余弦定理及其應(yīng)用

1、余弦定理及其應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】【知識與技能目標(biāo)】(1) 了解并掌握余弦定理及其推導(dǎo)過程.(2) 會利用余弦定理來求解簡單的斜三角形中有關(guān)邊、角方面的問題.(3) 能利用計(jì)算器進(jìn)行簡單的計(jì)算(反三角)【過程與能力目標(biāo)】(1) 用向量的方法證明余弦定理，不僅可以體現(xiàn)向量的工具性，更能加深對向量 知識應(yīng)用的認(rèn)識.(2) 通過引導(dǎo)、啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并且順利推導(dǎo)出余弦定理的過程，培養(yǎng)學(xué)生 觀察與分析、歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維能力.【情感與態(tài)度目標(biāo)】通過三角函數(shù)、余弦定理、向量數(shù)量積等知識間的聯(lián)系，來體現(xiàn)事物之間的普遍 聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.【教學(xué)重點(diǎn)】余弦定理的證明及應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】(1)用向量知識

2、證明余弦定理時的思路分析與探索.(2)余弦定理在解三角形時的應(yīng)用思路.【教學(xué)過程】、引入問：在 RtKBC 中，若 C= 900，答：c2 a2 b2問：若CKO0，三邊之間是否還滿足上述關(guān)系?答：應(yīng)該不會有了！問：何以見得？答：假如a,b不變，將A、B往里壓縮，則Cv 9O0，且c2 a2 b2;同理，假如a,b不變，將A、B往外拉伸，則C> 9O0 師：非常正確！那么，這樣的變化有沒有什么規(guī)律呢？ 答：規(guī)律肯定會有，否則，您就不會拿它來說事了.問：仔細(xì)觀察，然后想想，至V底會有什么規(guī)律呢?答：有點(diǎn)象向量的加法或減法，b c a或a b c.【探求】設(shè)ABC的三邊長分別為a,b,c，由

3、于AC AB BCAC? AC (AB BC)?(AB BC)2即 AC AB? AB 2AB?BC BC?BC2AB 2 AB BC cos(1800 B)2BCc2 2ac cos B a2 即 b2 a2 c2 2accosB問：仔細(xì)觀察這個式子，你能否找出它的內(nèi)在特點(diǎn)？ 答：能！式子中有三邊一角，具體包括如下三個方面:第一、左邊是什么邊，右邊就是什么角；第二、左邊有什么邊，右邊就沒有什么邊；第三、邊是平方和，乘積那里是“減號”師：很好！那么，你能否仿照這個形式寫出類似的另外兩個？答：可以！它們是：a2 b2 c 2bccosA和 c2 a2 b2 2abccosC .【總結(jié)】這就是我們

4、今天要講的余弦定理，現(xiàn)在，讓我們來繼續(xù)研究它的結(jié)構(gòu) 特點(diǎn)以及其應(yīng)用問題.板書課題余弦定理及其應(yīng)用二、新課（一）余弦定理的文字表述：三角形的任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的 余弦的積的兩倍.（二）余弦定理的另一種表述形式：a b2 c2 a2a2 c2 b2a2 b2 c2cos A； cosB； cosC2bc '2ac '2ab（三）歸納1. 熟悉定理的結(jié)構(gòu)，注意“平方” “夾角” “余弦”等；2. 每個式子中都有四個量，知道其中的三個就可以求另外的一個；3. 當(dāng)夾角為90° （即三角形為直角三角形）時即為勾股定理（特例）.（四）余弦定理的適

5、用范圍1. 已知三邊求角；2. 已知兩邊及其夾角求第三邊.三、應(yīng)用例1 .在AABC中，已知a 7,b 5,c 3，求這個三角形的最大內(nèi)角.【分析】根據(jù)大邊對大角的原則，知：A為最大.12 ,.*12。0,解：由a b c ABC ,A b2 c2 a225 9 49cos A2bc2 5 33,b4,c.37，求三角形的最大內(nèi)角.即該三角形的最大內(nèi)角等于1200 .練習(xí)1 .已知AABC的三邊長分別是a答案：1200 .思考：已知 ABC的三邊長為a, b, c,如何判斷該三角形的 形狀？提示：求出與最大邊相對應(yīng)的角的余弦值，再與0進(jìn)行比較，判定標(biāo)準(zhǔn)如下: 若0,則為銳角三角形； 若=0 ,

6、則為直角三角形； 若V0,則為鈍角三角形.例 2 .在/ABC 中，a 2 .3,c.6【分析】已知兩邊夾角，可以用公式 b22，B才求b及A .a2 c2 2accosB直接求出b ；然后 222用公式cosA 弋汁即可求出角A.解：由 b2 a2 c2 2accosB 得:b2（23）2（6 . 2）2又VcosA2 2 2b c a2bc2 2 3（ 62）c0S； 8,（2、2）2（.6、2）2（2.3）2例3 .已知ABC中，a: b: c 2 : .6:(.3 1)，解此三角形.【分析】知道邊的比值，可以設(shè)其公約數(shù)為k,因?yàn)?，在后面的運(yùn)算中又可以同時 約分將其約掉，原則上一般先求最

7、小的角；當(dāng)然，也可以先求最大的角.解法一：設(shè)其三邊的公約數(shù)為k，則a 2k,b . 6k, c C. 3 1)k，由 cos A.2 2 2b c aA得 cosA 2bc 得(、6k)2 (.3 1)k2(2k)22 、6k (；3 1)kA 45°由 cosB2 .2c b得 cos B2ac(2k)2 (3 1)k2 G，6k)22 2k G3 1)k/B= 6°°因此 C= 18°° (A B) 18°°(45°6°°)75° .解法二：設(shè)其三邊的公約數(shù)為k，則a 2k,b .

8、 6k, c C3 1)k，2 . 2 2a b c宀由 cosC得 cosC由2ab 得(2 k)2(6k)2 (3 1)k22 2k 6k即 cosC6 12，(此時可用計(jì)算器的第二功能求的反余弦)2-2 3 212 2 2 cos45° cos3°° cos(45°3°°)2sin 45° sin 30° cos750C= 75°2 a 由 cos B2 2c b得 cos B2ac 得(2k)2 (、3 1)k2 G 6k)212 2k G3 1)k.B= 6°° ;.A= 1

9、8°° (B C) 18°°(6O075°)45°.例 4 .已知ABC 中，A 120O,a7,b c8,求b,c及 B .【分析】這種題型一般都要?dú)w結(jié)為解方程組.解：由 a2 b2 c2 2bc cos A得 T b2 c2 2bccos12°°，由b bee 815be5或 e5，分類討論如下：222aeb當(dāng)b5時，a7,e3，由eosB2ae刁曰得:72325211eosBB38.2°2731422.2aeb當(dāng)b3時，a7,e5，由eosB2ae刁曰得:72523213eosBB21.8°27514即 b2 c2 be 49即 b 5,e3, B 38.2°或 b 3,e5, B 21.8°2 2(b e) be 49 be 84915,練習(xí) 2 .在/ABC 中，A C 2B,a e 8,ae 15，求 b .提示： B 60°,b2 a2 e2 2accosB (a e)2 3ae 19,Ab . 19 .練習(xí)3 .在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D