南京市高三年級第三次模擬考試及答案

1、南京市2018屆高三年級第三次模擬考試 數(shù) 學(xué) 2018.05一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）1集合Ax| x2x60，Bx| x240，則AB=2已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是若z(2i)5，其中i為虛數(shù)單位，則的模為S1I1WhileI8 SS2 II3End WhilePrint S3某學(xué)校為了了解住校學(xué)生每天在校平均開銷情況，隨機(jī)抽取了500名學(xué)生，他們的每天在校平均開銷都不低于20元且不超過60元，其頻率分布直方圖如圖所示，則其中每天在校平均開銷在50，60元的學(xué)生人數(shù)為(第3題圖) (第4題圖)4根據(jù)如圖所示的偽代碼，

2、可知輸出S的值為5已知A，B，C三人分別在連續(xù)三天中值班，每人值班一天，那么A與B在相鄰兩天值班的概率為6若實(shí)數(shù)x，y滿足則的取值范圍為7. 已知，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，有如下四個命題：若l，l，則； 若l，則l； 若l，l，則； 若l，則l其中真命題為（填所有真命題的序號）8在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1(a0，b0)的一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為2a，則該雙曲線的離心率為9若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，nN*，且a1=1，S6=3S3，則a7的值為10若f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，且f(x)則f(a+1)的值為11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓M：x2y

3、26x4y80與x軸的兩個交點(diǎn)分別為A，B，其中A在B的右側(cè)，以AB為直徑的圓記為圓N，過點(diǎn)A作直線l與圓M，圓N分別交于C，D兩點(diǎn)若D為線段AC的中點(diǎn)，則直線l的方程為12在ABC中，AB=3，AC=2，D為邊BC上一點(diǎn)若·5， ·，則·的值為13若正數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則的最小值為14已知a，bR，e為自然對數(shù)的底數(shù)若存在b3e，e2，使得函數(shù)f (x)exaxb在1，3上存在零點(diǎn)，則a的取值范圍為二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)）15(本小題滿分14分)y在平面直角坐標(biāo)系x

4、Oy中，銳角，的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為P，Q已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為（1）求cos2的值；QP（2）求2的值.xO(第15題圖)16.（本小題滿分14分）(第16題圖)ACBMDEP如圖，在三棱錐PABC中，PA，其余棱長均為2，M是棱PC上的一點(diǎn)，D，E分別為棱AB，BC的中點(diǎn)（1）求證: 平面PBC平面ABC；（2）若PD平面AEM，求PM的長17(本小題滿分14分)ABCDFE(第17題圖)如圖，公園里有一湖泊，其邊界由兩條線段AB，AC和以BC為直徑的半圓弧組成，其中AC為2百米，ACBC，A為若在半圓弧，線段AC，線段AB上各建一個

5、觀賞亭D，E，F(xiàn)，再修兩條棧道DE，DF，使DEAB，DFAC. 記CBD（）（1）試用表示BD的長；（2）試確定點(diǎn)E的位置，使兩條棧道長度之和最大.18(本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(ab0)經(jīng)過點(diǎn)P(，)，離心率為. 已知過點(diǎn)M(，0)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；xyO(第18題圖)MBA（2）試問x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得·為定值若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.19(本小題滿分16分)已知函數(shù)f (x)2x33ax23a2（a0），記f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)（1）若f (x)的極大值為0，求實(shí)數(shù)a

6、的值；（2）若函數(shù)g (x)f (x)6x，求g (x)在0，1上取到最大值時(shí)x的值；（3）若關(guān)于x的不等式f(x)f'(x)在，上有解，求滿足條件的正整數(shù)a的集合20(本小題滿分16分)若數(shù)列an滿足：對于任意nN*，an|an1an2|均為數(shù)列an中的項(xiàng)，則稱數(shù)列an為“T 數(shù)列” （1）若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n2，nN*，求證：數(shù)列an為“T 數(shù)列”； （2）若公差為d的等差數(shù)列an為“T 數(shù)列”，求d的取值范圍；（3）若數(shù)列an為“T 數(shù)列”，a11，且對于任意nN*，均有anaaan1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式南京市2018屆高三年級第三次模擬考試 數(shù)學(xué)附加題 2018.05

7、B選修42：矩陣與變換已知矩陣A，B，若直線l: xy20在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到直線l1，求直線l1的方程C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P（2，），圓心C為直線rsin()與極軸的交點(diǎn)，求圓C 的極坐標(biāo)方程22(本小題滿分10分)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(1，a) (a0)是拋物線C上一點(diǎn)，且AF2（1）求p的值；（2）若M，N為拋物線C上異于A的兩點(diǎn)，且AMAN記點(diǎn)M，N到直線y2的距離分別為d1，d2，求d1d2的值·F(第22題圖)xyOAMN23(本小題滿分10分)已知fn(x)Ax(x1)(xi1)

8、，gn(x)Ax(x1)(xn1)，其中xR，nN*且n2（1）若fn(1)7gn(1)，求n的值；（2）對于每一個給定的正整數(shù)n，求關(guān)于x的方程fn(x)gn(x)0所有解的集合南京市2018屆高三年級第三次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）13，2，2 2 3150 47 5 6，2 7 8 94 102 11x2y40 123 13 14e，4e二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15(本小題滿分14分)解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)

9、P的橫坐標(biāo)為，P在單位圓上，為銳角，所以cos， 2分所以cos22cos21 4分（2）因?yàn)辄c(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，所以sin 6分 又因?yàn)闉殇J角，所以cos 8分因?yàn)閏os，且為銳角，所以sin，因此sin22sincos， 10分所以sin(2) ×× 12分因?yàn)闉殇J角，所以02又cos20，所以02，又為銳角，所以2，所以2 14分16(本小題滿分14分)(圖1)OCBPACBMDE（1）證明：如圖1，連結(jié)PE因?yàn)镻BC的邊長為2的正三角形，E為BC中點(diǎn)，所以PEBC， 2分且PE，同理AE因?yàn)镻A，所以PE2AE2PA2，所以PEAE4分因?yàn)镻EBC，PEAE，BCAEE

10、，AE，BC Ì平面ABC，所以PE 平面ABC 因?yàn)镻EÌ平面PBC，所以平面PBC平面ABC 7分（2）解法一如圖1，連接CD交AE于O，連接OM因?yàn)镻D平面AEM，PDÌ平面PDC，平面AEM平面PDCOM，所以PDOM， 9分所以 11分因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，CDAEO，所以O(shè)為DABC重心，所以，所以PMPC 14分(圖2)PACBMDECBN 解法二如圖2，取BE的中點(diǎn)N，連接PN因?yàn)镈，N分別為AB，BE的中點(diǎn)，所以DNAE又DNË平面AEM，AEÌ平面AEM，所以DN平面AEM 又因?yàn)镻D平面AEM，DNÌ

11、平面PDN，PDÌ平面PDN，DNPDD，所以平面PDN平面AEM 9分又因?yàn)槠矫鍭EM平面PBCME，平面PDN平面PBCPN，所以MEPN，所以 11分因?yàn)镋，N分別為BC，BE的中點(diǎn)，所以，所以PMPC 14分17(本小題滿分14分)解：（1）連結(jié)DC在ABC中，AC為2百米，ACBC，A為，所以CBA，AB4，BC2 2分因?yàn)锽C為直徑，所以BDC，所以BDBC cos2cos 4分（2）在BDF中，DBF，BFD，BD2cos，所以， 所以DF4cossin()， 6分且BF4cos，所以DEAF=44cos， 8分所以DEDF44cos4 cossin()=sin2cos

12、232 sin(2)3 12分因?yàn)?，所?，所以當(dāng)2，即時(shí)，DEDF有最大值5，此時(shí)E與C重合 13分答：當(dāng)E與C重合時(shí)，兩條棧道長度之和最大 14分18(本小題滿分16分)解（1）離心率e，所以ca，ba， 2分所以橢圓C的方程為1因?yàn)闄E圓C經(jīng)過點(diǎn)P(，)，所以1，所以b21，所以橢圓C的方程為y21 4分（2）解法一設(shè)N(n，0)，當(dāng)l斜率不存在時(shí)，A(，y)，B(，y)，則y21，則×(n)2y2(n)2n2n， 6分當(dāng)l經(jīng)過左右頂點(diǎn)時(shí)，×(2n)(2n)n24令n2nn24，得n4 8分 下面證明當(dāng)N為(4，0)時(shí)，對斜率為k的直線l：yk(x)，恒有×1

13、2設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(4k21)x2k2xk240， 所以x1x2，x1x2， 10分所以×(x14)(x24)y1y2(x14)(x24)k2(x1)(x2)(k21)x1x2(4k2)(x1x2)16k2 12分 (k21)(4k2)16k2161612 所以在x軸上存在定點(diǎn)N(4，0)，使得×為定值 16分解法二設(shè)N(n，0)，當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)l：yk(x)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(4k21)x2k2xk240， 所以x1x2，x1x2， 6分所以×(x1n)(x2n)y1y2(x1n)(x2

14、n)k2(x1)(x2)(k21)x1x2(nk2)(x1x2)n2k2(k21)(nk2)n2k2 8分n2n2 12分若×為常數(shù)，則為常數(shù)，設(shè)，為常數(shù)，則(n)k244k2對任意的實(shí)數(shù)k恒成立， 所以所以n4，4， 此時(shí)×12 14分當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，A(，y)，B(，y)，則y21，所以×(4)2y2(4)212，所以在x軸上存在定點(diǎn)N(4，0)，使得×為定值 16分19(本小題滿分16分)解：（1）因?yàn)閒 (x)2x33ax23a2（a0），所以f'(x)6x26ax6x(xa) 令f'(x)0，得x0或a 2分當(dāng)x(，0)時(shí)

15、，f'(x)0，f (x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(0，a)時(shí)，f'(x)0，f (x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(a，)時(shí)，f'(x)0，f (x)單調(diào)遞增故f (x)極大值f (0)3a20，解得a 4分（2）g (x)f (x)6x2x33ax26x3a2（a0）， 則g(x)6x26ax66(x2ax1)，x0，1當(dāng)0a2時(shí)，36(a24)0，所以g(x)0恒成立，g (x)在0，1上單調(diào)遞增，則g (x)取得最大值時(shí)x的值為1 6分當(dāng)a2時(shí)，g(x)的對稱軸x1，且36(a24)0，g(1)6(2a)0，g(0)60， 所以g(x)在(0，1)上存在唯一零點(diǎn)x0當(dāng)x(0，x0)時(shí)，

16、g(x)0，g (x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(x0，1)時(shí)，g(x)0，g (x)單調(diào)遞減，則g (x)取得最大值時(shí)x的值為x0 8分綜上，當(dāng)0a2時(shí)，g (x)取得最大值時(shí)x的值為1；當(dāng)a2時(shí)，g (x)取得最大值時(shí)x的值為 9分（3）設(shè)h (x)f (x)f (x)2x33(a2)x26ax3a2，則h (x)0在，有解 10分h(x)6x2(a2)xa6(x)2，因?yàn)閔(x)在(，)上單調(diào)遞減，所以h(x)h()a20，所以h (x)在(，)上單調(diào)遞減，所以h()0，即a33a26a40 12分設(shè)t (a)a33a26a4（a0），則t (a)3a26a6， 當(dāng)a(0，1)時(shí)，t (a)0，t

17、(a)單調(diào)遞減；當(dāng)a(1，)時(shí)，t (a)0，t(a)單調(diào)遞增因?yàn)閠 (0)40，t (1)40，所以t (a)存在一個零點(diǎn)m(0，1)， 14分因?yàn)閠 (4)40，t (5)240，所以t (a)存在一個零點(diǎn)n(4，5)，所以t (a)0的解集為m，n，故滿足條件的正整數(shù)a的集合為1，2，3，4 16分20(本小題滿分16分)解：（1）當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n22(n1)24n2， 又a1S124×12，所以an4n2 2分 所以an|an1an2|4n244(n1)2為數(shù)列an的第n1項(xiàng)， 因此數(shù)列an為“T 數(shù)列” 4分 （2）因?yàn)閿?shù)列an是公差為d的等差數(shù)列， 所以an|

18、an1an2|a1(n1) d|d| 因?yàn)閿?shù)列an為“T 數(shù)列”， 所以任意nN*，存在mN*，使得a1(n1) d|d|am，即有(mn) d|d|6分 若d0，則存在mn1N*，使得(mn) d|d|， 若d0，則mn1此時(shí)，當(dāng)n1時(shí)，m0不為正整數(shù)，所以d0不符合題意 綜上，d0 8分 （3）因?yàn)閍nan1，所以an|an1an2|anan2an1 又因?yàn)閍nanan2an1an2(an1an)an2，且數(shù)列an為“T數(shù)列”， 所以anan2an1an1，即anan22an1， 所以數(shù)列an為等差數(shù)列 10分 設(shè)數(shù)列an的公差為t(t0)，則有an1(n1)t， 由anaaan1，得1(

19、n1)tt2(2n1)t1nt，12分 整理得n(2t2t)t23t1， n(t2t2)2tt21 若2t2t0，取正整數(shù)N0，則當(dāng)nN0時(shí)，n(2t2t)(2t2t) N0t23t1，與式對于任意nN*恒成立相矛盾，因此2t2t0同樣根據(jù)式可得t2t20，所以2t2t0又t0，所以t經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)t時(shí)，兩式對于任意nN*恒成立， 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an1(n1) 16分B選修42：矩陣與變換解：因?yàn)锳，B，所以AB 4分設(shè)點(diǎn)P0(x0，y0)是l上任意一點(diǎn)，P0在矩陣AB對應(yīng)的變換作用下得到P(x，y)因?yàn)镻0(x0，y0)在直線l: xy20上，所以x0y020 由AB，即 ，得 6分即將

20、代入得x4y40，所以直線l1的方程為x4y40 10分C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程解：解法一在直線rsin()中，令0，得r2. 所以圓C的圓心坐標(biāo)為C(2，0) 4分因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)P(2，)，所以圓C的半徑PC2， 6分所以圓C的極坐標(biāo)方程r4cos 10分解法二以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則直線方程為yx2，P的直角坐標(biāo)為(1，)， 令y0，得x2，所以C(2，0)， 4分所以圓C的半徑PC=2， 6分所以圓C的方程為(x2)2(y0)24，即x2y24x0， 8分所以圓C的極坐標(biāo)方程r4cos. 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分 22（本小

21、題滿分10分）解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A(1，a) (a0)是拋物線C上一點(diǎn)，且AF=2， 所以12，所以p2. 3分（2）解法一由(1)得拋物線方程為y24x因?yàn)辄c(diǎn)A(1，a) (a0)是拋物線C上一點(diǎn)，所以a2 4分設(shè)直線AM方程為x1m (y2) (m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去x，得y24m y8m40，即(y2)( y4m2)0，所以y14m2 6分因?yàn)锳MAN，所以代m，得y22， 8分所以d1d2|(y12) (y22)|4m×()|16 10分解法二由(1)得拋物線方程為y24x因?yàn)辄c(diǎn)A(1，a) (a0)是拋物線C上一點(diǎn)，所以a2 4分設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則·(x11)(x21)( y12) (y22)0 6分又因?yàn)镸(x1，y1)，N(x2，y2)在y24x上，所以(y214) (y224)16( y12) (y22)0， 即( y12) (y22)16( y12) (y2