高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)：課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)48《圓錐曲線中的最值、范圍、證明問(wèn)題》(教師版)

1、課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（四十八） 圓錐曲線中的最值、范圍、證明 問(wèn)題一般難度題全員必做1已知橢圓E：1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F2(1,0)，且該橢圓過(guò)定點(diǎn)M.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q(2,0)，過(guò)點(diǎn)F2作直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且，2，1，以QA，QB為鄰邊作平行四邊形QACB，求對(duì)角線QC長(zhǎng)度的最小值解：(1)由題易知c1，1，又a2b2c2，解得b21，a22，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)直線l：xky1，由得(k22)y22ky10，4k24(k22)8(k21)>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則可得y1y2，y1y2.(x1x24，y

2、1y2)，|2|216，由此可知，|2的大小與k2的取值有關(guān)由可得y1y2，(y1y20)從而，由2，1得，從而2，解得0k2.令t，則t，|28t228t1682，當(dāng)t時(shí)，|QC|min2.2已知拋物線C：x22py(p>0)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，D是拋物線的準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)(1)若ABl，且ABD的面積為1，求拋物線的方程；(2)設(shè)M為AB的中點(diǎn)，過(guò)M作l的垂線，垂足為N.證明：直線AN與拋物線相切解：(1)ABl，|FD|p，|AB|2p.SABDp21.p1，故拋物線C的方程為x22y.(2)證明：顯然直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為ykx，A，B.由消去y整理得，x

3、22kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.M(kp，k2p)，N.k AN.又x22py，y.拋物線x22py在點(diǎn)A處的切線斜率k.直線AN與拋物線相切3已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線ykx1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求OAB面積的取值范圍解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，由條件知，解得a2，c，b1，故橢圓C的方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2，設(shè)OAB的面積為S，由x1x2<0，知S&#

4、215;1×|x1x2|2，令k23t，知t3，S2.對(duì)函數(shù)yt(t3)，知y1>0，yt在t3，)上單調(diào)遞增，t，0<，0<S.故OAB面積的取值范圍為.中檔難度題學(xué)優(yōu)生做1過(guò)離心率為的橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(1,0)作直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)|FA|FB|，T(2,0)(1)求橢圓C的方程；(2)若12，求ABT中AB邊上中線長(zhǎng)的取值范圍解：(1)e ，c1，a，b1，即橢圓C的方程為y21.(2)當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，顯然不成立設(shè)直線l：xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(m22)y22my10，則y1y2

5、，y1y2，由|FA|FB|，得y1y2，2，m2，又AB邊上的中線長(zhǎng)為 | .2已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線ykx(k>0)與直線AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)(1)若6，求k的值；(2)求四邊形AEBF面積的最大值解：(1)由題設(shè)條件可得，橢圓的方程為y21，直線AB的方程為x2y20.設(shè)D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1<x2，由得(14k2)x24，解得x2x1 .由6，得(x0x1，k(x0x1)6(x2x0，k(x2x0)，即x0x16(x2x0)，x0(6x2x1)x2 .由D在AB

6、上，得x02kx020，x0.，化簡(jiǎn)，得24k225k60，解得k或k.(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和式可知，點(diǎn)E，F(xiàn)到AB的距離分別為d1，d2，又|AB|，四邊形AEBF的面積為S|AB|(d1d2)××22222，當(dāng)且僅當(dāng)4k(k>0)，即k時(shí)，等號(hào)成立故四邊形AEBF面積的最大值為2.較高難度題學(xué)霸做1已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，T為橢圓上任意一點(diǎn)，直線TA，TB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M(0,2)的動(dòng)直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，求··的取值范圍解：(

7、1)設(shè)T(x，y)，由題意知A(4,0)，B(4,0)，設(shè)直線TA的斜率為k1，直線TB的斜率為k2，則k1，k2.由k1k2，得·，整理得1.故橢圓C的方程為1.(2)當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為ykx2，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線PQ與橢圓方程聯(lián)立，得消去y，得(4k23)x216kx320.所以x1x2，x1x2.從而，··x1x2y1y2x1x2(y12)(y22)2(1k2)x1x22k(x1x2)420.所以20<··.當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，··的值為20.綜

8、上，··的取值范圍為.2已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|6，直線ykx與橢圓交于A，B兩點(diǎn)(1)若AF1F2的周長(zhǎng)為16，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若k，且A，B，F(xiàn)1，F(xiàn)2四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率e的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)P(x0，y0)為橢圓上一點(diǎn)，且直線PA的斜率k1(2，1)，試求直線PB的斜率k2的取值范圍解：(1)由題意得c3，根據(jù)2a2c16，得a5.結(jié)合a2b2c2，解得a225，b216.所以橢圓的方程為1.(2)法一：由得x2a2b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)所以x1x20，x1x2，由AB，F(xiàn)1F2互相平分且共圓，易知，AF2BF2，因?yàn)?x13，y1)，(x23，y2)，所以·(x13)(x23)y1y2x1x290.即x1x28，所以有8，結(jié)合b29a2，解得a212(a26舍去)，所以離心率e.法二：設(shè)A(x1，y1)，又AB，F(xiàn)1F2互相平分且共圓，所以AB，F(xiàn)1F2是圓的直徑，所以xy9，又由橢圓及直線方程綜合可得