數(shù)論板塊淺析整除更新

1、第一講 淺析數(shù)論【引入】一個三位數(shù)除以發(fā)現(xiàn)商是一個整數(shù)，且沒有余數(shù)。經(jīng)過嘗試，發(fā)現(xiàn)由、這三個數(shù)字組成的其它三位數(shù)、分別除以得到的商均是整數(shù)，且都沒有余數(shù)。這些除以商是整數(shù)且沒有余數(shù)的數(shù)雖然排列順序，但組成的數(shù)字都是相同。那么判斷一個數(shù)除以有沒有余數(shù)，我們其實只要看其組成的數(shù)字，而和這些數(shù)字的排列順序無關(guān)。今天我們就探索這樣的一些列問題?！菊母拍睢慨?dāng)兩個整數(shù)和（），被除的余數(shù)為時（商為整數(shù)），則稱被整除或整除，記作：；如果被除所得的余數(shù)不為，則稱不能被整除，或不整除，記作：。【整除的性質(zhì)】末位分析法：如果一個數(shù)的末位能被2或5整除，那么這個數(shù)就能被2或5整除；如果一個數(shù)的末兩位能被4或25整

2、除，那么這個數(shù)就能被4或25整除；如果一個數(shù)的末三位能被8或125整除，那么這個數(shù)就能被8或125整除；數(shù)字之和分析法：如果一個數(shù)各位數(shù)字之和能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除；如果一個數(shù)各位數(shù)字之和能被9整除，那么這個數(shù)就能被9整除?！纠}1】一個四位數(shù)能被整除，那么中應(yīng)該填什么數(shù)字？一個四位數(shù)能被整除，那么中應(yīng)該填什么數(shù)字？一個四位數(shù)能被整除，那么中應(yīng)該填什么數(shù)字？一個四位數(shù)能被整除，那么中應(yīng)該填什么數(shù)字？【分析】這是一道考查第一類整除特點的基礎(chǔ)題目。同學(xué)只要能熟知第一類整除特點就可以解決此類題目。能被整除的數(shù)看末位；能整除的數(shù)看末兩位；能被整除的數(shù)看末三位；能被整除的數(shù)看末兩位?！窘狻恳?/p>

3、為；所以；所以，或。因為；所以；所以，或。因為；所以；所以，或。因為；所以；所以或?！纠}2】一個五位數(shù)能被整除，那么中應(yīng)該填什么數(shù)字？一個四位數(shù)能被整除，那么代表的數(shù)字是多少？【分析】這是一道考查第二類整除特點的基礎(chǔ)題目。同學(xué)只要能熟知第二類整除特點就可以解決此類題目。能被（或）整除的數(shù)的特點是各位數(shù)字之和是（或）的倍數(shù)?！窘狻恳驗?；所以；所以，或。因為；所以；所以或；因為在首位，所以；所以?！究偨Y(jié)】整除是數(shù)論中最基礎(chǔ)的知識點之一，而在整除中，整除的特點尤為關(guān)鍵。例1和例2分別考察了四年級學(xué)生需要掌握的兩個整數(shù)方法：末位分析法和數(shù)字之和分析法。同學(xué)們在學(xué)習(xí)的時候要注意這兩個方法的分別適用于哪

4、些數(shù)的整除。第一類：、使用的是末位分析法；第二類：、使用的是數(shù)字之和分析法?！纠}3】四位數(shù)能同時被和整除，求出所有滿足要求的四位數(shù)?！痉治觥肯雀鶕?jù)能被整除的特點，求出個位數(shù)字；然后根據(jù)能被整除的特點求出百位?！窘狻吭O(shè)四位數(shù)為；因為，所以，或；因為，所以，；當(dāng)時，或或；當(dāng)時，或或；綜上所述，所有滿足要求的四位數(shù)為、?！纠}4】一個三位數(shù)的十位數(shù)字未知。請分別根據(jù)下列要求找出“”中合適的取值；如果要求這個三位數(shù)能被整除，“”可能等于多少？如果要求這個三位數(shù)能被整除，“”可能等于多少？這個三位數(shù)有沒有可能整除，如果有可能，“”可能等于多少？【分析】根據(jù)能被整除的特點可以求出的答案。根據(jù)能被整除的特

5、點可以求出的答案。既滿足有滿足的數(shù)即為的答案?！窘狻恳驗椋?，或或；如果要求三位數(shù)能被整除，“”可能等于或或。因為，所以，或或或或；如果要求三位數(shù)能被整除，“”可能等于或或或或。三位數(shù)有可能同時被和整除，“”可能等于或?！纠}5】在所有個位數(shù)字互不相同的五位數(shù)中，能被整除的數(shù)最小是多少？【分析】一個數(shù)能被整除，那么一定能同時被和整除。因為要使這個五位數(shù)盡可能的小，所以不妨假設(shè)萬位是，千位是，百位是。通過、的整除特點分別判斷出個位和十位。【解】因為這個五位數(shù)能被整除，；所以這個五位數(shù)能分別被和整除。因為這個五位數(shù)能被整除；所以這個五位數(shù)的個位數(shù)字是或。要使這個五位數(shù)最小，令這個五位數(shù)的萬位是、

6、千位是，則這個五位數(shù)的個位是；若這個五位數(shù)的百位是，因為這個五位數(shù)能被整除，所以這個五位數(shù)的十位是，與千位相同；若這個五位數(shù)的百位是，因為這個五位數(shù)能被整除，所以這個五位數(shù)的十位是；綜上所述，在所有個位數(shù)字互不相同的五位數(shù)中，能被整除的數(shù)最小是。【總結(jié)】在初步掌握末位分析法和數(shù)字之和分析法之后，我們會學(xué)習(xí)其它有關(guān)整除的題目。這些數(shù)往往不屬于第一類和第二類中的數(shù)，但缺能拆成兩個或幾個第一類或第二類中數(shù)的乘積。所以解決這種題目的做法是：第一步，把數(shù)寫成兩個或幾個第一類或第二類中數(shù)的乘積的形式；第二部，按照“先末位分析法，再數(shù)字之和分析法”的順序分析題目。【例題6】一個四位數(shù)能被整除，求這個四位數(shù)。

7、一個五位數(shù)能被整除，求這個五位數(shù)。【分析】一個數(shù)如果能被整除那么，從右向左，兩位兩位的和能被整除。一個數(shù)如果能被整除那么，從右向左，三位三位的和能被整除?！窘狻吭O(shè)這個四位數(shù)是，因為；所以，；所以這個四位數(shù)是。設(shè)這個五位數(shù)是；因為；所以，；所以這個五位數(shù)是?！究偨Y(jié)】能被整除的數(shù)的特點是各位數(shù)字之和能被整除。由此，我們可以把這種性質(zhì)推廣到、解題的步驟和注意的事項有以下4點：有個就每位截??；截取的時候必須從右向左，最后一段可以不足位；相加時，對于每一段，其本身的順序不改變；若和能被整除，那么這個數(shù)能被整除?！緦崙?zhàn)演練1】（年第六屆小學(xué)“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽四年級第試第題）若位數(shù)能夠被整除，則里的數(shù)

8、是?！窘狻恳粋€數(shù)能被整除，則這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被整除；因為，所以，即；因為，所以的余數(shù)為，所以里的數(shù)是或或?！緦崙?zhàn)演練2】牛叔叔給名工人發(fā)完工資后，將總錢數(shù)記在一張紙上。但是記賬的那張紙被香煙燒了兩個洞，上面只剩下“”，其中方框表示被燒出的洞。牛叔叔記得每名工人的工資都一樣，并且都是整數(shù)元。請問：這名工人的總工資有可能是多少元呢？【分析】因為每名工人的工資都一樣；所以總錢數(shù)每名工人的工資，即總錢數(shù)是的倍數(shù)；而【解】設(shè)這名工人的總工資是元；因為每名工人的工資都一樣，并且都是整數(shù)元；所以；因為；所以且；因為，所以，或；因為，所以，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；這名工人的總工資有可能是或元?！緦崙?zhàn)演練3】（年第六屆“走進美妙的數(shù)學(xué)花園”決賽第題），首位是，個位是，中間數(shù)字全部是的數(shù)中，能整除而不被整除的最小數(shù)是?！窘狻恳驗?；所以；所以，所以是的倍數(shù)；當(dāng)時，；而符合題意；所以最小是。【練習(xí)1】設(shè)有一個四位數(shù)，它能被整除，則代表的數(shù)字是多少？【答案】?！揪毩?xí)2】若四位數(shù)能被整除，則代表的數(shù)字是多少？【答案】?！揪毩?xí)3】在的方框里填入合適的數(shù)字，使這個四位數(shù)能被整除，這樣的四位數(shù)中最大的是多少？【答案】最大是。【練習(xí)4】若三位數(shù)加上等于另一個三位數(shù)，若能被整除，則的值是多少？【答案】?！揪毩?xí)5】一位馬虎的采購員買了只桶，洗衣服時將采購貨發(fā)票洗爛了