魯教版七年級上冊數(shù)學(xué)第三章勾股定理

1、 自信是成功的起點，堅持是成功的終點！七年級數(shù)學(xué)個性化培優(yōu)講義 第 五 講：勾股定理 任課教師：張修偉 數(shù)學(xué)學(xué)科輔導(dǎo)講義授課對象授課時間 教學(xué)目標(biāo)掌握勾股定理的公式及應(yīng)用教學(xué)重點和難點勾股定理的應(yīng)用考點分析勾股定理的應(yīng)用教學(xué)流程及授課詳案第五講 勾股定理知識點歸納1、勾股定理定義：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2b2c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有下面關(guān)系：a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形。2. 勾股數(shù)：滿足a2b2c2的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)（注意：若a，b，c、為勾股數(shù)，那么ka，kb，kc

2、同樣也是勾股數(shù)組。） 常見勾股數(shù)：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判斷直角三角形：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2 ，那么這個三角形是直角三角形。（經(jīng)典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一個角為90的三角形是直角三角形。 （2）有兩個角互余的三角形是直角三角形。 用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（1）確定最大邊（不妨設(shè)為c）；（2）若c2a2b2，則ABC是以C為直角的三角形； 若a2b2c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）； 若a2b2c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）4. 注意：（1）直角

3、三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（2）在直角三角形中，若一個銳角等于30，則它所對的直角邊等于斜邊的一半。（3）在直角三角形中，若一條直角邊等于斜邊的一半，則該直角邊所對的角等于30。5. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。 （2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。 （3）用于證明線段平方關(guān)系的問題。 （4）利用勾股定理，作出長為的線 Round 1 小試牛刀（一）結(jié)合三角形：1.已知ABC的三邊、滿足，則ABC為 三角形2.在ABC中，若=（+）（-），則ABC是 三角形，且 3.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長為 4.已知則以、為邊的三角

4、形是 5.在ABC中，AB邊上的中線CD=3，AB=6，BC+AC=8，則ABC的面積為_6.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為10cm，正方形A的邊長為6cm，正方形B的邊長為5cm，正方形C的邊長為5cm，則正方形D的面積是_cm2.7.如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為_.8.如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，已知點P是三角形內(nèi)任意一點，則點P到三角形的三邊距離之和PD+PE+PF等于 9.如圖RtABC中，AB=BC=4，D為BC的中點，在AC邊上存在一點E，連接ED，EB，則BDE周長

5、的最小值為（）A、2 B、2 C、2+2 D、2+2 10.直角三角形的三邊為a-b，a，a+b且a、b都為正整數(shù)，則三角形其中一邊長可能為（）A、61 B、71 C、81 D、9111. 已知 與互為相反數(shù)，試判斷以、為三邊的三角形的形狀。12.已知：在ABC中，三條邊長分別為、，=，=2，=（1） 試說明：C=。 Round 2 考試必備（二）、實際應(yīng)用：1. 梯子滑動問題：（1）一架長2.5的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4，那么梯子底端將向左滑動 米（2）如圖，一個長為10米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如

6、果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端的滑動距離 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）（3）小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子吹到地面上還多1 m，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好觸到地面，試問旗桿的高度為 米 2. 直角邊與斜邊和斜邊上的高的關(guān)系：（1）直角三角形兩直角邊長為a，b，斜邊上的高為h，則下列式子總能成立的是（ ）A. B. C. D. 變：（2）如圖，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求證：（1）（2）（3）以為三邊的三角形是直角三角形3. 爬行距離最短問題：1.如圖，一個無蓋的正方體盒子的棱長為10

7、cm，得到處有一只昆蟲甲，在盒子的內(nèi)部有一只昆蟲乙（盒壁的 忽略不計）（1）假設(shè)昆蟲甲在頂點處靜止不動，如圖a，在盒子的內(nèi)部我們先取棱的中點E，再連結(jié)AE、，昆蟲乙如果沿途徑爬行，那么可以在最短的時間內(nèi)捕捉到昆蟲甲，仔細(xì)體會其中的道理，并在圖b中畫一條路徑，使昆蟲乙從頂點A沿這條路爬行，同樣可以在最短的時間內(nèi)捕捉到昆蟲甲。（2）如圖b，假設(shè)昆蟲甲從點以1 厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿向下爬行，同時昆蟲乙從頂點A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲乙至少需要多少時間才能捕捉到昆蟲甲？試一試：對于（2），當(dāng)昆蟲甲從頂點沿棱向頂點C爬行的同時，昆蟲乙可以沿不同的路徑爬行，利用勾股定理建立時間方程

8、，通過比較得出昆蟲乙捕捉到昆蟲甲的最短時間2.如圖，一塊磚寬AN=5，長ND=10，CD上的點F距地面的高FD=8，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，要爬行的最短路線是 cm3.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20、3、2，A和B是這個臺階兩相對的端點，A點有一只昆蟲想到B點去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到B點的最短路程是 分米？4. 如圖，一只螞蟻沿邊長為a的正方體表面從點A爬到點B，則它走過的路程最短為（ ）A. B. C. D.4.折疊問題：1.有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，將ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則CD等于（ ）A. B. C.

9、 D. 2. 小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹，這棵紅葉樹離地面的高度是 米。3. 如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4米，則這兩株樹之間的垂直距離是_米，水平距離是 米。4.如圖，欲測量松花江的寬度，沿江岸取B、C兩點，在江對岸取一點A，使AC垂直江岸，測得BC50米，B60，則江面的寬度為 。 5、求邊長問題1.在R中，、分別是A、B、C的對邊，C=已知：=6，=10，求； 已知：=40，=9，求2.如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點，PA=1，PB=5，PC=7，則PD=_.3等邊三角形ABC內(nèi)一點P，AP3，BP4，CP5，求APB的度數(shù)6.已知

10、：在RtABC中，BCAC，P為ABC內(nèi)一點，且PA3，PB1，PC2。求BPC的度數(shù)。6、方向問題：1. 有一次，小明坐著輪船由A點出發(fā)沿正東方向AN航行，在A點望湖中小島M，測得MAN30，當(dāng)他到B點時，測得MBN45，AB100米，你能算出AM的長嗎？2.一輪船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接著，它又掉頭向正東方向航行15千米(1)此時輪船離開出發(fā)點多少km? (2)若輪船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此過程中輪船共耗油多少升?3.如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且QPN30，點A處有一所中學(xué)，AP160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么

11、拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？ ABCD4.如圖，某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=60km，那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險？7、旋轉(zhuǎn)問題：1.如圖，點P是正ABC內(nèi)的點，且PA=6，PB=8，PC=10，若將PAC繞點A旋轉(zhuǎn)后，得到，則點P

12、與點P之間的距離為 ，APB= 2.如圖，ABC為等腰直角三角形，BAC=，將ABH繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到AC處，若AH=3，試求出H、兩點之間的距離。3.如圖所示，P為正方形ABCD內(nèi)一點，將ABP繞B順時針旋轉(zhuǎn)到CBE的位置，若BP=，求：以PE為邊長的正方形的面積 4.已知直角三角形ABC中，ACB=，CA=CB，圓心角為，半徑長為CA的扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)，且直線CE、CF分別與直線AB交于點M、N，當(dāng)扇形CEF繞點C在ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，試說明MN的理由。5.如圖所示，已知在ABC中，AB=AC，BAC=，D是BC上任一點，求證：BD。 6.在等腰直角三角形中，AB=AC，點D是斜邊BC

13、的中點，點E、F分別為AB、AC邊上的點，且DEDF。（1）說明：（2）若BE=12,CF=5，試求的面積。7.如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作，且BQ=BP，連結(jié)CQ、PQ，若PA:PB:PC=3:4:5,試判斷的形狀。8.如圖，和都是等邊三角形，試說明：9如圖1，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為10cm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的直角頂點P落在AD邊上(不與A、D重合)，在AD上適當(dāng)移動三角板頂點P：能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C？若能，請你求出這時 AP 的長；若不能，請說明理由圖1再次移動三角板位置，使三角板頂點P在A

14、D上移動，直角邊PH 始終通過點B，另一直角邊PF與DC的延長線交于點Q，與BC交于點E，能否使CE2cm？若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由8、折疊問題：1.如圖，矩形紙片ABCD的長AD=9，寬AB=3，將其折疊，使點D與點B重合，那么折疊后DE的長是多少？2.如圖，在長方形ABCD中，將ABC沿AC對折至AEC位置，CE與AD交于點F。（1）試說明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的長3.如圖，在長方形ABCD中，DC=5，在DC邊上存在一點E，沿直線AE把ABC折疊，使點D恰好在BC邊上，設(shè)此點為F，若ABF的面積為30，求折疊的AED的面積4.如圖所示，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AC=6，BC=8，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？ 5.如圖，B=90，AB=BC=4，AD=2，CD=6(1)ACD是什么三角形？為什么？(2)把ACD沿直線AC向下翻折，CD交AB于點E，若重疊部分面積為4，求DE的長。6.如圖，EF為正方形ABCD的對角線，將A沿DK折疊，使它的頂點A落在EF上的G點，則DKG=_ 7.如圖，直角梯形ABCD中，ABDC，動點M以每秒1個單位長的速度，從點A沿線段