相似三角形添加輔助線的方法舉例(有答案)

1、相似三角形添加輔助線的方法舉例例1： 已知：如圖，ABC中，ABAC，BDAC于D求證： BC22CD·AC例2已知梯形中，是腰上的一點(diǎn)，連結(jié)（1）如果，求的度數(shù)；（2）設(shè)和四邊形的面積分別為和，且，試求的值例3如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，連E、F交AC于G求AG：AC的值 例4、如圖45，B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則AF：AE=_.例5、如圖4-7，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，E為AB延長線上一點(diǎn)，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長例6、已知在ABC中，AD是BAC的平分線求證： 相似

2、三角形添加輔助線的方法舉例答案例1： 已知：如圖，ABC中，ABAC，BDAC于D求證： BC22CD·AC分析：欲證 BC22CD·AC，只需證但因?yàn)榻Y(jié)論中有“2”，無法直接找到它們所在的相似三角形，因此需要結(jié)合圖形特點(diǎn)及結(jié)論形式，通過添加輔助線，對(duì)其中某一線段進(jìn)行倍、分變形，構(gòu)造出單一線段后，再證明三角形相似由“2”所放的位置不同，證法也不同 證法一（構(gòu)造2CD）：如圖，在AC截取DEDC，BDAC于D，BD是線段CE的垂直平分線，BC=BE，C=BEC，又 ABAC，C=ABC BCEACB， BC22CD·AC證法二（構(gòu)造2AC）：如圖，在CA的延長線上截

3、取AEAC，連結(jié)BE， ABAC， ABAC=AEEBC=90°，又BDACEBC=BDC=EDB=90°，E=DBC，EBCBDC即BC22CD·AC證法三（構(gòu)造） ：如圖，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，則EC=又AB=AC，AEBC，ACE=CAEC=BDC=90°ACEBCD即BC22CD·AC證法四（構(gòu)造）：如圖，取BC中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則CE= BDAC，BE=EC=EB，EDC=C又AB=AC，ABC=C，ABCEDCJ即BC22CD·AC 說明：此題充分展示了添加輔助線，構(gòu)造相似形的方法和技巧在解題中方法要靈活，思路要開闊例

4、2已知梯形中，是腰上的一點(diǎn)，連結(jié)（1）如果，求的度數(shù)；（2）設(shè)和四邊形的面積分別為和，且，試求的值（1）設(shè)，則解法1如圖，延長、交于點(diǎn)， ，為的中點(diǎn)又 ，又 為等邊三角形 故解法2如圖作分別交、于點(diǎn)、則，得平行四邊形同解法1可證得為等邊三角形故解法3如圖作交于，交的延長線于作，分別交、于點(diǎn)、則，得矩形 ，又 ，故為、的中點(diǎn)以下同解法1可得是等邊三角形故解法4如圖，作，交于，作，交于，得平行四邊形，且讀者可自行證得是等邊三角形，故解法5如圖延長、交于點(diǎn)，作，分別交、于點(diǎn)、，得平行四邊形可證得為的中點(diǎn)，則，故得為等邊三角形，故解法6如圖（補(bǔ)形法），讀者可自行證明是等邊三角形，得（注：此外可用三角形

5、相似、等腰三角形三線合和一、等積法等）（2）設(shè)，則解法1（補(bǔ)形法）如圖補(bǔ)成平行四邊形，連結(jié)，則設(shè)，則，由得， ， 解法2（補(bǔ)形法）如圖，延長、交于點(diǎn)，又設(shè)，則，解法3（補(bǔ)形法）如圖連結(jié)，作交延長線于點(diǎn)連結(jié)則，故（1），故（2）由（1）、（2）兩式得即解法4（割補(bǔ)法）如圖連結(jié)與的中點(diǎn)并延長交延長線于點(diǎn)，如圖，過、分別作高、，則且，又，故說明 本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形. 例3如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，連E、F交AC于G求AG：AC的值 解法1： 延長FE交CB的延長線于H， 四邊形ABCD是平行四

6、邊形， ， H=AFE，DAB=HBE又AE=EB， AEFBEH，即AF=BH， ， ，即 ADCH，AGF=CGH，AFG=BHE， AFGCGH AG：GC=AF：CH， AG：GC=1：4， AG：AC=1：5解法2： 如圖42，延長EF與CD的延長線交于M，由平行四邊形ABCD可知，即ABMC， AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC ， AF：FD=1：2， AE：MD=1：2 AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4， AG：AC=1：5例4、如圖45，B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則AF：AE=_.解析：取CF的中點(diǎn)G，連接BG B為AC的中點(diǎn)， BG：AF=1：2，

7、且BGAF，又E為BD的中點(diǎn)， F為DG的中點(diǎn) EF：BG=1：2故EF：AF=1：4， AF：AE=4：3例5、如圖4-7，已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于O點(diǎn)，E為AB延長線上一點(diǎn)，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長解法1： 過O點(diǎn)作OMCB交AB于M， O是AC中點(diǎn)，OMCB， M是AB的中點(diǎn)，即， OM是ABC的中位線，且OMBC，EFB=EOM，EBF=EMO BEFMOE，即，.解法2： 如圖4-8，延長EO與AD交于點(diǎn)G，則可得AOGCOF，  AG=FC=b-BF， BFAG，即， .解法3： 延長EO與CD的延長線相交于N，則B

8、EF與CNF的對(duì)應(yīng)邊成比例，即解得.例6、已知在ABC中，AD是BAC的平分線求證：分析1 比例線段常由平行線而產(chǎn)生，因而研究比例線段問題，常應(yīng)注意平行線的作用，在沒有平行線時(shí)，可以添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生此題中AD為ABC內(nèi)角A的平分線，這里不存在平行線，于是可考慮過定點(diǎn)作某定直線的平行線，添加了這樣的輔助線后，就可以利用平行關(guān)系找出相應(yīng)的比例線段，再比較所證的比例式與這個(gè)比例式的關(guān)系，去探求問題的解決證法1： 如圖49，過C點(diǎn)作CEAD，交BA的延長線于E 在BCE中， DACE， 又 CEAD， 1=3，2=4，且AD平分BAC， 1=2，于是3=4， AC=AE代入式得分析2 由于BD、CD是點(diǎn)D分BC而得，故可過分點(diǎn)D作平行線證法2： 如圖410，過D作DEAC交AB于E，則2=3  1=2， 1=3于是EA=ED又， ， .分析3 欲證式子左邊為AB：AC，而AB、AC不在同一直線上，又不平行，故考慮將AB轉(zhuǎn)移到與AC平行的位置證法3： 如圖411，過B作BEAC，交AD的延長線于E，則2=E