初中數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽講座第25講奇數(shù)、偶數(shù)與奇偶分析

1、第二十五講 奇數(shù)、偶數(shù)與奇偶分析整數(shù)按能否被2整除分為兩大類：奇數(shù)和偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)有下列基本性質(zhì)：1奇數(shù)偶數(shù)2兩個整數(shù)相加(減)或相乘，結(jié)果的奇偶性如下表所示 3若干個奇數(shù)之積是奇數(shù)，偶數(shù)與任意整數(shù)之積是偶數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和為偶數(shù)，若干個偶數(shù)的和為偶數(shù)4設(shè)m、n是整數(shù)，則m土n，的奇偶性相同 5設(shè)m是整數(shù)，則m與，mn的奇偶性相同奇偶性是整數(shù)的固有屬性，通過分析整數(shù)的奇偶性來解決問題的方法叫奇偶分析法例題 【例1】 三個質(zhì)數(shù)之和為86，那么這三個質(zhì)數(shù)是 (“希望杯”邀請賽試題)思路點撥 運用奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)性質(zhì)，從分析三個加數(shù)的奇偶性人手 注： 18世紀(jì)的哥尼斯堡，有7座橋把這兒的普雷

2、格爾河中兩個小島與河岸聯(lián)系起來，在這迷人的地方，人們議論著一個有趣的問題一個游人怎樣才能不重復(fù)地一次走遍7座橋，而最后又回到出發(fā)點 1736年彼得堡院士歐拉巧妙地解決了這個問題歐拉把一個復(fù)雜的實際問題化為一個簡單的幾何圖形，他指出只要我們能從一點出發(fā)，不重復(fù)地一筆把這樣的圖形畫出來，那么就可說明游人能夠不重復(fù)地一次走遍這7座橋，這就是著名的“一筆畫”問題的來歷利用奇偶分析不難得到一般的結(jié)論：凡是能一筆畫成的圖形，它上面除了起點和終點外的每一個點總是一筆進來，一筆出去因此，除了起點和終點外的每一個點都有偶數(shù)條線和它相連 簡單地說，當(dāng)且僅當(dāng)圖形中的奇結(jié)點(每點出發(fā)有奇數(shù)字線)的個數(shù)不大于2時，這個

3、圖形才能一筆畫【例2】 如果a、b、c是三個任意的整數(shù)，那么（ ） A都不是整數(shù) B至少有兩個整數(shù) C至少有一個整數(shù) D都是整數(shù) (2001年TI杯全國初中數(shù)學(xué)競賽題)思路點撥 舉例驗證或從a、b、c的奇偶性說明 【例3】 (1)設(shè)1，2，3，9的任一排列為al，a2，a3，a9求證：(all一1)( a2 2)(a99)是一個偶數(shù) (2)在數(shù)11，22，33，44，54，20022002，20032003，這些數(shù)的前面任意放置“+”或“一”號，并順次完成所指出的運算，求出代數(shù)和，證明：這個代數(shù)和必定不等于2003思路點撥 (1)轉(zhuǎn)換角度考察問題，化積的奇偶性為和的奇偶性來研究；(2)由于任意

4、添“十”號或“一”號，形式多樣，因此不可能一一嘗試再作解答，從奇數(shù)、偶數(shù)的性質(zhì)人手【例4】已知都是+1或一1，并且，求證：n是4的倍數(shù) 思路點撥 可以分兩步，先證n是偶數(shù)2k，再證明k是偶數(shù)，解題的關(guān)鍵是從已知等式左邊各項的特點受到啟發(fā)，挖掘隱含的一個等式 【例5】 游戲機的“方塊”中共有下面?種圖形每種“方塊”都由4個l×l的小方格組成現(xiàn)用這7種圖形拼成一個7× 4的長方形(可以重復(fù)使用某些圖形) 問：最多可以用這7種圖形中的幾種圖形? 思路點撥 為了形象化地說明問題，對7×4的長方形的28個小方格黑白相間染色，除“品字型”必占3個黑格1個白格或3個白格1個黑格

5、，其余6個方格各占2個黑格2個白格 注：對同一個數(shù)學(xué)對象，從兩個方向考慮(n項和與積)，再將這兩個方面合在一起整體考慮，得出結(jié)論，這叫計算兩次原理，通過計算兩次可以建立方程，證明恒等式等 在一定的規(guī)則下，進行某種操作或變換，問是否(或證明)能夠達到一個預(yù)期的目的，這就是所謂操作變換問題，此類問題變化多樣，解法靈活，解題的關(guān)鍵是在操作變換中，挖掘不變量，不變性一些非常規(guī)數(shù)字問題需要恰當(dāng)?shù)財?shù)學(xué)化，以便計算或推理引入字母與賦值法是數(shù)學(xué)化的兩種常用方式方法所謂賦值法就是在解題時，將問題中的某些元素用適當(dāng)?shù)臄?shù)表示，然后利用這些數(shù)值的大小，正負(fù)性、奇偶性等進行推理論證的一種解題方法 【例6】桌上放著七只杯

6、子；杯口全朝上，每次翻轉(zhuǎn)四個杯子：問能否經(jīng)過若干次這樣的翻動，使全部的杯子口都朝下? 思路點撥 這不可能我們將口向上的杯于記為：“0”，口向下的杯子記為“1”開始時，由于七個杯子全朝上，所以這七個數(shù)的和為0，是個偶數(shù)一個杯子每翻動一次，所記數(shù)由0變?yōu)?，或由l變?yōu)?，改變了奇偶性每一次翻動四個杯子，因此，七個之和的奇偶性仍與原來相同所以，不論翻動多少次，七個數(shù)之和仍為偶數(shù)而七個杯子全部朝下，和為7，是奇數(shù)，因此，不可能 整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類 【例7】在1，2，3，2005前面任意添上一個正號或負(fù)號，它們的代數(shù)和是奇數(shù)還是偶數(shù)? 思路點撥 兩個整數(shù)之和與這兩個整數(shù)之差的奇偶性相同，只要知道

7、1+2+3+2005的奇偶性即可 因兩個整數(shù)的和與差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，2005中每個數(shù)前面添上正號或負(fù)號，其代數(shù)和應(yīng)與1+2+3+2005的奇偶性相同，而1+2+3+2005=(1+ 2005)×2005=1003 ×2005為奇數(shù)；因此，所求代數(shù)和為奇數(shù) 注：抓住“a+b與ab奇偶性相同”，通過特例1十2十3十十2005得到答案 【例8】“ 元旦聯(lián)歡會上，同學(xué)們互贈賀卡表示新年的：良好祝愿“無論人數(shù)是什么數(shù)，用來交換的賀卡的張數(shù)總是偶數(shù)”這句話正確嗎?試證明你的結(jié)論 思路點撥 用分類討論的思想方法，從“無論人數(shù)是什么數(shù)”入手，考慮人數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)的兩種情況

8、 這句話是正確的下面證明之 若聯(lián)歡會上的人數(shù)為偶數(shù)，設(shè)為2m (m為整數(shù))，則每個人贈送給同學(xué)們的賀卡張數(shù)為奇數(shù)，即(2m1)那么，賀卡總張數(shù)為2m(2m1)=4m2-2m，顯然是偶數(shù) 若聯(lián)歡會上的人數(shù)為奇數(shù)，設(shè)為2m+1(m為整數(shù)，則每個人贈送給同學(xué)們的賀卡張數(shù)應(yīng)是2m，為偶數(shù)賀卡總張數(shù)為(2m+1)·2m，仍為偶數(shù) 故“用來交換的賀卡張數(shù)總是偶數(shù)”是對的 注：按奇數(shù)和偶數(shù)分類考慮問題是常見的解決此類問題的策略之一 【例9】桌面上放有1993枚硬幣，第1次翻動1993枚，第2次翻動其中的1992枚，第3次翻動其中的1991枚，第1993次翻動其中一枚，試問：能否使桌面上所有的199

9、3枚硬幣原先朝下的一面都朝上?并說明理由 思路點撥 若要把一枚硬幣原先朝下的一面朝上，應(yīng)該翻動該硬幣奇數(shù)次因此，要把1993枚硬幣原先朝下的一面都朝上，應(yīng)該翻動這1993枚硬幣的總次數(shù)為奇數(shù)現(xiàn)在1993次翻動的總次數(shù)為1+2+3+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997是個奇數(shù)，故猜想可以使桌面上1993枚硬幣原先朝下的一面都朝上 理由如下：按規(guī)定，1993次翻動的總次數(shù)為1+2+3+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻動的次數(shù)為奇數(shù)，而且可見每個硬幣平均翻動了997次而事實上，只要翻動一枚硬幣奇數(shù)次，就能

10、使這枚硬幣原先朝下的一面朝上按如下的方法進行翻動： 第1次翻動全部1993枚， 第2次翻動其中的1992枚，第1993次翻動第2次未翻動的那1枚， 第3次翻動其中的1991枚，第1992次翻動第3次未翻動的2枚， 第997次翻動其中的997枚，第998次翻動第997次未翻動的996枚 這樣，正好每枚硬幣被翻動了997次，就能使每一枚硬幣原來朝下的一面都朝上 注：靈活、巧妙地利用奇?zhèn)z性分析推理，可以解決許多復(fù)雜而有趣的問題，并有意想不到的效果 【例10】在6張紙片的正面分別寫上整數(shù)：1、2、3、4、5、6，打亂次序后，將紙片翻過來，在它們的反面也隨意分別寫上1-6這6個整數(shù)，然后，計算每張紙片的

11、正面與反面所寫數(shù)字之差的絕對值，得出6個數(shù)請你證明：所得的6個數(shù)中至少有兩個是相同的 思路點撥 從反面人手，即設(shè)這6個數(shù)兩兩都不相等，利用與 (=1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同，引入字母進行推理證明 設(shè)6張卡片正面寫的數(shù)是，反面寫的數(shù)對應(yīng)為，則這6張卡片正面寫的數(shù)與反面寫的數(shù)的絕對值分別為，設(shè)這6個數(shù)兩兩都不相等，則它們只能取0，1，2，3，4，5這6個值 于是+=0+1+2+3+4+5=15是個 奇數(shù)另一方面，與 (=1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同所以+與(a1一b1)+(a2一b2)+(a3一b3)+(a4一b4)+(a5一b5)+(a6一b6)= 一 =(1+2+3+4+5+

12、6)一(1+2+3+4+5+6)=O的奇偶性相同，而0是個偶數(shù)，15是奇數(shù)，兩者矛盾 所以，這6個數(shù)中至少有兩個是相同的 注：反證法是解決奇、偶數(shù)問題中常用的方法 【例11】有一只小渡船往返于一條小河的左右兩岸之間，問： (1)若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么這只小船過河的次數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)? 如果它最后到了右岸，情況又是怎樣呢? (2)若小船最初在左岸，它過河99次之后，是停在左岸還是右岸? 思路點撥 (1)小船最初在左岸，過一次河就到了右岸，再過一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出發(fā)到右岸后再回到左岸，都過了兩次河因此，小船由左岸開始，往返多次后又回到左岸，則過河的次

13、數(shù)必為2的倍數(shù)，所以是偶數(shù)同樣的道理，不難得出，若小船最后停在右岸，則過河的次數(shù)必為奇數(shù) (2)通過(1)，我們發(fā)現(xiàn)，若小船最初在左岸，過偶數(shù)次河后，就回到左岸；過奇數(shù)次河后，就停在右岸現(xiàn)在小船過河99次，是奇數(shù)次因此，最后小船該停在右岸 注 關(guān)鍵是對過河次數(shù)的理解：一個單程，即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就過河一次；往返一個來回就過河兩次 【例12】黑板上寫了三個整數(shù)，任意擦去其中一個，把它改寫成另兩個數(shù)的和減去1，這樣繼續(xù)下去，得到1995、1996、1997，問原來的三個數(shù)能否是2、2、2？ 思路點撥 如果原來的三個整數(shù)是2、2、2，即三個偶數(shù)，操作一次后，三個數(shù)變成二偶一奇，這時如果

14、擦去其中的奇數(shù)，操作后三個數(shù)仍是二偶一奇如果擦去的是其中的一個偶數(shù)，操作后三個數(shù)仍是二偶一奇因此，無論怎樣操作，得到的三個數(shù)都是二偶一奇，不可能得到1995、1996、1997 所以，原來的三個數(shù)不可能是2、2、2注 解決本題的訣竅在于考查數(shù)字變化后的奇偶性【例13】(蘇州市中考題)將正偶數(shù)按下表排成五列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 28 26 根據(jù)上面的排列規(guī)律，則2000應(yīng)位于( )A第125行，第1列 B第125行，第2列 C第250行，第1列 D第250行，第2列 思路點撥 觀察表格，

15、第1行最右邊的數(shù)為8，第2行最左邊的數(shù)為16，第3行最右邊的數(shù)為24，于是可猜測：當(dāng)行數(shù)為奇數(shù)時，該行最右邊的數(shù)為8×行數(shù)；當(dāng)行數(shù)為偶數(shù)時，該行最左邊的數(shù)為8×行數(shù)通過驗證第4行、第5行、第6行知，上述猜想是正確的，因為2000=8×250，所以2000應(yīng)在第250行，又因為250為偶數(shù)，故2000應(yīng)在第250行最左邊，即第250行第1列，故應(yīng)選C 注：觀察、尋找規(guī)律是解決這類問題的妙招 【例14】(2000年山東省競賽題)如圖181，兩個標(biāo)有數(shù)字的輪子可以分別繞輪子的中心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)停止時，每個輪子上方的箭頭各指著輪子上的一個數(shù)字若左輪子上方的箭頭指著的數(shù)字為a，

16、右輪子上方的箭頭指著的數(shù)字為b，數(shù)對(a，b)所有可能的個數(shù)為n，其中a+b恰為偶數(shù)的不同數(shù)對的個數(shù)為m，則等于( ) A B C D 思路點撥 依題意可知所有的數(shù)對n=4×3=12，其中a+b恰為偶數(shù)的數(shù)對m=3×1+1×2=5因此，=，故選C 【例15】(第江蘇省競賽題)已知a、b、c中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)，n是整數(shù)，如果S=(a+2n+1)(b+2n十2)(c+2n十3)，那么( )AS是偶數(shù) BS是奇數(shù) CS的奇偶性與n的奇偶性相同 D S的奇偶性不能確定 思路點撥 弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可依題得：(a+2n+1)+(b+2

17、n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1) a+b+c為偶數(shù)，6(n+1)為偶數(shù)， a+b+c+6(n+1)為偶數(shù) a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一個為偶數(shù)，S是偶數(shù)故選A 注：三個數(shù)的和為偶數(shù)，則至少有一個為偶數(shù)；三個數(shù)中有一個為偶數(shù)，則三數(shù)之和為偶數(shù) 學(xué)力訓(xùn)練1若按奇偶性分類，則12+22+32+20022002是 數(shù)2能不能在下式， 的各個方 框中分別填入“+”號或“一”號，使等式成立?答： 3已知三個質(zhì)數(shù)a、b、c滿足a+b+c+abc99，那么的值等于 4已知n為整數(shù)，現(xiàn)有兩個代數(shù)式：(1)2n+3，(2)4n一1，其中，能表示“任意奇數(shù)”的( ) A只有

18、(1) B只有(2) C有(1)和(2) D一個也沒有5如果a，b，c都是正整數(shù)，且a，b是奇數(shù)，則3a+(b一1)2c是( ) A只當(dāng)c為奇數(shù)時，其值為奇數(shù) B只當(dāng)c為偶數(shù)時，其值為奇數(shù) C只當(dāng)c為3的倍數(shù)，其值為奇數(shù) D無論c為任何正楚數(shù)，其值均為奇數(shù)6已知a，b，c 三個數(shù)中有兩個奇數(shù)、一個偶數(shù)，n是整數(shù)，如果S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3)，那么( )A S是偶數(shù) BS是奇數(shù) CS的奇偶性與n的奇偶性相同 DS的奇偶性不能確定(第16屆江蘇省競賽題)7(1)是否有滿足方程x2y2=1998的整數(shù)解x和y?如果有，求出方程的解；如果沒有，說明理由 (2)一個立方體的頂

19、點標(biāo)上+1或一1，面上標(biāo)上一個數(shù)，它等于這個面的4個頂點處的數(shù)的乘積，這樣所標(biāo)的14個數(shù)的和能否為0?8甲、乙兩人玩紙牌游戲，甲持有全部的紅桃牌(A作1，J，Q，K分別作11，12，13，不同)，乙持有全部的黑桃牌，兩人輪流出牌，每次出一張，得到一對牌，出完為止，共得到13對牌，每對牌彼此相減，問這13個差的乘積的奇偶性能否確定?9在1，2，3，,1998之前任意添上“十”或“一”號，然后相加，這些和中最小的正整數(shù)是 101，2，3，98共98個自然數(shù)，能夠表示成兩整數(shù)平方差的數(shù)的個數(shù)是 (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)11在一次象棋比賽中，每兩個選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分，平局每個選手各記1分，今有4個人統(tǒng)計百這次比賽中全部得分總數(shù)，由于有的人粗心，其數(shù)據(jù)各不相同，分別為1979，1980，1984，1985，經(jīng)核實，其中有一人統(tǒng)計無誤，則這次比賽共有 名選手參加12已知p、q、pq+1都是質(zhì)數(shù)，且p一q>40，那么滿足上述條件的最小質(zhì)數(shù)p ；q (第15屆“希望杯”邀請賽試題)13設(shè)a，b為整數(shù)，給出下列4個結(jié)論： (1)若a+5b是偶數(shù)，則a一3b是偶數(shù)； (2)若a十5b是偶數(shù)，則a一3b是奇數(shù)；(3)若a+5b是奇數(shù)