圓中的計(jì)算問(wèn)題

1、圓中的計(jì)算問(wèn)題一、一周知識(shí)概述1、弧長(zhǎng)公式因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C=2R，所以1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是，即于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式：說(shuō)明：(1)在弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”(2)問(wèn)題中若沒(méi)有標(biāo)明精確度，則弧長(zhǎng)可用表示(3)在弧長(zhǎng)公式中，已知，n，R中任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量(4)在用弧長(zhǎng)公式求n時(shí)，要注意與R的單位要統(tǒng)一，且所求的n值一定要小于或等于3602、扇形面積扇形定義：一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形如圖所示，在O中，由半徑OA，O

2、B和所構(gòu)成的圖形是扇形；由半徑OA，OB和所構(gòu)成的圖形也是扇形3、扇形的面積公式如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為r，圓心角為n°的扇形的面積顯然扇形的面積是它所在的圓的面積的一部分，因?yàn)閳A心角是360°的扇形面積等于圓面積r2，所以圓心角為1°的扇形面積是，由此得圓心角為n°的扇形面積的計(jì)算公式一：因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)，扇形面積可以寫(xiě)成所以又得到扇形面積的計(jì)算公式二：S扇形=說(shuō)明：(1)公式中的n與弧長(zhǎng)公式中的n一樣，應(yīng)理解為1°的倍數(shù)，不帶單位，如圓心角為10°，n就是10(2)扇形面積公式S扇形=與三角形面積公式十分類(lèi)似，為了便于記憶

3、，可與三角形面積公式類(lèi)比理解，把弧長(zhǎng)看成底，r看成底邊上的高(3)當(dāng)已知半徑r和圓心角的度數(shù)求扇形面積時(shí)，應(yīng)選用公式；當(dāng)已知半徑r和弧長(zhǎng)求扇形面積時(shí)，應(yīng)選用公式(4)根據(jù)扇形面積公式和弧長(zhǎng)公式，已知S扇形，n，r四個(gè)量中的任意兩個(gè)量，都可以求出另外兩個(gè)量4、圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任一點(diǎn)的連線(xiàn)叫做圓錐的母線(xiàn)圓錐的頂點(diǎn)與底面圓心之間的線(xiàn)段叫做圓錐的高圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如圖，設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為，扇形的弧長(zhǎng)為2r，圓錐的側(cè)面積：S側(cè)=r圓錐的側(cè)面積與底面積的和稱(chēng)為圓錐的全面積，即S全=r(r)說(shuō)明：(1)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是以母線(xiàn)長(zhǎng)為半

4、徑的扇形(2)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖(扇形)的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)(3)圓錐的表面積等于圓錐的側(cè)面積加上圓錐的底面積二、重難點(diǎn)知識(shí)理解和掌握弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式的推導(dǎo)，弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式的應(yīng)用，圓錐側(cè)面積求法三、典型例題例1、(1)如圖，兩個(gè)半徑為1的O1與O2及O相外切，切點(diǎn)分別為A、B、C，且O90°，則的長(zhǎng)為（）(2)如圖，ABC是正三角形，曲線(xiàn)CDEF叫做正三角形的漸開(kāi)線(xiàn)，其中的圓心依次按A、B、C循環(huán)，它們依次相接，如果AB=1，那么曲線(xiàn)CDEF的長(zhǎng)是()A2B4C6D8分析：(1)要計(jì)算這三段弧長(zhǎng)的和，由相切兩圓的性質(zhì)易知OO1O2為等腰直角三角形，所以O(shè)1=O2=45

5、°，O的半徑為，由此不難求出三段弧的長(zhǎng)度和；(2)曲線(xiàn)CDEF的長(zhǎng)實(shí)際上也是三段弧長(zhǎng)的和，它們所對(duì)的圓心角都是120°，的半徑AC=AB=1，的半徑BD=2AB=2，的半徑CE=3AB=3，所以曲線(xiàn)CDEF的長(zhǎng)為解：(1)B；(2)B總結(jié)：運(yùn)用弧長(zhǎng)計(jì)算公式計(jì)算弧長(zhǎng)關(guān)鍵是尋求出弧所在圓的半徑及弧所在的圓心角例2、解答下列各題：(1)如圖，A、B、C兩兩不相交，且它們的半徑都是0.5cm，則圖中三個(gè)扇形(即三個(gè)陰影部分)的面積之和為（）(2)如圖，已知扇形OAB的圓心角為90°，分別以O(shè)A、OB為直徑在扇形內(nèi)作半圓，P和Q分別表示兩個(gè)陰影部分的面積，那么P與Q的大小關(guān)

6、系是（）AP=QBPQCPQD不能確定分析：題(1)中，三個(gè)陰影部分均為扇形，但圓心角的大小不明確，不可能直接求解此時(shí)應(yīng)從整體上觀察A、B、C的特點(diǎn)；(2)中陰影部分P、Q的面積直接求出十分困難，得另辟蹊徑解：(1)由圖可知ABC=180°，即陰影部分的面積等于半徑為0.5的半圓的面積，故選B(2)設(shè)兩個(gè)半圓的另一個(gè)交點(diǎn)為C，扇形OAB的半徑為R，則故選擇A總結(jié)：本題中的解法都具有一定的技巧，認(rèn)真觀察圖形，發(fā)現(xiàn)特征是關(guān)鍵，如第(1)題揭示了求解與圓有關(guān)的陰影部分面積問(wèn)題的基本方法與思路，將不規(guī)則圖形的面積用規(guī)則圖形的面積表示(2)巧妙地避開(kāi)了計(jì)算兩部分的陰影面積，利用轉(zhuǎn)化思想，直接推

7、出P=Q例3、 如圖，已知兩個(gè)半圓中長(zhǎng)為4的弦AB與直徑CD平行，且與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積等于_.分析：在大半圓中，任意移動(dòng)小半圓的位置，陰影部分面積都保持不變，所以可將小半圓移動(dòng)至兩個(gè)半圓同圓心位置（如圖）.解：移動(dòng)小半圓至兩半圓同圓心位置，如圖。設(shè)切點(diǎn)為H，連結(jié)OH、OB，由垂徑定理，知.又AB切小半圓于點(diǎn)H，故，故總結(jié)：本題中的解法采用的一種特殊法，即陰影部分面積與小半圓位置無(wú)關(guān)，可將小半圓確定在便于求解的特殊位置。具有一定的技巧，認(rèn)真觀察圖形，發(fā)現(xiàn)特征是關(guān)鍵例4、一個(gè)圓錐的高為cm，側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，求：(1)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)與底面半徑之比；(2)圓錐的表面積分析：如圖所示，

8、AO為圓錐的高，經(jīng)過(guò)AO的剖面為等腰三角形ABC圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)與底面半徑之比即r，圓錐的表面積即圓錐的側(cè)面積(半圓的面積)與圓錐底面積之和解：(1)如圖所示，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，且圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于半圓的弧長(zhǎng)，即2r=l圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)與底面半徑之比為21(2)在RtAOC中，AC2=AO2OC2，即l2=h2r2又l=2r，h=，(2r)2=()2r23r2=27r=3l=2r=6S表面積=S側(cè)S底=rlr2=3×6 ×32=27(cm2)，即圓錐的表面積為27cm2例5、一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，它的高為，(1)求圓錐的側(cè)面積；(2)畫(huà)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖分析：(1)圓

9、錐的軸截面是等邊三角形，則底面圓半徑是母線(xiàn)長(zhǎng)的一半，利用這個(gè)關(guān)系及勾股定理求出底面半徑，母線(xiàn)長(zhǎng)，即可求出圓錐的側(cè)面積和表面積；(2)畫(huà)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖時(shí)，由于圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的半徑，故求其圓心角的度數(shù)即可解：(1)如圖，已知ABC為等邊三角形，ADBC，且，則設(shè)DC=r，則AC=2r在RtADC中，解之得r=2cmS側(cè)=r·2r=2r2=8cm2S表=S側(cè)S底=r·2rr2=3r2=12；(2)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形設(shè)其圓心角為n°，n=180此時(shí)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是個(gè)半圓如圖所示窗體頂端選擇題1、如圖，已知扇形OAB的半徑為12，OAOB，C為OB上一點(diǎn)

10、，以O(shè)A為直徑的半圓O1和以BC為直徑的半圓O2相切于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（）A6B10 C12D202、若扇形的圓心角是150°，扇形的面積是240cm2，則扇形的弧長(zhǎng)是（）A5cm B20cm C40cmD10cm3、如圖所示，O的半徑為1，圓周角ABC=30°，則圖中陰影部分的面積是（）AB CD4、如圖中的五個(gè)半圓，鄰近的兩個(gè)半圓相切，兩只小蟲(chóng)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度從A點(diǎn)到B點(diǎn)，甲蟲(chóng)沿路線(xiàn)爬行，乙蟲(chóng)沿路線(xiàn)爬行，則下列結(jié)論正確的是（）A甲先到B點(diǎn)B乙先到B點(diǎn)C甲、乙同時(shí)到B點(diǎn)D無(wú)法確定5、如圖，當(dāng)半徑為30cm的轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)過(guò)120°角時(shí)，傳送帶上的物體

11、A平移的距離為（）cmA10B15 C20D306、當(dāng)汽車(chē)在雨天行駛時(shí)，為了看清楚道路，司機(jī)要啟動(dòng)前方擋風(fēng)玻璃上的雨刷器如圖是某汽車(chē)的一個(gè)雨刷器的示意圖，雨刷器桿AB與雨刷CD在B處固定連接（不能轉(zhuǎn)動(dòng)），當(dāng)桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)90°時(shí)，雨刷CD掃過(guò)的面積是多少呢?小明仔細(xì)觀察了雨刷器的轉(zhuǎn)動(dòng)情況，量得CD=80cm，DBA=20°，端點(diǎn)C、D與點(diǎn)A的距離分別是115cm、35cm他經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考只選用了其中的部分?jǐn)?shù)據(jù)就求得了結(jié)果，你知道小明是怎樣計(jì)算的嗎?也請(qǐng)你算一算雨刷CD掃過(guò)的面積為（）cm2（取3.14）A9420B9419 C9421D94187、如圖，把直角三角形ABC的

12、斜邊AB放在定直線(xiàn)l上，按順時(shí)針?lè)较蛟趌上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到ABC的位置，設(shè)BC=1，AC=，則頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到A的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)與直線(xiàn)l所圍成的面積是（）A BCD8、如圖，糧倉(cāng)頂部是圓錐形，這個(gè)圓錐底面周長(zhǎng)為36m母線(xiàn)長(zhǎng)8m，為防雨在糧倉(cāng)頂部鋪油氈，需鋪油氈面積是（）m2A140B144 C145D1489、若圓錐和圓柱的底面半徑都等于10cm，高為，則圓錐和圓柱的側(cè)面積的比為（）A13B C12D10、如圖，在正方形鐵皮上剪下一個(gè)圓形和扇形，使之恰好圍成圖(2)所示的一個(gè)圓錐模型，設(shè)圓的半徑為r，扇形半徑為R，則圓的半徑與扇形半徑之間的關(guān)系為（）AR=2rB CR=3rDR

13、=4r窗體底端B卷二、填空題11、如圖，有一圓錐形糧堆，其正視圖是邊長(zhǎng)為6m的正三角形ABC，糧堆母線(xiàn)AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)，小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠則小貓所經(jīng)過(guò)的最短路線(xiàn)是m12、如圖所示，在ABC中，ACB=90°，AC=2cm，把這個(gè)三角形在平面內(nèi)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，那么點(diǎn)A移動(dòng)所走過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)是_cm(不取近似值)三、解答題13、如圖，等腰直角ABC的斜邊AB=4，O是AB的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心的半圓分別與兩腰相切于點(diǎn)D、E，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果用表示)14、如圖所示，扇形OAPB的半徑為20 cm，AOB=90°

14、，以O(shè)B的中點(diǎn)M為圓心，OM為半徑作圓，過(guò)點(diǎn)M作OA的平行線(xiàn)，交M于點(diǎn)N，交于點(diǎn)P，則劣弧與NP圍成的陰影部分的面積是多少?15、一個(gè)扇形如圖，半徑為30cm，圓心角為120°，用它做成一個(gè)圓錐的側(cè)面求圓錐底面半徑和圓錐的高16、工人師傅要在如圖所示的一邊長(zhǎng)為40cm的正方形鐵皮上裁剪下一塊完整的圓形和一塊完整的扇形鐵皮，使之恰好做一個(gè)圓錐形模型(1)請(qǐng)你幫助工人師傅設(shè)計(jì)三種不同的裁剪方案(畫(huà)出示意圖)；(2)何種設(shè)計(jì)方案使得正方形鐵皮的利用率最高，求出此時(shí)圓錐模型底面圓的半徑中考解析弧長(zhǎng)、扇形面積和圓錐的側(cè)面積、全面積問(wèn)題多數(shù)是利用恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)、列方程的思想方法來(lái)加以解決。求陰影

15、部分的面積多半用兩種方法解決：一種是將所求陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為所學(xué)過(guò)的易求圖形的面積的和或差；一種是恰當(dāng)?shù)匾o助線(xiàn)，將所求陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為所學(xué)過(guò)的易求圖形的面積.例1、（四川內(nèi)江）如圖，這是中央電視臺(tái)“曲苑雜談”中的一副圖案，它是一扇形圖形，其中為，長(zhǎng)為8cm，長(zhǎng)為12cm，則陰影部分的面積為（    ）A         B              C