空間幾何體的表面積與體積教案

1、 空間幾何體的表面積與體積一、柱體、錐體、臺體的表面積A.多面體的表面積1.多面體的表面積求法：求平面展開圖的面積注：把多面體的各個面平鋪在平面上，所得圖形稱之為多面體的平面積展開圖.2.直棱柱的側面積與全面積（1）側面積求法：側面展開（如圖）；公式：（其中為底面周長，為側棱長）；（2）表面積：側面積兩底面積.（3）推論：正棱柱的側面積：（其中為底面周長，為側棱長）.長方體的表面積：.（其中分別為長方體的長寬高）正方體的表面積：（為正方體的棱長）.3.斜棱柱側面積與全面積（1）側面積：求法：作出直截面（如圖）；注：這種處理方法蘊含著割補思想.公式：（其中為直截面周長，為側棱長）；（2）表面積：

2、側面積兩底面積.4.正棱錐的側面積與全面積（1）側面積求法：側面展開（如圖）；公式：（其中為底面周長，為斜高）；（2）表面積：側面積底面積.5.正棱臺的側面積與全面積（1）側面積求法：側面展開（如圖）；公式：（其中、為底面周長，為斜高）；（2）表面積：側面積兩底面積. 6.正棱柱、正棱錐、正棱臺的側面積公式間的內(nèi)在聯(lián)系：正棱臺側面積公式：正棱柱側面積公式：正棱錐側面積公式：1 / 11B.旋轉體的表面積1.圓柱的側面積與全面積（1）側面積：求法：側面展開（如圖）；公式：（為兩底半徑，為母線長）；（2）表面積：.2.圓錐的側面積與表面積（1）側面積求法：側面展開（如圖）；公式：；（2）表面積：（

3、為兩底半徑，為母線長）.事實上：圓錐側面展開圖為扇形，扇形弧長為，半徑為圓錐母線，故面積為.3.圓臺的側面積與表面積（1）側面積求法：側面展開（如圖）；公式：；事實上：圓臺側面展開圖為扇環(huán)，扇環(huán)的弧長分別為、，半徑分別為、，故圓臺側面積為，.（2）表面積：.（、分別為上、下底面半徑，為母線長）4.圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式間的內(nèi)在聯(lián)系：圓臺側面積公式：圓柱側面積公式：圓錐側面積公式：二、柱體、錐體、臺體的體積A.棱柱、棱錐、棱臺的體積1.棱柱體積公式：（為高，為底面面積）；2.棱錐體積公式：（為高，為底面面積）；3.棱臺體積公式： （為高，、分別為兩底面面積）.事實上，設小棱錐高為，則大棱錐

4、高為.于是.，.圓臺側面積公式： 圓柱側面積公式： 圓錐側面積公式：4.棱柱、棱錐、棱臺體積公式間的內(nèi)在聯(lián)系：B.圓柱、圓錐、圓臺的體積1.圓柱的體積：（為高，為底面半徑）.2.圓錐的體積：（為高，為底面半徑）.3.圓臺的體積：（、分別為上、下底半徑，為高）.事實上，設小圓錐高為，則大圓錐高為（如圖）.于是.，.圓臺體積公式： 圓柱體積公式： 圓錐體積公式：4.圓柱、圓錐、圓臺體積公式間的內(nèi)在聯(lián)系：三、球的體積與表面積1.球的體積 .2.球的表面積 .四、題型示例A.直用公式求面積、求體積例1 （1）一個正三棱柱的底面邊長為4，側棱長為10，求其側面積、表面積和體積；側面積：120；表面積：1

5、20+；體積.（2）一個圓臺，上、下底面半徑分別為10、20，母線與底面的夾角為60°，求圓臺的側面積、表面積和體積；側面積：；表面積：；體積：.（3）已知球的表面積是，求它的體積. 結果：.（4）在長方體中，用截面截下一個棱錐，求棱錐的體積與剩余部分的體積之比. 結果.練習：1.已知正四棱錐底面正方形的邊長為4cm，高與斜高的夾角為，求正四棱錐的側面積和表面積. 結果：，.2.已知平行四邊形中，以為軸旋轉一周，得旋轉體.求旋轉體的表面積.結果：.3.正方體的棱長為1，則沿面對角線、截得的三棱錐的體積為 CA. B. C. D.14.已知正四棱臺兩底面均為正方形，邊長分別為4cm、8

6、cm，求它的側面積和體積. 結果：側面積：；體積：.5.正四棱錐各側面均為正三角形，側棱長為5，求它的側面積、表面積和體積.結果：側面積：；表面積：；體積：.6.若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為 . 俯視圖22正（主）視圖2側（左）視圖222B.根據(jù)三視圖求面積、體積例3 一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A. B.C. D.結果：C.練習：正視圖側視圖俯視圖41.一個底面為正三角形，側棱于底面垂直的棱柱的三視圖如圖所示，則這個棱柱的體積為 .結果：.正視圖側視圖俯視圖2.下圖是一個空間幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖，如果直角三角形的直角邊長均為

7、1，那么這個幾何體的體積為A.1 B. C. D.答案：C.3.如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為3的等腰三角形，正視圖側視圖俯視圖俯視圖是半徑為1的半圓，該幾何體的體積是A. B. C. D.正視圖側視圖俯視圖10142210142答案：A.4.已知一個組合體的三視圖如圖所示，請根據(jù)具體的數(shù)據(jù)，計算該組合體的體積.提示：該組合體結構為：上部是一個圓錐，中部是一個圓柱，下部也是一個圓柱.結果：.5.下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是 DA. B. C. D.C.幾何體表面上最短距離問題例 三棱錐的側棱長均為1，且側棱間的夾角都是，動點在上移動，動點在上移動，

8、求的最小值. 結果：.D.與球有關的組合問題例1（1）若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 . 結果:.（2）若一個球內(nèi)切于棱長為3的正方體，則該球的體積為 . 結果:.例2 有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為的鐵球，并注入水，使球浸沒在水中并使水面正好與球相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度.結果：.變式訓練：1.長方體中，則其外接球的體積為 .2.求棱長為1的正四面體的外接球、內(nèi)切球的表面積.注：棱長為的正四面體中常用數(shù)據(jù)：（1）高：，中心到頂點距離：，中心到面距離：，中心到頂點距離：中心到面的距離=3：1.（2）全面積：，體積：.（

9、3）對棱距離：.（4）棱面角：或，面面角：或.E.幾個重要結論的補充及應用結論1 錐體平行截面性質錐體平行截面與錐體底面相似，且與底面積比等于兩錐側面積面積比，等于兩錐全面積面積比，等于兩錐對應線段（對應高、對應斜高、對應對角線、對應底邊長）比的平方.結論2 若圓錐母線長為，底面半徑為，側面展開圖扇形圓心角為，則.結論3 若圓臺母線長為，上、下底面半徑分別為、，側面展開圖扇環(huán)圓心角為，則.證明：設小圓錐母線長為，則有.，.應用1.一個圓錐的側面積是底面積的2倍，則圓錐側面展開圖扇形的圓心角度數(shù)為 BA. B. C. D.2.一個圓錐的高是10cm，側面展開圖是半圓，求圓錐的側面積.解：設圓錐底

10、面半徑為，圓錐母線長為，則扇形弧長為，.在中，有此得，.圓錐側面積為.3.露露從紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片（如圖），用它們恰好能圍成一個圓錐模型，若圓的半徑為1扇形的圓心角等于120°，則此扇形的半徑為 CA. B. C.3 D.6 4.圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm，它的側面展開圖的扇環(huán)的圓心角是，那么圓臺的表面積是多少？結果：.5.圓錐母線長為1，側面展開圖的圓心角為，則圓錐體積為 CA. B. C. D.6.若圓錐的側面展開圖是圓心角為、半徑為的扇形，則這個圓錐的表面積與側面積的比是A. B. C. D. 結果：C.F.空間幾何體體積求法例析A.公式法俯視圖

11、主視圖側視圖例1 四棱錐的頂點在底面中的射影恰好是，其三視圖如圖，則四棱錐的體積為 .解：根據(jù)三視圖可已將四棱錐的底面是邊長為的正方形，高為，利用錐體體積公式.點評：1.計算幾何體體積需要區(qū)別錐體、柱體、臺體、球體.它們的體積各自有不同的特征，注意準確運用體積公式.2.如果是只求體積，根據(jù)“長對正，寬相等，高平齊”分別求出幾何體的底面積和高，直接計算體積即可，若幾何體比較復雜或涉及面積等計算時，則需復原幾何體（本幾何體復原后的圖形如圖）.例2 一個幾何體的俯視圖是一個圓，正視圖和側視圖是全等的矩形，它們水平放置時（一邊在水平位置上），它們的斜二測直觀圖是邊長為6和4的平行四邊形，則該幾何體的體

12、積為 .解：斜二測畫法原則是“橫長不變縱減半”.據(jù)此，正視圖的長可能是6或4，高是8或12，而且是矩形.可見該幾何體是圓柱體，底面直徑可能是6或4，高是8或12.根據(jù)圓柱體體積公式，或.該幾何體體積為或.例3 用一塊長3m，寬2m的矩形木板，在墻面互相垂直的墻角處，圍出一個直三棱柱形谷倉，在下面的四種設計中，容積最大的是 ABACA22223333解：略.B.分割法例4 已知一個多面體的表面積為36，它的內(nèi)切球的半徑為2，求該多面體的體積.解：設多面體有個面，每個面的面積分別為，則.多面體內(nèi)切球的球心到多面體個個面的距離都等于球的半徑，運用分割法，以內(nèi)切球球心為頂點，多面體的每個面為底面，將多

13、面體分割成個棱錐，于是多面體的體積等于這個棱錐的體積和，即.例5 如圖3，在多面體中，已知面是邊長為3的正方形，與面的距離為2，則該多面體的體積為 .解：取、邊的中點、，將多面體分割成斜三棱柱和四棱錐，利用三棱柱體積公式及四棱錐體積公式，不難求得多面體積：.點評：本題中的幾何體是不規(guī)則的，設法將幾何體分割（或補）成規(guī)則的常見的幾何體，是解題的關鍵，由于，并沒有說明的確切位置，因此可以將其位置特殊化，從而得到直三棱柱和四棱錐，這是本題解法一個巧妙之處.C.補形法例6 已知三棱柱的一個側面面積為，相對的棱距離該側面的距離是，求證：該三棱柱的體積是.證明：設三棱柱的側面的面積為，側棱到該側面的距離為

14、.以三棱柱的側面為底面，將三棱柱補形得到四棱柱，如圖.則四棱柱的高恰等于.四棱柱的體積為，它的一半，即為三棱柱的體積.三棱柱的體積為.點評：本體的結論可以作為結論用.例7 已知、兩兩互相垂直，且、的面積分別為，2，6，則過、四點的外接球的體積為 .解：、兩兩互相垂直，則以它們?yōu)榛A，補形成為一個長方體，長方體的對角線是外接球的直徑.設三條棱長分別為，則，解得，.從而，.點評：對于三條棱兩兩互相垂直或者3個側面兩兩互相垂直的三棱柱以及正四面體或對棱分別相等的三棱錐，都可以補形成為長方體或者正方體，它們有共同的外接球，外接球的直徑正好是長方體或正方體的體對角線，這樣就很容易將球體和三棱錐聯(lián)系起來.

15、D.特殊化法例8 如圖，直三棱柱體積為，點、分別在側棱、上，則四棱錐的體積為 .解：將條件特殊化，使得和重合，和重合，四棱錐就變成三棱錐，它和直三棱柱等底等高，四棱錐的體積等于.E.等體積轉化（變換角度）例9 如圖，在長方體中，如果分別過、的2個平行平面將長方體分成體積相等的3部分，那么 .解：將長方體站立放置，從而更容易觀察到相關的幾何體分別是直三棱柱、直四棱柱、直三棱柱.長方體被分成體積相等的三部分，即.由于它們的等高且等體積，底面積也相等，就是說，即，.例10 如圖，已知、分別是棱長為的正方體的棱、的中點，求三棱錐的體積.解：.點評：在三棱錐求體積問題中，變換角度就是換頂點、換底面，它是

16、計算三棱錐體積問題長見的轉化策略之一，它的基本依據(jù)是變換前后等體積.轉換的標準是相應的底面和高是否容易求解.顯然本題直接按照題中所給的角度或者轉換成三棱錐都不便于求底面和高.練習：1.正六棱錐中，為的中點，則三棱錐與三棱錐體積之比為 CA. B. C. D.2.如圖，在多面體中，已知是邊長為1的正方形，且、均為正三角形，則該多面體的體積為 AA. B. C. D.3.某幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm），則這個幾何體的體積是B20202020側視圖1010俯視圖正視圖A. B. C. D.4.一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的表面積為 AA. B. C. D.5.若正方體外接球

17、的體積是，則正方體的棱長為A. B. C. D.選D7.如圖，已知多面體，兩兩垂直，平面平面，平面平面，則該多面體的體積為A.2 B.4 C.6 D.89.一個長方體的某3個面的面積分別是，.則這個長方體的體積是 .10.設等邊三角形的邊長為，是內(nèi)的任意一點，且到三邊，的距離分別為，則有為定值；由以上平面圖形的特性類比空間圖形：設正四面體的棱長為，是正四面體內(nèi)的任意一點，且到四個面的距離分別為，則有為定值是 . 結果：.11.某球的外切圓臺上下底面半徑分別為，則該球的體積是 .12.在三棱錐中，則該三棱錐的外接球的表面積為 .解：依題意得，該三棱錐的三組對棱分別相等，因此可將該三棱錐補成長方體，設該長方體的長、寬、高分別為，且其外接球的半徑為，則，得，即.三棱錐外接球的表面積為.13.各頂點都在一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則球的體積是 . 結果：.11.體積為的一個正方體，其全面積與球的表面積相等，則球的體積等于 . 結果：.14.如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是，則_.結果：.2側視圖正視圖31俯視圖115.三棱錐的頂點為，為三條側棱，兩兩互相垂直，又，則三棱錐的體積為_. 結果：4.14.半徑為的球的外切圓柱的表面積為 ，體積為 . 結果：；.16.直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若，則此球的表面積等于 .