絕對值在高考題中

1、湯念輝 絕對值在高考題中一、定義在初中代數(shù)課程中，我們知道，數(shù)軸上的每一個點都有一個完全確定的實數(shù)與它對應(yīng)，反之，每一個實數(shù)有數(shù)軸上的唯一點與它對應(yīng)，因此實數(shù)與數(shù)軸上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系. 在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離開原點的距離，叫做這個數(shù)的絕對值. 并且規(guī)定了：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零.二、性質(zhì)絕對值具有下列運算性質(zhì)（1）|a| + |b|a+b| .兩個數(shù)的絕對值的和，不小于這兩個數(shù)的和的絕對值 .（2）| a | - | b | | a-b | . 兩個數(shù)的絕對值的差，不大于這兩個數(shù)的差的絕對值.（3） | a | b | = | ab | . 兩個

2、數(shù)的絕對值的積，等于這兩個數(shù)的積的絕對值 . （4） 兩個數(shù)的絕對值的商，等于這兩個數(shù)的商的絕對值 .三、算術(shù)根與絕對值我們知道，如果x的n次方等于a ， 那么x就叫做a的n次方根 . a的n方根記，其中a是被開方數(shù)，n是根指數(shù) .為了運算的需要，我們規(guī)定：正數(shù)的正的方根叫做算術(shù)根，零的算術(shù)根是零，并且用符號來表示 .根據(jù)算術(shù)根的定義，一般地有： （n是自然數(shù)）四、高考中的絕對值1、解含有絕對值的方程【例1】（2004年全國卷第18題） 解方程4x+|1-2x|=11.解答：當(dāng)x0時, 有：4x+1-2x=11化簡得：(2x)2-2x-10=0解之得：或(舍去).又x0得2x1, 故不可能，應(yīng)

3、舍去.【注意】：應(yīng)舍去，因為我們是在假設(shè)2x1的條件下，對原方程進行變形的，但是1，所以它與假設(shè)相矛盾，必須舍去.【續(xù)解】：當(dāng)x0時, 有：4x-1+2x=11化簡得：(2x)2+2x-12=0解之得：2x=3或2x= -4(舍去)2x=3 x=log23綜上可得原方程的解為x=log23.【點評】：解這類方程的基本思想是去掉絕對值符號，把它化為不含絕對值符號的方程來解. 為了去掉絕對值符號，我們可以根據(jù)未知數(shù)取值范圍的不同情況討論絕對值符號內(nèi)代數(shù)式的正、負(fù)；得出方程的解以后，還要檢驗這些解是否在所討論的取值范圍內(nèi)，如果不在未知數(shù)假設(shè)的取值范圍內(nèi)，就應(yīng)該把它舍去.2、解含有絕對值的不等式解含有

4、絕對值符號的不等式與解含有絕對值符號的方程相類似，基本想是設(shè)法去掉絕對值符號，把它化為不含絕對值符號的一般不等式去解.我們看下面的一個例子：【例2】（2004年全國卷第8題）不等式的解集為（ ）A. B. C. D.解答：D -4x-2或0x0aa a0a = 0a0|x|a-axaxax0的一切實數(shù)一切實數(shù)3、含有絕對值不等式的證明含有絕對值符號的不等式的證明和不含有絕對值符號的不等式的證明一樣，需要運用不等式的性質(zhì)和基本不等式來進行 . 但它又是一種特殊的不等式，含有絕對值符號，證明時還必須考慮運用絕對值的定義和性質(zhì). 證明的方法和證明不含絕對值符號不等式的方法相仿，一般可以采用比較法、分

5、析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法和反證法等. 這里先簡略地介紹一下什么是比較法、分析法和綜合法，然后通過例題介紹絕對值不等式的證明 .【例3】如果|a|1 , |b|1 , 求證： 證 法 一 比較法： 分 析 要證明 就是要證也就是只需證明 即可. 證 明 . 由|a|1, 可得a1， a -10 ; 由|b|1, 可得b0 . ab|ab| = | a|b|0 ， . 由|a|1, 可得 - a0 ,同理， b+10 .而1+ab0 , . 即 . -1 ，即 【說明】：比較法，可以從兩式的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)來決定它們的大小. 它的依據(jù)是，如果A - B0,那么AB，如果A-B0, 那么A0, B0

6、, 那么當(dāng)1時有AB；當(dāng)1時有AB .證 法 二 分析法：要證明 只要證明 | a+b | | 1+ab | ,就是證明 （a+b）2 (1+ab)2 ,即 ，就是 .而 . 由|a|1，得a2-10 ; 由|b| 0 . 0 ,即 1+a 2b 2 - a 2 - b 2 0 , 1+a 2b 2 a 2 + b 2 , 1+a 2 b 2 + 2ab a 2 + b 2 + 2ab ,即 （1+ab）2 (a+b) 2 , |1+ab| | a+b| , .【說明】：綜合法就是從已知條件開始，逐步推理，最后得到所求證的不等式成立 .4、含有絕對值符號的函數(shù)的圖象根據(jù)絕對值的定義，有 這就是

7、說，當(dāng)f (x)0時，那么| f (x)| = f (x)，此時| f (x)|的圖象就是f (x)的圖象. 當(dāng)f (x)0時，那么| f (x)|= - f (x)，此時| f (x)|的圖象是與f (x)的圖象關(guān)于x軸成軸對稱的. 由此可見，只要把f (x)的圖象分成兩部分，在x軸上方的圖象保持不變，而x軸下方的圖象，則作出它關(guān)于x軸的對稱圖象，這樣合起來就得到了函數(shù)y=| f (x)|的圖象 .對于函數(shù)y =（f |x|），我們同樣可以根據(jù)絕對值的定義進行討論. 因此，當(dāng)x0時，f (|x|) = f (x), y = f (|x|)的圖象就是y = f (x)（當(dāng)x0時）的圖象. 而x

8、0時，f (|x|) = f (-x)，所以y = f (|x|)的圖象就是與f (x)（當(dāng)x0時）的圖象關(guān)于y軸對稱的圖象 . 【例4】作下列函數(shù)的圖象：（1）y=| x2-1 | , （2）y =1- | x | .分 析 要作出y=|x 2 - 1|的圖象，我們可以先作出y= x2 - 1的的圖象，對于x軸下方的圖象作出它關(guān)于x軸的對稱圖象. 要作出y=1- | x |的圖象，可先作y = 1-x（當(dāng)x0）的圖象，再作出它關(guān)于y軸對稱的圖象. 解 （1）作f (x) = x 2 1的圖象，它是以（0 ，-1）為頂點，y軸為對稱軸的開口向上的拋物線. 對位于x軸下方的圖象作出它關(guān)于x軸對稱的圖象，這樣就得到了f (x) = | x2-1|的圖象. （如下圖左）（2）作y =1-x（當(dāng)x0）圖象，它是斜率為-1，與y軸上的截距等于1的一條射線，再作出它關(guān)于y軸對稱的射線，