函數(shù)數(shù)列的極限

1、數(shù)列極限復(fù)習(xí)數(shù)列極限復(fù)習(xí)v定義定義:一般地一般地, ,如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n n無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), ,無(wú)窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列anan的項(xiàng)的項(xiàng)anan無(wú)限地趨無(wú)限地趨近于某個(gè)常數(shù)近于某個(gè)常數(shù)a,a,（既（既an-aan-a無(wú)無(wú)限地接近于限地接近于0 0），那么就說(shuō)），那么就說(shuō)數(shù)列數(shù)列anan以以a a為極限，為極限，或者說(shuō)或者說(shuō)數(shù)列數(shù)列anan的極限是的極限是a a記著記著: :limnnaav重要結(jié)論重要結(jié)論(1)常數(shù)常數(shù)c的極限等于的極限等于 limnCC(2)limnna(3)112112limssttnAnA nBnB n它本身它本身,即即x （1 1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)時(shí) 函數(shù)函數(shù)f(x)f(x

2、)的極限的極限1yxx110100100010000100000y10.10.010.0010.00010.00001v當(dāng)自變量當(dāng)自變量x x取正值并無(wú)限增大時(shí)取正值并無(wú)限增大時(shí)( (即即x x趨向于正無(wú)窮大趨向于正無(wú)窮大時(shí)時(shí)),),函數(shù)函數(shù)y y的值無(wú)限趨近于的值無(wú)限趨近于0,0,即即y-oy-o可以變得任意可以變得任意小小. .v同樣地同樣地, ,當(dāng)自變量當(dāng)自變量x x取負(fù)值并且它的絕對(duì)值無(wú)限取負(fù)值并且它的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)增大時(shí)( (即即x x趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)),),函數(shù)函數(shù)y y的值也無(wú)的值也無(wú)限趨近于限趨近于0,0,定義定義(1):(1):一般地一般地, ,當(dāng)自變量當(dāng)自

3、變量x x取正值并無(wú)限增大時(shí)取正值并無(wú)限增大時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)的值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a,a,就說(shuō)就說(shuō)當(dāng)當(dāng)x x趨向于正無(wú)窮趨向于正無(wú)窮大時(shí)大時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極限是的極限是a a, ,記著記著: :lim( )xf xa定義定義(2):(2):一般地一般地, ,當(dāng)自變量當(dāng)自變量x x取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)的值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a,a,就說(shuō)就說(shuō)當(dāng)當(dāng)x x趨向趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)于負(fù)無(wú)窮大時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極限是的極限是a a, ,記著記著: :lim(

4、 )xf xalim( )xf xlim( )xf x問(wèn)題？和一定存在嗎？lim( )xf xlim( )xf x問(wèn)題？和存在若它們的值一定相等嗎它們的值一定相等嗎？lim( )xf xalim( )xf xa 那么就說(shuō)那么就說(shuō) 當(dāng)當(dāng)x x趨向于無(wú)窮大時(shí)趨向于無(wú)窮大時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極的極限是限是a a, ,記著記著: :lim( )xf xa注意注意:必須兩個(gè)條件都滿足必須兩個(gè)條件都滿足,才能說(shuō)才能說(shuō)-如果如果且且定義定義(3)(3)對(duì)于常數(shù)函數(shù)對(duì)于常數(shù)函數(shù)f(x)=c(xR), 也有也有l(wèi)im( )xf xCv重要結(jié)論：重要結(jié)論：lim?xxalim?xxa記憶方法：記憶方

5、法：數(shù)形結(jié)合法（數(shù)形結(jié)合法（指數(shù)函指數(shù)函數(shù)的圖象數(shù)的圖象）0 xx（2 2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)時(shí) 函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極限的極限2yx問(wèn)題（問(wèn)題（1 1）：討論）：討論當(dāng)當(dāng)x x無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于2 2（從左、右兩邊從左、右兩邊）時(shí)，）時(shí)，函數(shù)函數(shù)的變化趨勢(shì)：的變化趨勢(shì)：?jiǎn)栴}（問(wèn)題（2 2）：）：討論當(dāng)討論當(dāng)x x無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于1 1 （從左、右兩邊從左、右兩邊）時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)：的變化趨勢(shì)：211xyx211lim21xxx22lim4xx問(wèn)題？當(dāng)當(dāng) x從從x x0 0的左、右兩邊趨近于的左、右兩邊趨近于x x0 0時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)的極限一定相等嗎？的極限一定相等嗎？

6、你能否舉例說(shuō)明？（ ）一般地一般地, ,當(dāng)自變量當(dāng)自變量x x無(wú)限趨近于常數(shù)無(wú)限趨近于常數(shù)x x0 0時(shí)（時(shí)（但但x x不等不等于于x x0 0）, ,如果函數(shù)如果函數(shù)f(x) f(x) 無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a,a,就就說(shuō)說(shuō)當(dāng)當(dāng)x x趨近于趨近于x x0 0時(shí)時(shí)時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極限是的極限是a a, ,記著記著: :0lim( )xxf xa 也叫做也叫做函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x=xx=x0 0處的極限處的極限0lim( )xxf xx x無(wú)限趨近于常數(shù)無(wú)限趨近于常數(shù)x x0 0，是指是指x x從從x x0 0的左、右兩邊趨近于的左、右兩邊趨近于x

7、 x0 0定義（定義（4）v一般地，設(shè)一般地，設(shè)C C為常數(shù)，則為常數(shù)，則0limxxCC由例2及 ，你能總結(jié)出一般性結(jié)論嗎？211lim21xxx本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些問(wèn)題？第二課時(shí)第二課時(shí)函數(shù)的左、右極限說(shuō)出下列函數(shù)極限的定義：說(shuō)出下列函數(shù)極限的定義：（1）（2）（3）（4）lim( )xf xalim( )xf xalim( )xf xa0lim( )xxf xa一般地一般地, ,當(dāng)自變量當(dāng)自變量x x取正值并無(wú)限增大時(shí)取正值并無(wú)限增大時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)的值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a,a,就就說(shuō)說(shuō)當(dāng)當(dāng)x x趨向于正無(wú)窮大時(shí)趨向于正無(wú)窮大時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(x)

8、f(x)的極的極限是限是a a, ,記著記著: :lim( )xf xa定義定義(1):(1):一般地一般地, ,當(dāng)自變量當(dāng)自變量x x取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)限增大時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的值無(wú)限趨近于一的值無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)個(gè)常數(shù)a,a,就說(shuō)就說(shuō)當(dāng)當(dāng)x x趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí), ,函函數(shù)數(shù)f(x)f(x)的極限是的極限是a a, ,記著記著: :lim( )xf xa定義定義(2):(2):lim( )xf xalim( )xf xalim( )xf xa 那么就說(shuō)那么就說(shuō) 當(dāng)當(dāng)x x趨向于無(wú)窮大時(shí)趨向于無(wú)窮大時(shí), ,函函數(shù)數(shù)f(x)f(x)的極限是

9、的極限是a a, ,記著記著: :如果如果且且定義定義(3)(3) 一般地一般地, ,當(dāng)自變量當(dāng)自變量x x無(wú)限趨近于常數(shù)無(wú)限趨近于常數(shù)x x0 0時(shí)（時(shí)（但但x x不等于不等于x x0 0）, ,如果函數(shù)如果函數(shù)f(x) f(x) 無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a,a,就說(shuō)就說(shuō)當(dāng)當(dāng)x x趨近于趨近于x x0 0時(shí)時(shí)時(shí)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的極限是的極限是a a, ,記著記著: :0lim( )xxf xa定義（定義（4）（函數(shù)在一點(diǎn)處的極限）（函數(shù)在一點(diǎn)處的極限）x x無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于x x0 0，應(yīng)理解為，應(yīng)理解為x x可以用可以用任何方式任何方式無(wú)限趨近于無(wú)限趨近于x

10、 x0 0閱讀：P80例例2練習(xí)練習(xí): P81練習(xí)練習(xí)2想一想：可以總結(jié)出什么規(guī)律？左極限定義：左極限定義： 一般地如果當(dāng)一般地如果當(dāng)x從點(diǎn)從點(diǎn)x0左側(cè)左側(cè)（即（即xx0)無(wú)限趨近無(wú)限趨近于于x0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)無(wú)限趨近于常數(shù)a,就說(shuō)就說(shuō)a是函數(shù)是函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的處的左極限左極限，記作，記作0lim( )xxf xa右極限定義：右極限定義： 一般地如果當(dāng)一般地如果當(dāng)x從點(diǎn)從點(diǎn)x0右側(cè)右側(cè)（即（即xx0)無(wú)限趨近無(wú)限趨近于于x0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)無(wú)限趨近于常數(shù)a,就說(shuō)就說(shuō)a是函數(shù)是函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的處的右極限右極限，記作，記作0lim( )xxf xa根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)處的極限、左根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)處的極限、左極限、右極限的定義，可以得極限、右極限的定義，可以得出：出：0lim( )xxf xa0lim( )xxf xa0lim( )xxf x練習(xí)練習(xí)1：P83練習(xí)練習(xí)1、2練習(xí)練習(xí)2: P83習(xí)題習(xí)題1舉例說(shuō)明：舉例說(shuō)明：（1