗量第二類Bessel函數(shù)。3）討論在t相當(dāng)小時（相當(dāng)于抽水的初期），(4-72)式中的 0()2QrsKTD(,)4yQrsWuTD(,)arW uD(,)yrW uD24aruTt24yruT t0()rKD221211txxex211x (4-72)式可寫成： 此式經(jīng)適當(dāng)變換，可證明它與（4-33）式一樣，只是(4-33)式中的u和 在此變?yōu)?和 而已。說明在抽水初期，潛水位下降過程和越流承壓含水

55、層的水位下降過程是相同的。當(dāng)t很大時（相當(dāng)于抽水延續(xù)時間很長的情況），可以證明定解問題的解和Theis公式(4-11)相當(dāng)，此時的u值即 說明在長時間抽水后，潛水含水層中完整井的降深計算是可以采用Theis公式的。22(1)0022()141t xQrxdxsJxetDxxrBaurD2()4ruT t井函數(shù) 不能用初等函數(shù)表示，但可求出它的數(shù)值解（表4-9）。根據(jù)這些數(shù)值在雙對數(shù)紙上畫出標(biāo)準(zhǔn)曲線族，如圖4-19所示。它包括兩組曲線：左邊是A組 曲線，適用于抽水早期；右邊是B組 曲線，適用于抽水后期。兩組曲線間用它們的共同切線連接。由于（4-72）式是在時，由(4-71)式簡化得來的，這時曲線

56、的中間部分為一水平線，可以用(4-74)式來表達。當(dāng)100時，曲線的中間部分仍趨近于一水平線，因而(4-74)式仍然適用。如果100時，則曲線的中間部分就不是水平線，而是一條比早期和后期曲線的斜率小得多的曲線。,(,)ayrWuD1(,)aarW uDu1(,)yyrWuDu 曲線組反映了遲后排水的影響。在抽水初期，因以彈性釋水為主，水位降深同左邊的Theis曲線吻合。當(dāng)遲后重力排水發(fā)生影響后便偏離Theis曲線，下降速度變小，并隨 r/D 的不同方式以水平線趨近。在抽水后期，遲后重力排水減弱，下降速度由小變大，曲線斜率增加。當(dāng)遲后重力排水影響基本結(jié)束時，又趨向右邊的Theis曲線，和前面分析

57、的三個階段是一致的。rD4) 利用抽水試驗資料確定水文地質(zhì)參數(shù)(2006-5-23)（1）配線法： 根據(jù)表4-9在雙對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制標(biāo)準(zhǔn)曲線（圖4-19）。當(dāng)5100時，嚴(yán)格講，應(yīng)按（4-11）式另作標(biāo)準(zhǔn)曲線。但T.A.Prickett經(jīng)對比表明，按（4-71）式制作的為有限值的標(biāo)準(zhǔn)曲線和根據(jù)聯(lián)結(jié)A組、B組曲線的切線來表示中間過渡帶的方法繪制的標(biāo)準(zhǔn)曲線差別不太大。因此，可以用后者作為前者的近似。根據(jù)試驗資料，在模數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)曲線相同的透明雙對數(shù)紙上，繪制s-t曲線。把s-t曲線疊置在標(biāo)準(zhǔn)曲線上，保持對應(yīng)坐標(biāo)軸平行，使s-t曲線盡可能多地與某一條A組曲線重合。 任選一匹配點，取坐標(biāo)：s，t，W（ ）

58、， 和重合曲線的 值，代入有關(guān)公式計算參數(shù)：,aruD1aurD使s-t曲線的剩余部分盡可能多地與B組曲線重合， 值不變。任選匹配點，取坐標(biāo)值： s，t，W（ ）， , 代入有關(guān)公式計算參數(shù)： 把的表達式代入D的表達式，即可得上式。上述計算是在假設(shè)降深S與含水層厚度Ho之比比較小的情況下，以T值不變?yōu)榍疤岬?。但實際上，T在改變，隨著含水層被疏干，厚度減小，相應(yīng)的T值也減小。為減小這方面的誤差，需對觀測降深用(4-66)式進行校正。24 (,),14 aaQrT tTW usDrurD,yruD1yu24 (,),14 yyQrT tTW usDru由標(biāo)準(zhǔn)曲線圖可以看出，隨著 的增加，B組曲線逐

59、漸向Theis曲線靠近，最終兩者非常靠近而重合，這個使B組曲線變?yōu)門heis曲線的時間 ，是遲后重力排水對降深影響基本結(jié)束的時間；將配合點的值 代入（4-79）式可得：上式反映 與 有對應(yīng)關(guān)系，故可作出 曲線（圖4-20）。然后，根據(jù)前面求得的 ，由圖4-20得 ，再把 值代入，就可求 出來。yu1twt,yu12,11()4w tyrtDuDrtwt,Drttw,Drtwt,1twt,（2）直線圖解法： 抽水持續(xù)足夠長時間后，遲后重力排水影響消除，s-lgt關(guān)系與無越流補給的承壓完整井一樣呈線性關(guān)系，故可利用直線圖解法計算參數(shù)。 繪制s-lgt曲線，如圖4-21所示。由（4-13）式得：可得

60、：式中，i和t0分別為從圖4-21上讀得的直線斜率和在橫軸（s=0）上的截距。lglg44QTQstTrT022.252.3,4TtQTir Boulton法考慮了潛水含水層的彈性釋水性質(zhì)，并引進了遲后重力排水的假設(shè)，有一經(jīng)驗系數(shù)，雖有一定道理，但其物理意義并不十分明確。因此，考慮遲后疏干的Boulton法仍是一種不完善的方法。2考慮流速垂直分量和彈性釋水的考慮流速垂直分量和彈性釋水的Neuman模型模型 在Boulton模型中，延遲指數(shù) 缺乏明確的物理意義，也不能保證是常數(shù)，用它解釋無壓含水層從貯存中釋放水的機制就會有困難。 1下面將要介紹的Neuman模型，不僅考慮了