根的判別式與韋達定理

1、一元二次方程根與系數的關系應用例析及訓練對于一元二次方程，當判別式時，其求根公式為：；當時，設一元二次方程的兩根為，有：，；根與系數的這種關系又稱為韋達定理；它的逆定理也是成立的，即當，時，那么則是方程的兩根。一元二次方程的根與系數的關系，綜合性強，應用極為廣泛，在中學數學中占有極重要的地位，也是數學學習中的重點。學習中，除了要求熟記一元二次方程根的判別式存在的三種情況外，還常常要求應用韋達定理解答一些變式題目，以及應用求根公式求出方程的兩個根，進而分解因式，即。下面就對韋達定理的應用可能出現的問題舉例做些分析，希望能帶來小小的幫助。一、根據判別式，討論一元二次方程的根。例1：已知關于x的方程

2、(1)有兩個不相等的實數根，且關于x的方程(2)沒有實數根，問a取什么整數時，方程(1)有整數解？分析：在同時滿足方程(1)，(2)條件的a的取值范圍中篩選符合條件的a的整數值。解： 說明：熟悉一元二次方程實數根存在條件是解答此題的基礎，正確確定a的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出a，這是解答本題的基本技巧。二、判別一元二次方程兩根的符號。例2：不解方程，判別方程兩根的符號 。判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數的關系”結合起來進行確定，倘若由題中，所以可判定方程的根為一正一負；倘若，仍需考慮的正負，倘若，則方程有兩個正數根；倘若，則方程

3、有兩個負數根。解：說明：對于來說，往往二次項系數，一次項系數，常數項皆為已知，可據此求出根的判別式，但只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負，則需要確定 或的正負情況。因此解答此類題的關鍵是：既要求出判別式的值，又要確定 或的正負情況。三、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數的值。例3：已知方程的一個根為2，求另一個根及m的值。 分析：此類題通常有兩種解法：一是根據方程根的定義，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數的關系求出另一個根及m的值。解法一： 解法二：  例4：已

4、知方程有兩個實數根，且兩個根的平方和比兩根的積大21，求m的值。分析：本題若利用轉化的思想，將等量關系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉化為關于m的方程，即可求得m的值。 解：說明：當利用根與系數的關系求出m后，還需注意使用韋達定理的必要條件，應舍去不合題意的m。四、運用判別式及根與系數的關系解題。例5：已知是關于x的一元二次方程的兩個非零實數根，問和能否同號？若能同號，請求出相應的m的取值范圍；若不能同號，請說明理由。解：   說明：一元二次方程根與系數的關系深刻揭示了一元二次方程中根與系數的內在聯系，是分析研究有關一元二次方程根的問題的重要工具，也

5、是計算有關一元二次方程根的計算問題的重要工具。知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯系的試題出現頻率很高，是重點練習的內容。五、運用一元二次方程根的意義及根與系數的關系解題。 例6：已知是方程的兩個實數根，求的值。分析：本題可充分運用根的意義和根與系數的關系解題，應摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡解。解法一： 解法二： 說明：既要熟悉問題的常規(guī)解法，也要隨時想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重要標志，是努力的方向。有關一元二次方程根的計算問題，當根是無理數時，運算將十分繁瑣，這時，如果方程的系數是有理數，利用根與系數的關系解題可起

6、到化難為易、化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力。 六、運用一元二次方程根的意義及判別式解題。 例7：已知兩方程和至少有一個相同的實數根，求這兩個方程的四個實數根的乘積。分析：可設兩方程的相同根為，根據根的意義，可以構成關于和m的二元方程組，得解后再由根與系數的關系求值。解：說明：本題的易錯點為求解出關于、m的二元方程組后，忽略m對方程和判別式的討論。與韋達定理綜合訓練一、填空題： 1、如果關于x的方程的兩根之差為2，那么k=         &

7、#160;  。  2、已知關于x的一元二次方程兩根互為倒數，則a=            。 3、已知關于x的方程的兩根為，且，則m=            。 4、已知是方程的兩個根，那么：            ；  

8、60;         ；            。  5、已知關于x的一元二次方程的兩根為，且，則m=            ；            。  6、如果關

9、于x的一元二次方程的一個根是，那么另一個根是            ，a的值為            。  7、已知是的一根，則另一根為            ，k的值為       

10、60;    。 8、一個一元二次方程的兩個根是和，那么這個一元二次方程為：            。 二、求值題：  1、已知是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求的值。 2、已知是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求的值。 3、已知是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求的值。  4、已知兩數的和等于6，這兩數的積是4，求這兩數。 5、已知關于x的方程的兩根滿足關系式，求m的值及方程的兩個根。  6、已知方程和有一

11、個相同的根，求m的值及這個相同的根。三、能力提升題：  1、實數k為何值時，方程有正的實數根？  2、已知關于x的一元二次方程 (1)求證：無論m取什么實數值，這個方程總有兩個不相等的實數根。 (2)若這個方程的兩個實數根滿足，求m的值。 3、若，關于x的方程有兩個相等的正的實數根，求的值。 4、是否存在實數k，使關于x的方程的兩個實根，滿足，如果存在，試求出滿足條件的k的值，如果不存在，請說明理由。 5、已知關于x的一元二次方程的兩實數根為，若，求m的值。  6、實數m、n分別滿足方程和，求代數式 的值。 答案與提示：&#

12、160;一、填空題：  1、提示：， ，解得：  2、提示：，由韋達定理得：， 解得：，代入檢驗，有意義，。  3、提示：由于韋達定理得：， ，解得：。  4、提示：由韋達定理得：， ；由，可判定方程的兩根異號。有兩種情況：設0，0，則；設0，0，則。 5、提示：由韋達定理得：，。 6、提示：設，由韋達定理得：，解得：，即。 7、提示：設，由韋達定理得：， 8、提示：設所求的一元二次方程為，那么，即；設所求的一元二次方程為： 2、 求值題： 1、提示：由韋達定理得：， 2、   3、提

13、示：由韋達定理得：，  4、提示：由韋達定理得：， 5、提示：設這兩個數為，于是有，因此可看作方程的兩根，即，所以可得方程：，解得：，所以所求的兩個數分別是，。  6、提示：由韋達定理得，化簡得：；解得：，；以下分兩種情況： 當時，組成方程組： ；解這個方程組得：； 當時，組成方程組：；解這個方程組得：  7、提示：設和相同的根為，于是可得方程組：；得：，解這個方程得：；以下分兩種情況：（1）當時，代入得（2）當時，代入得。所以和相同的根為，的值分別為，。 三、能力提升題：  1、提示：方程有正的實數根的條件必須同時具備：判別式0；0，0；于是可得不等式組：  解這個不等式組得：1 2、提示：（1）的判別式0，所以無論取什么實數值，這個方程總有兩個不相等的實數根。（2）利用韋達定理，并根據已知條件可得：解這個關于的方程組，可得到：，由于，所以可得，解這個方程，可得：，；&