圓的有關概念和性質總結

1、圓的有關概念和性質知識考點：1、理解圓的定義，掌握點與圓的位置關系；2、理解弦、弧、半圓、優(yōu)弧、同心圓、等圓、等弧、弓形、圓心角、圓周角等與圓有關的概念；3、掌握圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系，并會運用這些關系解決一些幾何證明題和計算題。圓的形成性描述：在一個平面內，線段OA繞它固定的O一端旋轉一周，另一端點A所形成的圖形叫做圓，固定的端點叫做圓心，線段OA叫做半徑。以點O為圓心的圓記作“ ”1.圓是定點的距離等于定長的點的集合2、圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合3、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)

2、弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經過圓心的弦叫做直徑4、同圓或等圓的半徑相等5、和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線6、到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線7、到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線8、不在通一條直線上的三點確定一個圓垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧12、推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等

3、13、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形14、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等圓心角定義：頂點在圓心上，角的兩邊與圓周相交的角叫圓心角圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對的弦心距也相等。推論：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等。圓周角定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做

4、圓周角。圓周角定理：同弧或等弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半。這一定理叫做圓周角定理。定理證明已知在O中，BOC與圓周角BAC同對弧BC，求證：BOC=2BAC.證明：情況1：如圖1，當圓心O在BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：  圖1OA、OC是半徑解：OA=OCBAC=ACO（等邊對等角）BOC是AOC的外角BOC=BAC+ACO=2BAC情況2：如圖2,，當圓心O在BAC的內部時：連接AO，并延長AO交O于D   圖2OA、OB、OC是半徑解：OA=OB=OCBAD=ABO，CAD=ACO（等邊對等角）BOD、COD分別是AOB、AO

5、C的外角BOD=BAD+ABO=2BADCOD=CAD+ACO=2CADBOC=BOD+COD=2(BAD+CAD)=2BAC情況3：如圖3，當圓心O在BAC的外部時：   圖3連接AO，并延長AO交O于D解：OA、OB、OC、是半徑BAD=ABO（等邊對等角）,CAD=ACO(OA=OC）DOB、DOC分別是AOB、AOC的外角DOB=BAD+ABO=2BADDOC=CAD+ACO=2CADBOC=DOC-DOB=2(CAD-BAD)=2BAC定理推論：1.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；2.圓周角的度數等于它所對的弧度數的一半；3.在同圓或等圓中，同弧或等弧

6、所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等。4.半圓（直徑）所對的圓周角是直角。5.90°的圓周角所對的弦是直徑。注意：在圓中，同一條弦所對的圓周角有兩個，一個是優(yōu)弧所對的角，一個是劣弧所對的角一、點和圓的位置關系1、如果圓的半徑為r，已知點到圓心的距離為d，則可用數量關系表示位置關系(1)dr點在圓外；(2)d=r點在圓上；(3)dr點在圓內2、確定圓的條件不在同一直線上的三個點確定一個圓3、三角形的外接圓（1）定義：經過三角形的三個頂點可以做一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓三角形的外心：外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接

7、三角形(2)三角形外心的性質：三角形的外心是外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點，它到三角形各頂點的距離相等三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是惟一的，但一個圓的內接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合銳角三角形的外心在三角形內直角三角形的外心在斜邊的中點鈍角三角形的外心在三角形外4、三角形的內切圓與三角形的內心與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心這個三角形叫做圓的外切三角形三角形的內心就是三角形三條內角平分線的交點，三角形的內心到三邊的距離相等直角三角形的內心公式：r（abc）/2（a、b為直角三角形的兩條直角邊，c為斜邊）

8、 三角形的內心公式：r2s/l（s為三角形的面積，l為三角形的周長5、反證法(1)定義：從命題結論的反面出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾，從而證明命題成立，這種方法叫做反證法(2)反證法證明命題的一般步驟反設：作出與結論相反的假設；歸謬：由假設出發(fā)，利用學過的公理、定理推出矛盾；作結論：由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確二、直線和圓的位置關系(1)直線與圓的位置關系有關概念相交與割線：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線切線與切點：直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點相離，當直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離(

9、2)用數量關系判斷直線與圓的位置關系如果O的半徑為r，圓心O到直線L的距離為d，那么：(1)直線l和O相交dr(如圖(1)所示)；(2)直線l和O相切d=r(如圖(2)所示)；(3)直線l和O相離dr(如圖(3)所示)3、切線切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑切線長：圓的切線上某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角三、圓和圓的位置關系1)圖示定義法(交點數)相離：如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，如上圖(1)、(5

10、)、(6)所示，其中(1)又叫做外離，(5)(6)叫做內含；相切：如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，如圖(2)、(3)所示，其中(2)叫外切，(3)叫內切；相交：如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交，如圖(4)所示注意：圓與圓的位置關系按公共點的個數可分為0，1，2三大類即：()沒有公共點：()有惟一公共點：()有兩個公共點：相交(2)用數量關系判斷兩圓的位置關系當兩圓的半徑一定時，兩圓的位置關系與兩圓圓心的距離(圓心距)的大小有關，設兩圓半徑分別為R和r(Rr)，圓心距為d，則：(1)兩圓外離dRr；(2)兩圓外切d=Rr；(3)兩圓相交RrdRr；(4)兩圓內切d=R

11、r；(5)兩圓內含dRr二、重難點知識歸納與圓有關的位置關系的判斷是重點，切線的判定和性質是重點也是難點三、典型例題剖析例1、如圖，已知矩形ABCD中，AB=3cmAD=4cm若以A為圓心作圓，使B、C、D三點中至少有一點在圓外，且至少有一點在圓內，求A的半徑r的取值范圍解：矩形ABCD中，B=90°，AB=3cm，BC=AD=4cm，AC=5cm，其中點B到點A的距離最小，點C到點A的距離最大若以AB為半徑作圓，則沒有點在A內；若以AC為半徑作圓，則沒有點在A外故A的半徑r的取值范圍是3cmr5cm點撥：這里是由點與圓的位置確定半徑r的大小本例還要注意“至少”一詞的理解例2、閱讀下

12、列文字：在RtABC中，C=90°，若A45°，則ACBC證明：假設AC=BCA45°，C=90°，ABACBC，這與題設矛盾，ACBC上面的證明有沒有錯誤，若沒有錯誤，指出其證明方法是什么？若有錯誤，請給予指正解：有錯誤改正如下：假設AC=BC，則A=B，又C=90°，B=A=45°，這與A45°矛盾AC=BC不成立ACBC點撥：運用反證法證題應從“假設”出發(fā)，即把假設當作已知條件，一步步有根據地推出與定義、定理、公理或已知矛盾的結論，從而判定“假設”不成立，進一步肯定命題的結論例3、如圖，直角梯形ABCD中，A=B=90

13、°，ADBC，E為AB上一點，DE平分ADC，CE平分BCD，以AB為直徑的圓與邊CD有怎樣的位置關系？解：以AB為直徑的圓與CD是相切關系理由如下：如圖，過E作EFCD，垂足為FA=B=90°，EAAD，EBBC.DE平分ADC，CE平分BCD，以AB為直徑的圓的圓心為E，且，以AB為直徑的圓與邊CD相切點撥：在證明直線與圓的位置關系時，常過圓心向直線作垂線段，再比較垂線段與半徑的大小即可例4、已知：AB是O的直徑，BC是O的切線，切點為B，OC平行于弦AD(如圖)求證：DC是O的切線證明：連結ODBC是O的切線，OBC=90°ODC=90°ODDC.

14、DC是O的切線點撥：已知點B是切點，連結OB得OBBC，要證CD是切線，也要連結OD，證ODCD，再溝通已知與未知的聯(lián)系即可例5、如圖，AB是O的直徑，AD、BC、CD是O的切線，切點分別是A、B、E，DO、AE相交于點F，CO、BE相交于點G求證：(1)CODO；(2)四邊形EFOG是矩形分析：(1)欲證CODO，只需證明ODCOCD=90°根據切線長定理，得再由切線的性質定理，不難得ADBC，從而ADCBCD=180°，(1)獲證(2)仍由切線長定理，可證AEDO，BECO而AEB=90°，(2)獲證證明：(1) AB是O的直徑，AD、BC是O的切線，ADAB

15、，BCABADBCADCBCD=180°又由切線長定理，得ODCOCD=90°，即DOC=90°故CODO(2)DA、DE與O相切于點A、E，DA=DEAEDOEFO=90°同理，EGO=90°又DOC=90°，四邊形EFOG是矩形點評：在有關圓的問題，切線長定理與切線的性質定理的綜合應用往往是證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系的重要依據例6、已知O1與O2的半徑分別為R，r，且Rr，r是方程x26x3=0的兩根設O1O2=d，那么：若d=7，試判定O1與O2的位置關系；若，試判定O1與O2的位置關系；若d=5，試判定O1與O2的

16、位置關系；若兩圓相切，求d的值解：R、r是方程x26x3=0的兩根，Rr=6，R·r=3(1)d=7，即dRr，兩圓外離(2)，即dRr，兩圓內含(3)d=5，即RrdRr，兩圓相交(4)要使O1與O2相切，則d=Rr或d=Rr，d=6或時，兩圓相切點撥：由兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距之間的數量關系知，應先分別求出Rr、Rr，然后再比較d與Rr、Rr的大小從而作出判斷例7、已知O1與O2相交于A、B兩點，且O2點在O1上(1)如圖（1），AD是O2的直徑，連結DB，并延長交O1于C求證：CO2AD(2)如圖（2），如果AD是O2的一條弦，連結DB并延長交O1于C，那么CO2所在的直線是否與AD垂直？證明你的結論證明：(1)連結AB，則有AO2C=ABC=180°ABD=90°，CO2AD(2)作直徑AD1交O2于D1，連結D1B并延長交O1于C1由第(1)問知：AO2C1=90°，AD1BBC1O2=90°在O2中，AD1B=ADB；在O1中，BC1O2=BCO2ADBBCO2=90°CEAD點撥：解決此類問題，關鍵是要找出一般與特殊的關系，在圖形變換中，要找出不變量四、圓內接多邊形內接多邊形：多邊形的所有定點都在圓上內接四邊形：在同圓內，四邊形的四個頂點均在同一個圓上的四邊形1、圓內接四邊形的對角互補2