第4講利用軸對稱破解最短路徑問題

1、第一章 平移、對稱與旋轉(zhuǎn)第4講 利用軸對稱破解最短路徑問題一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解“直線上同一側(cè)兩點與此直線上一動點距離和最小”問題通過軸對稱的性質(zhì)與作圖轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題求解。2.能將實際問題或幾何問題（對稱背景圖）中有關(guān)最短路徑（線段之差最大值）問題借助軸對稱轉(zhuǎn)化為兩點之間，線段最短問題分析與求解。二、基礎(chǔ)知識輕松學(xué)與軸對稱有關(guān)的最短路徑問題關(guān)于最短距離，我們有下面幾個相應(yīng)的結(jié)論：（1）在連接兩點的所有線中，線段最短（兩點之間，線段最短）；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）在三角形中，大角對大邊，小角對小邊。（4）垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等

2、；【精講】一般說來，線段和最短的問題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用“兩點之間線段最短”或者“三角形兩邊之和大于第三邊”加以證明，關(guān)鍵是找相關(guān)點關(guān)于直線的對稱點實現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”。另外，在平移線段的時候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。（判定：如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等。）三、重難疑點輕松破最短路徑問題在平面圖形中要解決最短路徑問題，自然離不開構(gòu)建與轉(zhuǎn)化“兩點之間，線段最短”的數(shù)學(xué)公理，通常將涉及到的兩點中的任一點作出關(guān)于直線的對稱點，從而運用兩點之間，線段最短解決實際問題在日常生活、工作中，經(jīng)常會遇到有關(guān)行程路線的問題。

3、“最短路徑問題”的原型來自于“飲馬問題”、“造橋選址問題”，出題通常以直線、角、等腰（邊）三角形、長方形、正方形、坐標(biāo)軸等對稱圖形為背景。（1）“一線同側(cè)兩點”問題例1 如圖，點A、B在直線m的同側(cè)，點B是點B關(guān)于m的對稱點，AB交m于點P（1）AB與AP+PB相等嗎？為什么？（2）在m上再取一點N，并連接AN與NB，比較AN+NB與AP+PB的大小，并說明理由解析：（1）點B是點B關(guān)于m的對稱點，PB=PB，AB=AP+PB，AB=AP+PB（2）如圖：連接AN，BN，BN，AB=AP+PB，AN+NB=AN+NBAB，AN+NBAP+PB點評：兩條線段之和最短，往往利用對稱的思想，把兩條線

4、段的和變?yōu)橐粭l線段來研究，利用兩點之間的線段最短得出結(jié)果。這類題主考實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，關(guān)鍵是利用軸對稱、“兩點之間，線段最短”及三角形三邊的關(guān)系等變式1 需要在高速公路旁邊修建一個飛機(jī)場，使飛機(jī)場到A，B兩個城市的距離之和最小，請作出機(jī)場的位置（2）“兩點兩線（平行）”問題例2 如圖所示，在一條河的兩岸有兩個村莊，現(xiàn)要在河上建一座小橋，橋的方向與河流垂直，設(shè)河的寬度不變，試問：橋架在何處，才能使從A到B的距離最短？解析：雖然A、B兩點在河兩側(cè)，但連接AB的線段不垂直于河岸關(guān)鍵在于使AP+BD最短，但AP與BD未連起來，要用線段公理就要想辦法使P與D重合起來，利用平行四邊形的特征可以

5、實現(xiàn)這一目的如圖，作BB垂直于河岸GH，使BB等于河寬，連接AB，與河岸EF相交于P，作PDGH，則PDBB且PD=BB，于是PDBB為平行四邊形，故PD=BB根據(jù)“兩點之間線段最短”，AB最短，即AP+BD最短故橋建立在PD處符合題意點評：此題考查了軸對稱最短路徑問題，要利用“兩點之間線段最短”， 解決“造橋選址”的簡單的實際問題但許多實際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點之間線段最短的問題此類題往往需要利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以后還會學(xué)習(xí)一些線段轉(zhuǎn)化的方法變式2 如圖，兩個村莊A和B被一條河隔開，現(xiàn)要在河上架設(shè)一座橋CD請你

6、為兩村設(shè)計橋址，使由A村到B村的距離最?。俣▋珊影秏、n是平行的，且橋要與河垂直）要求寫出作法，并說明理由（3）“一點兩線（相交）”解決周長最短問題例3：如圖所示，ABC內(nèi)有一點P，在BA、BC邊上各取一點P1、P2，使PP1P2的周長最小解析：依據(jù)兩點之間線段最短，可分別作點P關(guān)于AB，AC的對稱點，如圖，以BC為對稱軸作P的對稱點M，以BA為對稱軸作出P的對稱點N，連MN交BA、BC于點P1、P2PP1P2為所求作三角形點評：解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化“直線上同一側(cè)兩點與此直線上一動點距離和最小”問題（將軍飲馬問題），其核心是化折為直（兩點之間線段最短）的思想，轉(zhuǎn)化技巧是能夠運用軸對稱性質(zhì)及作圖求解

7、問題變式3 城關(guān)中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，桌子擺成兩直條（如圖中的AO，BO），AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C處，請你在下圖幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短？（4）“一線異側(cè)兩點” “差最大” 問題例4 在定直線XY異側(cè)有兩點A、B，在直線XY上求作一點P，使PA與PB之差的絕對值最大解析：作法：作點B關(guān)于直線XY的對稱點B，作直線AB交XY于P點，則點P為所求點（如圖）；若BAXY（即B、A到直線XY的距離相等），則點P不存在證明：連接BP，在XY上任意取點P，連接PA、PB，則PB=PB，PB=PB，因為|PBPA|

8、=|PBPA|AB=|PBPA|=|PBPA|，所以，此時點P使|PAPB|最大點評：本題考查的是最短線路問題，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出圖形，再由兩點之間線段最短的知識求解變式4.如圖，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M，連接MB，若AB8 cm，MBC的周長是14 cm，（1）求BC的長（2）在直線MN上是否存在點P，使PACP的值最大，若存在，畫出點P的位置，并求最大值，若不存在，說明理由。（5）“兩點一線線段”例5 直線L的同側(cè)有兩點A、B，在直線L上求兩點C、D，使得AC、CD、DB的和最小，且CD的長為定值a，點D在點C的右側(cè)。作法：將點A

9、向右平移a個單位到A1作點B關(guān)于直線L的對稱點B1連結(jié)A1B1交直線L于點D過點A作ACA1D交直線L于點C，連結(jié)BD，則線段AC、CD、DB的和最小。點C、D即為所求。 變式5長方形OACB，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點（1）若E為邊OA上的一個動點，當(dāng)CDE的周長最小時，畫出點E的位置；（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，畫出點E、F的位置；（6）臺球擊點問題例6如圖，在臺球桌面ABCD上，有白和黑兩球分別位于M，N兩點處，問：怎樣撞擊白球M，使白球先撞擊臺邊BC，反彈后再去擊中黑球N？解析：作N關(guān)于BC的對稱點N，連接MN交BC于點E，連

10、接EN按ME方向撞擊白球M，白球M反彈后必沿EN方向擊中黑球N點評：要使白球M撞擊臺邊BC反彈后再去擊中黑球N，必須使MEB=NEC由軸對稱還可得，NEC=NEC又對頂角MEB=NEC，故可得到MEB=NEC本題重在考查軸對稱的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵注意對應(yīng)點的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應(yīng)點之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等變式6 如圖，甲乙丙丁四人做接力游戲開始時，甲站在長方形操場ABCD內(nèi)部的E點處，丙在BC的中點G處，乙，丁分別站在AB、CD邊上游戲規(guī)則是，甲將接力棒傳給乙，乙傳給丙，丙傳給丁，最后丁跑回傳給甲如

11、果他們四人的速度相同，試找出乙，丁站在何處，他們的比賽用時最短？（請畫出路線，并保留作圖痕跡，作法不用寫）四、課時作業(yè)輕松練A.基礎(chǔ)題組1. 如圖，直線l是一條河，P，Q是兩個村莊欲在L上的某處修建一個水泵站，向P，Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的是（）A、B、 C、D、2.已知，如圖ABC為等邊三角形，高AH=10cm，P為AH上一動點，D為AB的中點，則PD+PB的最小值為 cm 第2題 第3題3.如圖，MN是正方形ABCD的一條對稱軸，點P是直線MN上的一個動點，當(dāng)PC+PD最小時，PCD= 4.為慶祝60年國慶圣典，陽光中學(xué)八年級（2）班舉行一

12、次文藝晚會，桌子擺成兩真線（如圖：AO，OB）AO桌子上擺滿蘋果，BO桌子上擺滿桔子，坐在C處的小華想先拿蘋果再拿桔子，然后回到座位C處，AOB小于90度，請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使小華所走路程最短請作出路線圖，并用字母表示所走路線（保留作圖痕跡，不寫作法、不必說明理由）B.中檔題組5.如圖，山娃星期天從A處趕了幾只羊到草地l1放羊，然后趕羊到小河l2飲水，之后再回到B處的家，假設(shè)山娃趕羊走的都是直路，請你為它設(shè)計一條最短的路線，標(biāo)明放羊與飲水的位置6.如圖，一牧民從A點出發(fā)，到草地出發(fā)，到草地MN去喂馬，該牧民在傍晚回到營帳B之前先帶馬去小河邊PQ給馬飲水（MN、PQ均為直線），試問牧民

13、應(yīng)走怎樣的路線，才能使整個路程最短？（簡要說明作圖步驟，并在圖上畫出）C.挑戰(zhàn)題組7.如圖，荊州古城河在CC處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為5米，從A處到達(dá)B處，須經(jīng)兩座橋：DD，EE（橋?qū)挷挥嫞?，設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，A、B在東西方向上相距65米，南北方向上相距85米，如何架橋可使到A到B的路程最短，畫出路程圖五、我的錯題本參考答案變式練習(xí)變式1解：利用軸對稱圖形的性質(zhì)可作點A關(guān)于公路的對稱點A，連接AB，與公路的交點就是點P的位置變式2 解：如圖，過點B作BCn，且使BC等于河寬，連接AC交直線m與M，作MNBC即可 理由：兩點之間線段最短變式3解析：本題意思是在OA上找一點D，在O

14、B上找一點E，使CDE的周長最小如果作點C關(guān)于OA的對稱點是M，關(guān)于OB的對稱點是N，當(dāng)點D、E在MN上時，CDE的周長為CD+DE+EC=MN，此時周長最小變式4解：（1）因MN垂直平分AB，所以MBMA，又因MBC的周長是14 cm，故AC+BC14 cm，所以BC6 cm.（2）當(dāng)點P位于直線MN與BC延長線的交點時，PACP的值最大，最大值是6cm，理由：因A、B關(guān)于直線MN對稱，所以AP=BP，當(dāng)點P位于MN（直線MN與BC延長線的交點除外）上時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系始終有PBCPBC，當(dāng)點P位于直線MN與BC延長線的交點P時，即B、C、P三點成線時，存在PACPBC6 cm為最大值，

15、變式5解：（1）如圖，作點D關(guān)于OA的對稱點D，連接CD與OA交于點E，連接DE若在邊OA上任取點E與點E不重合、，連接CE、DE、DE由DE+CE=DE+CECD=DE+CE=DE+CE，可知CDE的周長最?。?）如圖，作點D關(guān)于OA的對稱點D，在CB邊上截取CG=2，連接DG與OA交于點E，在EA上截取EF=2，GCEF，GC=EF，四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF，又GC、EF的長為定值，此時得到的點E、F使四邊形CDEF的周長最小變式6解：作點G關(guān)于CD的對稱點G，作E關(guān)于AB的對稱點E連接GE，交CD于點F、交AB于點H，故比賽最短的路線為：EHGF課堂作業(yè)A.基礎(chǔ)題組1.D

16、解析：利用對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點之間的距離作點P關(guān)于直線L的對稱點P，連接QP交直線L于M根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項D鋪設(shè)的管道，則所需管道最短故選D2.10解析：連接PC，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，可得PC=BP，PD+PB要取最小值，應(yīng)使D、P、C三點一線連接PC，ABC為等邊三角形，D為AB的中點，PD+PB的最小值為：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm3. 45解析：當(dāng)PC+PD最小時，作出D點關(guān)于MN的對稱點，正好是A點，連接AC，AC為正方形對角線，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出PCD=45，PCD=454.解析：要求小華所走路程最短路線，如圖，可作點C關(guān)于OA的對稱點M，作點C關(guān)于OB的對稱點N連接MN，交OA于點F，交OB于點E，最短路線CEFB.中檔題組5解：作出點A關(guān)于l1的對稱點E，點B適于l2的對稱點F，連接EF，交于l1