考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(卓越資料)

1、卓越考研內(nèi)部資料（絕密）卓而優(yōu) 越則成卓越考研教研組匯編0 / 16第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、多元函數(shù)、極限、連續(xù)性1多元函數(shù)的概念(1)定義：設(shè)是平面上的一個非空子集，稱映射為定義在上的二元函數(shù)，記為，其中點(diǎn)集稱為函數(shù)的定義域，集合稱為函數(shù)的值域類似可定義三元函數(shù)(2)幾何意義 二元函數(shù)表示空間的曲面，例如的圖形為旋轉(zhuǎn)拋物面；的圖形為上半球面2二元函數(shù)的極限(1)定義：設(shè)在的去心鄰域有定義，若對任意，存在，使得當(dāng)時，有，則稱為函數(shù)當(dāng)時的極限，記為 【概念理解點(diǎn)睛】(1)二元函數(shù)的極限只有當(dāng)動點(diǎn)以任意方式趨于時的極限都為時才存在(2) 若可找到兩條不同路徑沿其趨近于時的極限不相等，則二

2、元函數(shù)的極限不存在。特別，當(dāng)時選擇，若極限與有關(guān)，則二元函數(shù)的極限不存在【例】，證明：不存在 (3)即使沿著函數(shù)的極限存在且相等也不能說明二元函數(shù)的極限是存在的【例】，證明：不存在(2)計算 可借助一元函數(shù)求極限的方法求二元函數(shù)的極限1）利用極限性質(zhì)（四則運(yùn)算法則，夾逼原理）；2）消去分母中極限為零的因子（有理化，等價無窮小代換）；3）利用無窮小量與有界變量之積為無窮小量.【例】，求3多元函數(shù)的連續(xù)性(1) 定義：設(shè)二元函數(shù)在的鄰域有定義，若則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)如果函數(shù)在的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在上連續(xù)，或者說是上的連續(xù)函數(shù)(2)多元函數(shù)在有界閉區(qū)域上的性質(zhì)有界性：在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)必定

3、在上有界 最大值與最小值定理：在有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)必定在上取得它的最大值和最小值 介值定理：有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值(3)二元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)?？碱}型二元函數(shù)的二次極限【例1】求下列極限：(1)，其中(2) 【例2】證明：不存在【例3】設(shè)則= 二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分1 偏導(dǎo)數(shù)的概念（1）定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處對的偏導(dǎo)數(shù)，記為即 類似，函數(shù)在點(diǎn)處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為如果函數(shù)在定義域內(nèi)每點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則稱為偏導(dǎo)函數(shù)(2) 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義(數(shù)一二)由偏導(dǎo)數(shù)的定義，可看成函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾

4、何意義，是曲線在處的切線對軸的斜率同理，是曲線在處的切線對軸的斜率(3) 偏導(dǎo)數(shù)存在和連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在推不出函數(shù)連續(xù)，函數(shù)連續(xù)也推不出偏導(dǎo)數(shù)存在【例】判斷 ，在的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)的存在性【概念理解點(diǎn)睛】 存在雖然推不出函數(shù)連續(xù)，但是可以推出，即在對是連續(xù)的（4）高階偏導(dǎo)數(shù)一般情況，函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)和仍然是,的函數(shù)。因此，可以考慮和的偏導(dǎo)數(shù)，即二階偏導(dǎo)數(shù)，依次記為，若函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)在某區(qū)域內(nèi)均連續(xù)，則在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等【概念理解點(diǎn)睛】二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的時候一定要合并2、全微分(1)定義：如果函數(shù)在點(diǎn)處的全增量 可表示為，其中、不依賴于、而僅與、有關(guān)，則稱函數(shù)在點(diǎn)可

5、微分，且稱稱為函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記為，即【概念理解點(diǎn)睛】如果函數(shù)在點(diǎn)處可微分， 則函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)(2)可微的必要條件 如果函數(shù)在點(diǎn)可微分，則函數(shù)在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)、存在，而且有 對于可微分的三元函數(shù)，也有 (3)可微的充分條件 如果函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微 (4)可微的等價定義若函數(shù)在點(diǎn)處的存在，且則在可微【例】設(shè)，判斷函數(shù)在是否可微【方法理解點(diǎn)睛】利用全微分形式不變性可以來求隱函數(shù)的全微分和偏導(dǎo)數(shù)幾個關(guān)系一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)性常考題型討論連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性【例1】考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì)：的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在。若用“”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)，則有（ ）（A） （B）（C

6、） （D）【例2】設(shè)則在點(diǎn) (A)不連續(xù)； (B)連續(xù)但不可導(dǎo)； (C)可導(dǎo)但不可微； (D)可微.【例3】二元函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處可微的一個充分條件是（A）. （B），且.（C）.（D），且. 三、多元函數(shù)微分法 1利用定義求偏導(dǎo)數(shù)【例】設(shè)，則 【方法理解點(diǎn)睛】(1) 分段函數(shù)用定義求偏導(dǎo)數(shù)(2) 求函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)時，可先“代值”后求導(dǎo)，也可以先求偏導(dǎo)函數(shù)，在“代值”2復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，對有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，對偏導(dǎo)數(shù)存在，則， 記法：(1)鏈?zhǔn)椒▌t圖(2)結(jié)構(gòu)法：復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)等于若干項之和，其項數(shù)取決于中間變量的個數(shù)，每一項是兩個偏導(dǎo)數(shù)的乘積【例】，求，【方法理解點(diǎn)睛】(1)對第一中間變量的

7、偏導(dǎo)數(shù)經(jīng)常記為，同理記為，記為(2)還是以為中間變量為自變量的復(fù)合函數(shù)，故其對求偏導(dǎo)數(shù)的時候還是利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t 3隱函數(shù)求偏導(dǎo)(1)由方程所確定的隱函數(shù)求導(dǎo) 一元隱函數(shù)設(shè)，且在的某鄰域具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且，若，則存在，且，其中是二元函數(shù)對的偏導(dǎo)數(shù) 二元隱函數(shù)且在的某鄰域有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且，若，則存在，且，其中是三元函數(shù)對的偏導(dǎo)數(shù)【例】設(shè)由方程確定隱函數(shù)，求及(2)方程組所確定隱函數(shù)求導(dǎo)(數(shù)一、二) 每個方程兩邊對同一自變量求導(dǎo)，然后用解方程組的方法求解4全微分形式不變性，則全微分運(yùn)算法則： 【例】設(shè)方程可確定函數(shù),求.?？碱}型1求一點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)與全微分:2求已給出具體表達(dá)

8、式函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分3含有抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分4隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分【例1】設(shè),求和. 【例2】設(shè),則 【例3】 求下列偏導(dǎo)數(shù)(1)求(2)設(shè),求及.【例4】(09,1)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求.【例5】設(shè)函數(shù)，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，具有一階導(dǎo)數(shù)，則必有(A） (B）(C） (D）【例6】設(shè)函數(shù)一階可導(dǎo), ,求 .【例7】設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有二階導(dǎo)數(shù)，求【例8】設(shè)是由方程所確定,求.【例9】設(shè)，是由和所確定的函數(shù)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求答案：【例10】設(shè)函數(shù),由方程確定，其中為可微函數(shù)，且，則 ( )(A) (B) (C) (D)三、微分學(xué)的應(yīng)用多元函數(shù)的極

9、值1一般極值(1)極值的定義：設(shè)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)有定義，如果對在此鄰域內(nèi)任意異于的點(diǎn)都有，則稱在取得極大(小)值，且稱為極大(小)值點(diǎn)例如在取得極小值，在取得極大值(2)極值存在的必要條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則，使得，同時成立的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。由該定理知道：具有偏導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)。【概念理解點(diǎn)睛】 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)（）；極值點(diǎn)還可以出現(xiàn)在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) 極值點(diǎn)只可能出現(xiàn)在駐點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(3)極值存在的充分條件 設(shè)函數(shù)在駐點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階及二階偏導(dǎo)數(shù)，令，則 時在取得極值，且當(dāng)時取極大值，當(dāng)時取極小值； 時在不取得極值； 時無法判斷 2條件極值求目

10、標(biāo)函數(shù)在約束條件下的極值(或最值)拉格朗日乘數(shù)法 先作拉格朗日函數(shù)，其中為參數(shù)，先求的駐點(diǎn)，即解方程組由此解出，其中就是函數(shù)在條件下可能取得極值的點(diǎn)據(jù)實(shí)際問題確定駐點(diǎn)是最大(小)值點(diǎn)【概念理解點(diǎn)睛】 此方法適用于多個變量多個約束條件的極值 3連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最值問題設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在內(nèi)可微分且只有有限個駐點(diǎn)，求在上的最大值與最小值，其方法為：(1)求出在內(nèi)的全體駐點(diǎn)和至少一個偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)，并求出在這些點(diǎn)處的函數(shù)值；(2)求出在的邊界上的最大值和最小值(一般用條件極值求法)；(3)將在各駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)處的函數(shù)值與在的邊界上的最大值和最小值相比較，最大者為在上的最大值，最小者在上的最小值?？碱}型1、二元函數(shù)的一般極值2、多元函數(shù)的條件極值3、多元函數(shù)在有界閉區(qū)域上的最值【例1】設(shè)函數(shù)的全微分為，則點(diǎn) （ ）不是的連續(xù)點(diǎn). 不是的極值點(diǎn). 是的極大值點(diǎn). 是的極小值點(diǎn).【例2】設(shè)可微函數(shù)在點(diǎn)處取極小值,則