整式乘除與因式分解講義

1、第八章 整式乘除與因式分解【知識(shí)點(diǎn)1】?jī)绲倪\(yùn)算1.同底數(shù)冪的乘法法則：（都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。如：同底數(shù)冪的乘法法則可以逆用：即 如：可以根據(jù)已知條件，對(duì)原來(lái)的指數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)亍胺纸狻薄?.冪的乘方法則：（都是正整數(shù)）冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：冪的乘方法則可以逆用：即 如：3.積的乘方法則：（是正整數(shù)）。積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。如：（=積的乘方法則可以逆用：即4.同底數(shù)冪的除法法則：（都是正整數(shù)，且同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：同底數(shù)冪的除法法則可以逆用：即如：已知，則 5.零指數(shù)冪： ，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1

2、。6.負(fù)整指數(shù)冪：（是正整數(shù)）7.科學(xué)計(jì)數(shù)法：（1）絕對(duì)值大于1的數(shù)可記為，其中，是正整數(shù)，等于原數(shù)數(shù)位減1. 如記為（2）絕對(duì)值小于1的數(shù)可記為，其中，是正整數(shù)，等于原數(shù)中第一個(gè)有效數(shù)字前面的零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前的0）. 如記為考點(diǎn)1 同底數(shù)冪的乘法【例1】下列各式中，正確的是（ ） A B. C. D.【例2】【例3】若am2，an3，則am+n等于( ) A5 B.6 C.8 D.9【例4】已知n是大于1的自然數(shù),則等于 ( ) A. B. C. D.【練習(xí)】1.102·107 2.3.在等式a3·a2·( )a11中，括號(hào)里面人代數(shù)式應(yīng)當(dāng)是4.,則m=

3、5.t3·(t)4·(t)5 6.已知xmn·x2n+1=x11，且ym1·y4n=y7，則m=_，n=_. 考點(diǎn)2 冪的乘方【例1】（1） （2） （3）( )2a4b2【例2】若則= 【練習(xí)】 1.= 2.= 3.計(jì)算的結(jié)果是 ( ) A. B. C. D.4. 5.的結(jié)果是 6.= 考點(diǎn)3 積的乘方【例1】下面各式中錯(cuò)誤的是（ ） A（24）3=212 B（3a）3=27a3 C（3xy2）4=81x4y8 D（2a2b2）2=2a4b2【例2】計(jì)算 【練習(xí)】1. 面各式中正確的是（ ） A3x2·2x=6x2 B（xy2）2=x2y4

4、C（2xy2）3=2x3y6 D（x2）·（x3）=x52.當(dāng)a=1時(shí)，（a2）3的結(jié)果是（ ） A1 B1 Ca6 D以上答案都不對(duì)3.與（3a2）3 2的值相等的是（ ） A18a12 B243a12 C243a12 D以上結(jié)論都不對(duì)4.下列計(jì)算正確的是（ ）A B C D 5.計(jì)算的結(jié)果是( ) A. B. C. D.6.計(jì)算（1） （2）（a2x4）2（2ax2）4 （3）a3·a4·a+（a2）4+（2a4）2 （4）2（x3）2·x3（3x3）2+（5x）2·x7 （5）（）2008·（）20087. 已知，求的值。 8.

5、 若 ， 求的值?？键c(diǎn)4 同底數(shù)冪的除法【例1】（1） （2）【例2】【練習(xí)】1. 2. 3.下列4個(gè)算式 (1) (2) (3) (4)4.其中,計(jì)算錯(cuò)誤的有 ( ) A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)考點(diǎn)5 冪的混合運(yùn)算1.a5÷（a2 ）·a 2.() 3.(a3)2·(a2)34. 5.（1） （2）(3a)3(a)·(3a)2 （3） 6.下列運(yùn)算中與結(jié)果相同的是( )A. B. C. D.7.32m×9m×27 8.化簡(jiǎn)求值a3·（b3）2（ab2）3 ，其中a，b4?？键c(diǎn)6 混合運(yùn)算整體思想【例1】(ab)

6、2·(ba)3 【例2】 【練習(xí)】1.(2mn)3·(n2m)2 2.（1）(pq)4÷(qp)3·(pq)2 （2）3. (m為偶數(shù),)4.+考點(diǎn)7 科學(xué)計(jì)數(shù)法【例1】一種細(xì)菌的半徑是厘米，用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為 厘米【例2】每立方厘米的空氣質(zhì)量為1.239×10-3g，用小數(shù)把它表示為 【練習(xí)】1.最薄的金箔的厚度為0.000000091m，用科學(xué)記數(shù)法表示為 2.小數(shù)表示 3.有一句諺語(yǔ)說(shuō)：“撿了芝麻，丟了西瓜?！币馑际钦f(shuō)有些人辦事只抓一些無(wú)關(guān)緊要的小事，卻忽略了具有重大意義的大事。據(jù)測(cè)算，5萬(wàn)粒芝麻才200克，你能換算出1粒芝麻有多少克嗎？

7、可別“占小便宜吃大虧”噢?。ò涯愕慕Y(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）4. 三峽一期工程結(jié)束后的當(dāng)年發(fā)電量為5.5×109度，某市有10萬(wàn)戶居民，若平均每戶用電2.75×103度，那么三峽工程該年所發(fā)的電能供該市居民使用多少年？（結(jié)果用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示）【知識(shí)點(diǎn)2】整式乘法1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。如： 。2.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即(都是單項(xiàng)式)。如： 。3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加?！纠?】已

8、知，則 .【例2】若，則 .【例3】若，則=_，_，_【例4】若的積中不含有的一次項(xiàng)，則的值是 【例5】已知，且的值與無(wú)關(guān)，求的值.【練習(xí)】1.若xy=2, x+y=3 ,則 (x+1)(y+1)= 2.若多項(xiàng)式(x+p)(x-3)的積中不含x的一次項(xiàng),則p= .3.已知(2x-a)(5x+2)=10x-6x+b,求a,b的值。4.已知計(jì)算（x3mxn）（x25x3）的結(jié)果不含x3和x2項(xiàng)，求m，n值?【知識(shí)點(diǎn)3】整式除法1.單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù).同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。注意：首先確定結(jié)果的系數(shù)（即系數(shù)相除），

9、然后同底數(shù)冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。 如：2.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，在把所的的商相加。即：【練習(xí)】1計(jì)算：(1)y10÷(y4÷y2) (2)(a2)3·(a3)4÷(-a5)2(3)(-x)3÷(-x) (4)(x-y)7÷(y-x)6+(-x-y)3÷(x+y)22 已知7x-5y-3=0,求47x÷45y的值. 3已知am=9,an=27,求a3m-2n的值.4已知a、b是互為相反數(shù)，c、d 是互為倒數(shù)，e是非

10、零實(shí)數(shù)，求的值.5計(jì)算：(1)-8a2b3÷6a2b (2)(-0.3a2bc2)÷(-ac2)(3)(6x2y3)2÷(3xy2)2 (4)(a-b)m(a-b)2·2(b-a)3·(b-a)52÷(a-b)m6.計(jì)算：(1)(a4b7-a2b6)÷(-ab3)2 (2)(x+y)(x-y)-(x-y)2+2y(x-y)÷4y7先化簡(jiǎn)，再求值2x(x2y-xy2)+xy(xy-x2)÷x2y,其中x=2012,y=20118.已知，求的值【知識(shí)點(diǎn)4】平方差公式、完全平方公式1.平方差公式：注意平方差公式

11、展開只有兩項(xiàng)公式特征：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)。右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方。 如： 2.完全平方公式：完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，首尾2倍中間放，符號(hào)和前一個(gè)樣。公式的變形使用：； ；【例1】如果m-n=, m2+n2=,那么(mn)2005的值為 【例2】若，則=_，_，_【例3】如果,那么的值是 【例4】若多項(xiàng)式恰好是另一個(gè)多項(xiàng)式的平方，則_【例5】若的積中不含有的一次項(xiàng)，則的值是 【練習(xí)】1.若4x2-Mxy+9y2是兩數(shù)和的平方,則M的值是 2.要使式子成為一個(gè)完全平方式，則應(yīng)加上 3.已知一個(gè)矩形的面積為4a22abb2

12、，其中一邊長(zhǎng)是4ab，則該矩形的周長(zhǎng)為_4.簡(jiǎn)便計(jì)算5.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求: (1)a2+b2; (2)ab的值.6.已知：，求的值7.已知（x+y）2=13,(x-y) 2=9，求x+y與xy的值. 【知識(shí)點(diǎn)5】因式分解1.分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式. 因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.2.因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系:(1)整式乘法是把幾個(gè)整式相乘,化為一個(gè)多項(xiàng)式;(2)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘.因式分解的思路與解題步驟:(1)先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)

13、用分組分解法,即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分解的目的;(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解;(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.3.提公因式法概念：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如: 概念內(nèi)涵:(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”;(2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式;(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律,即: 方法：(1)找多項(xiàng)式中的公因式；公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分：系數(shù)一各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；字母

14、各項(xiàng)含有的相同字母；指數(shù)相同字母的最低次數(shù)；(2)提公因式法的步驟：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并確定另一因式需注意的是，提取完公因式后，另一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一致，這一點(diǎn)可用來(lái)檢驗(yàn)是否漏項(xiàng)(3)注意點(diǎn)：提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡(jiǎn)形式，即分解到“底”；如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)的，一般要提出“”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)是正的易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):(1)注意項(xiàng)的符號(hào)與冪指數(shù)是否搞錯(cuò);(2)公因式是否提“干凈”;(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式,提出后,括號(hào)中這一項(xiàng)為+1,不漏掉.2.公式法運(yùn)用公式法分解因式的實(shí)質(zhì)是：把整式中的乘法公式反過(guò)來(lái)使用；常用的公式：平方差公式：（應(yīng)是二項(xiàng)式

15、或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式;二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號(hào))都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方;二項(xiàng)是異號(hào).）完全平方公式：. （應(yīng)是三項(xiàng)式;其中兩項(xiàng)同號(hào),且各為一整式的平方; 還有一項(xiàng)可正負(fù),且它是前兩項(xiàng)冪的底數(shù)乘積的2倍.）3.十字相乘法 對(duì)于：二次三項(xiàng)式的分解: 規(guī)律內(nèi)涵:(1)理解:把分解因式時(shí),如果常數(shù)項(xiàng)是正數(shù),那么把它分解成兩個(gè)同號(hào)因數(shù),它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同.(2)如果常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù),那么把它分解成兩個(gè)異號(hào)因數(shù),其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同,對(duì)于分解的兩個(gè)因數(shù),還要看它們的和是不是等于一次項(xiàng)系數(shù).易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):(1)十字相乘法在對(duì)系數(shù)分解時(shí)易出錯(cuò);(2)分解的結(jié)果與原式不等,

16、這時(shí)通常采用多項(xiàng)式乘法還原后檢驗(yàn)分解的是否正確.4.分組分解法分組分解法:利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法. 如: 概念內(nèi)涵:分組分解法的關(guān)鍵是如何分組,要嘗試通過(guò)分組后是否有公因式可提,并且可繼續(xù)分解,分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式.注意: 分組時(shí)要注意符號(hào)的變化.5.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)會(huì)利用整體思考問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法和實(shí)際運(yùn)用意識(shí)。如：對(duì)于任意自然數(shù)n，都能被動(dòng)24整除?？键c(diǎn)1 提取公因式法【例1】（1）= （2）= （3） （4）= 【例2】分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）【例3】（1） （2）考點(diǎn)2 平方差公式【例1】（1） （2） （3） （4）（5） （6） 【練習(xí)】（1） （2） （3） （4） （5）【例2】計(jì)算 【例3】證明：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)?？键c(diǎn)3 完全平方公式法【例1】（1） （2）（3） （4）（5） （6）【練習(xí)】（1） （2） （3） （4）（5）【例2】已知 【練習(xí)】1. 2.已知：判斷三角形的形狀，并說(shuō)明理由。 考點(diǎn)4 十字相乘法【例1】把下列各式分解因式：（1） （2） （3）(4) （5） （6） （7）【例2】如果，那么p等于 ( )Aab Bab Cab D(ab)【例3】如果，則b為( )A5 B6 C5 D6【例4】多項(xiàng)式可分解為(x5)(xb)，則a，b的值分別為