等腰三角形證明以及輔助線做法

1、巧用“兩線合一”構(gòu)建且證明等腰三角形問題學(xué)習(xí)了等腰三角形的三線合一后，筆者認為，可以根據(jù)學(xué)生的實際情況，補充“三線合一”的逆命題的教學(xué)，因為這種逆命題雖然不能作為定理用，但它在解題中非常常見的。掌握了它，可以為我們解題增加一種重要思路。它有以下幾種形式：    一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形（線段垂直平分線的性質(zhì)）    一邊上的高與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形    一邊上的中線與這邊所對角的平分線重合的三角形是等腰三角形. 

2、60;  因此，三角形“一邊上的高、這邊上的中線及這邊所對角的平分線”三線中“兩線合一”就能證明它是等腰三角形為了便于記憶，筆者簡言之：兩線合一，必等腰。本文重點利用該逆命題作為一種思路正確地添加輔助線，構(gòu)建等腰三角形且證明之來解決問題。     一、我們先來證明“三線合一”性質(zhì)的逆命題三種情形的正確性： 證明：已知:如圖1，ABC中，AD是BC邊上的中線，又是BC邊上的高。求證：ABC是等腰三角形。分析：AD就是BC邊上的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以推出AB=AC，所以ABC是等腰三角形。具體證明過

3、程略。證明：已知:如圖1，ABC中，AD是BAC的角平分線，AD是BC邊上的高。求證：ABC是等腰三角形。分析：利用ASA的方法來證明ABDACD，由此推出AB=AC得出ABC是等腰三角形。具體證明過程略。證明：已知:如圖2， ABC中，AD是BAC的角平分線， AD是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。方法一：分析：要證ABC是等腰三角形就是要證AB=AC，直接通過證明這兩條線段所在的三角形全等不行，那就換種思路，經(jīng)驗告訴我們，在有中點的幾何證明題中常用的添輔助線的方法是“倍長中線法”（即通過延長三角形的中線使之加倍，以便構(gòu)造出全等三角形來解決問題的方法），即延長AD到E點，

4、使DE=AD，由此問題就解決了。證明：如圖2，延長AD到E點，使DE=AD，連接BE     在ADC和EDB中         AD = DE          ADC=EDB         CD=BD      ADCEDB 

5、0;    AC=BE, CAD=BED      AD是BAC的角平分線      BAD=CAD      BED=BAD      AB=BE    又AC=BE      AB=AC      ABC是等腰三角形。方法二：

6、分析：上面的“倍長中線法”稍微有點麻煩，經(jīng)驗告訴我們，遇到角的平分線，我們可以利用角的平分線的性質(zhì)：過角的平分線上一點向角的兩邊作垂線，從而構(gòu)造出了高，再利用面積公式開辟出新思維。具體做法是：如圖2，過點D作DFAB， DEAC垂足分別為F、E。又因AD是BAC的角平分線，所以DF= DE。因為BD=DC，利用“等底同高的三角形面積相等”的原理，所以=，再根據(jù)“等積三角形高相等則底也相等”，因為=，又因DF= DE，所以AB=AC，可見“面積法”給解題帶來了簡便，這種方法也正是被人們易忽視的。當然，學(xué)生在作出角的平分線上一點到角的兩邊的距離時，很容易形成思維定勢，證明兩組直角三角形分

7、別全等，從而證明B=C，所以AB=AC，此法明顯較麻煩些，但是思路要給予肯定。需要提醒讀者的是：以上我們證明了“三線合一”的逆定理的正確性，但是這種逆命題不能作為定理來用，掌握了它和它的證明過程，其目的是為我們解題增加一種重要思路和方法。 二、 利用“三線合一”性質(zhì)的逆命題添加輔助線，構(gòu)建且證明等腰三角形來解決問題 1、逆命題的應(yīng)用（即線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用）例1  人教版八（上）第十二章章節(jié)復(fù)習(xí)題中的第5題：如圖4，D、E分別是AB、AC的中點，CDAB于D，BEAC于E，求證：AC=AB。經(jīng)筆者驗證，學(xué)生一拿到題目就找全等三角形或構(gòu)建全等三角形，

8、所以連接AO（圖略），證明AOCAOB或者三組直角三角形分別全等，其中還要用到線段的垂直平分線的性質(zhì)，證明OA=OB=OC，方法相當?shù)芈闊?。分析：題目沒有直接給出“CD、BE分別是AB、AC的垂直平分線”這樣的語句，所以學(xué)生最初拿到這個題目，很難把分立的垂直和平分兩個條件聯(lián)系在一起。如果學(xué)生有“兩線合一，必等腰”的思維，很容易想到CD、BE分別可以是以AB、AC為底邊的等腰三角形底邊上的高和中線，即“兩線合一”，因此添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形。簡單證明：連結(jié)BC， CDAB，AD=BD        &#

9、160;  AC=BC  （注：利用線段垂直平分線的性質(zhì)）        同理可得：AB=BC           AC=AB由于逆命題的應(yīng)用與線段垂直平分線的性質(zhì)相一致，所以筆者在此就不過多的舉例。2、逆命題的應(yīng)用例2  已知：如圖5，在ABC中，AD平分BAC，CDAD,D為垂足，AB>AC。求證：2=1+B分析：由“AD平分BAC，CDAD”可以

10、想到AD可以是同一個等腰三角形底邊上的高和底邊所對角的平分線，即“兩線合一”，因此添加輔助線，構(gòu)造等腰三角形。簡單證明：延長CD交AB于點E，由題目提供的條件，可證AEDACD，2=AEC，又AEC=1+B，所以結(jié)論得證。例3  在學(xué)習(xí)等腰三角形知識時，會遇到這個典型題目：如圖6，在ABC中， BAC=900，AB=AC，BE平分ABC，且CDBE交BE的延長線于點D，求證：CD=BE分析：由已知條件可知：BD滿足了逆命題的“兩線合一”，所以延長CD和BA，交于點F，補全等腰三角形。簡單證明：由所添輔助線可證BFDBCD，可知BCF是等腰三角形 CD=DF=CF再證ABEA

11、CF BE=CF CD=BE可見，學(xué)會“兩線合一，必等腰”的思維，對滿足“三線合一”性質(zhì)的逆命題的條件，添加適當?shù)妮o助線來構(gòu)造等腰三角形，為我們解決相關(guān)問題開辟了新思維。    筆者認為，三個逆命題中以逆命題在幾何證明的應(yīng)用中尤為突出。例4  逆命題還可以與中位線綜合應(yīng)用：已知： 如圖7，在ABC中，AD平分BAC，交BC于點D，過點C作AD的垂線，交AD的延長線于點E，F(xiàn)為BC的中點，連結(jié)EF。求證： EFAB，EF=(AC-AB)分析： 由已知可知，線段AE既是BAC的角平分線，又是EC邊上的高，即“兩線合一”，就想到把

12、AE所在的等腰三角形構(gòu)造出來，因而就可添輔助線：分別延長CE、AB交于點G。    簡單證明：由所添輔助線可證AGEACE，得出AGC是等腰三角形，AG=ACEG=CE  又點F是BC的中點EF是BGC的中位線EFAB，EF=BG=(AG-AB)=(AC-AB)3、逆命題應(yīng)用：例5  已知：如圖8，ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DEAC 、DFAB分別與AB、AC相交于點E，F(xiàn)。求證：DE=DF    分析：根據(jù)已知條件，利用相似性知識，可證：點E，F(xiàn)

13、分別是AB、AC的中點（初中階段不能用三角形的中位線的逆定理），又因點D是BC的中點，再利用三角形中位線的性質(zhì)可知，DE=AC，DF=AB，可見只要證明AC=AB，題目所求證的結(jié)論就可得證。因為AD既是BAC的角平分線，又是BC邊上的中線，即“兩線合一”， 所以ABC是等腰三角形可證，方法見逆命題的證明。證明：過程略。還有的題目沒有直接給出“兩線合一”的條件，而是需要證明其中一個條件或者通過作輔助線構(gòu)建另一個條件，使題目符合“兩線合一”思路。例6         如圖9，梯形ABCD中，ABCD

14、，E是BC的中點，DE平分ADC，求證：AD=CD+AB例7         分析：拿到這個題目，學(xué)生的思維很活躍，有的用“截長補短法”；有的用“角的平分線性質(zhì)”；有的用“梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題” 的方法；筆者發(fā)現(xiàn)有幾個學(xué)生延長DC、AE相交于點F，易證ABEFCE，所以 AB=CF，AE=EF，可見只要證明AD=FD，題目所求證的結(jié)論就可得證?？墒菍W(xué)生想到這一步，思維受阻：DE此時既是ADC的角平分線，又是AF邊上的中線，DAF肯定是等腰三角形，就是不知道怎么證明。可見，學(xué)生如果有“兩線合一，必等腰”

15、的思維和掌握了它的證明方法，那么此法是可行。只是此法用于這個題目較為麻煩、不可取，但是對于學(xué)生的思維火花還是要給予肯定的。由于筆者在研究過程中，發(fā)現(xiàn)逆命題的應(yīng)用不是很多，所以在此就不過多的舉例。 三、請讀者小試牛刀 學(xué)習(xí)了以上“兩線合一，必等腰”的新思路，筆者最后再一次警告讀者：由于“三線合一”性質(zhì)的逆命題與線段垂直平分線的性質(zhì)相吻合，所以可直接應(yīng)用；但是運用逆命題或添加輔助線構(gòu)造的等腰三角形必須先要證明，不能作為定理用，切記切記！謹防與“三線合一”性質(zhì)搞混淆。請讀者試解下面問題（前2題提示，后3題不予提示）1、已知，如圖10，ABC中，BAC 90°，

16、 ADBC于D，ABC的平分線交AD于E，交AC于P，CAD的平分線交BP于Q。求證：QAD是等腰三角形。（提示：可證AQB=90°，延長AQ。此題把逆命題與直角三角形的性質(zhì)綜合應(yīng)用）解法：ADBC于D,ADF=ADB=90°, ABC+BAD=90°, CAD+BAD=90°, ABC=BAD ABC/2=BAD/2, DBE=QAE, BED=AEQ,對頂角， 故BDE=AQE=90°, ABQ=FBQ, BQ=BQ, BQA=BQF=90°, RTBQARTBQF,ASA AQ=FQ, Q為RTADF斜邊AF的中點，AQ=DQ,QAD是等腰三角形.2、如圖（圖略，讀者自己畫），在ABC中（ABAC），M為BC的中點，AD平分BAC交BC于點D，BEAD于E，CFAD于F求證：ME=MF（提示：延長BE、CF）  3、如圖（圖略），BE、CF是ABC的角平分線，AMCF于M，ANBE于N 求證：MNBC（畫圖時，注意ABAC）解法BE為ABC的角平分線，BEAG，BAM=BGM，ABG為等腰三角形，BM也為等腰三角形的中線，即AM=GM 同理AN=DN，MN為ADG的中位線，MNB