帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題例析

1、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題例析湖北省恩施高中陳恩譜名師指路例1:如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平極板間有垂直于紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,板間距離也為L(zhǎng),板不帶電.現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（不計(jì)重力），從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打在極板上，可采A .使粒子的速度V<4mL c.使粒子的速度v>BmL用的辦法是B.使粒子的速度v>4md.使粒子的速度qm<v<4jq=【思維導(dǎo)引】本題是帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題六大類型之一：已知入射點(diǎn)和入射速度方向，但入射速度大小不確定（即軌道半徑不確定）。所有這些問題，其

2、通用解法是：第一步，找準(zhǔn)軌跡.圓圓心可能的位置：,第二為，按二定順序盡可能多地作不同圓心對(duì)應(yīng)的軌跡圓（一般至少5畫個(gè)軌跡圓）第三步，根據(jù)所作的圖和題設(shè)條件，找出臨界軌跡圓，從而抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)。【要點(diǎn)提醒】入射點(diǎn)和入射方向已知，入射速度大小不確定一一這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓圓心均在過入射點(diǎn)、垂直入射速度的同一條直線上?！臼职咽帧苛Ｗ映跛俣确较蛞阎?，故不同速度大小的粒子軌跡圓圓心均在垂直初速度的直線上（如圖甲），在該直線上取不同點(diǎn)為圓心，半徑由小取到大，作出一系列圓（如圖乙），其中軌跡圓和為臨界軌跡圓。軌道半徑小于軌跡圓或大于軌跡圓的粒子，均可射出磁場(chǎng)而不打在極板上。圖甲圖乙【解答】AB粒子

3、擦著板從右邊穿出時(shí)，圓心在。點(diǎn)，有ri2=L2+（riL）2,得ri=-5L由ri=mv1，得vi=54mL，所以吐曙時(shí)粒子能從右邊穿出粒子擦著上板從左邊穿出時(shí)，圓心在O'點(diǎn)，有2=4由r2=mv2，得v2=BqL，所以v<BqL時(shí)粒子能從左邊穿出.【解后反思】容易漏選A,錯(cuò)在沒有將r先取較小值再連續(xù)增大，從而未分析出粒子還可以從磁場(chǎng)左邊界穿出的情況。a例2：如圖所不，在0Wx唱、0WyW范圍內(nèi)有垂直手xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。2坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶?正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方

4、向打,2的夾角分布在090°范圍內(nèi)。己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于a/2*到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中*做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。求最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的L?=?上速度的大小;（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦?！舅季S導(dǎo)引】本題是帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題六大類型之二：已知入射點(diǎn)和入射速度大一1Ir口*1IIII*r1*，I口*Iri*ii，i10ii*ii公工即物迫步逕大?。?，但Afi逑度方回丕跡走一。西迪用解法還是：第一步,找準(zhǔn)軌跡圓圓心可能的位亞&前三口豆二百而近H/加存水而向:取R的軌跡圓（一般至少5畫

5、個(gè)軌跡圓），第三步，根據(jù)所作的圖和題設(shè)條件，找出臨界軌跡圓，從而抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)?！疽c(diǎn)提醒】這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在一個(gè)“圓心圓”上一一所謂“圓心圓”，是指以入射點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓?！臼职咽帧勘绢}給定的情形是粒子軌道半徑r大小確定但初速度方向不確定，所有粒子的軌跡圓都要經(jīng)過入射點(diǎn)Q入射點(diǎn)O到任一圓心的距離均為r,故所有軌跡圓的圓心均在一個(gè)“圓心圓”一一以入射點(diǎn)O為圓心、為半徑的圓周上（如圖甲）?？紤]到粒子是向右偏轉(zhuǎn)，我們從最左邊的軌跡圓畫起取“圓心圓”上不同點(diǎn)為圓心、r為半徑作出一系列圓，如圖乙所示；其中，軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)大于軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)一一半徑一定、圓心角都較小時(shí)（均小于18

6、0°）,弦長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)故軌跡對(duì)應(yīng)圓心角為90°。圖甲圖乙【解答】設(shè)粒子的發(fā)射速度為 v,粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R,根據(jù)牛頓第二定律和洛倫茲力得:2VqvB = mR,口 i mv解得：R= qB當(dāng)a/2<R<a時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場(chǎng)的邊界相切，如圖所示，設(shè)該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,依題意，t=T/4時(shí)，/OCA=tt/2設(shè)最后離開磁場(chǎng)的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為(X,由幾何關(guān)系得:aRsina=R, Rsin a =aRcosa2.22.sin 工, cos - =1口

7、、6.6 aqB .6- 6解得：R = (2 )a, v=(2 )一q-, sin «=22 m10【解后反思】 由于作圖不仔細(xì)而把握不住“ 軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)大于軌跡 對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)一一半徑一定、圓心角都較小時(shí)（均小于 180°）,弦長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)”從而誤認(rèn)為軌跡對(duì)按粒子偏轉(zhuǎn)方向移動(dòng)圓心作圖應(yīng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)。這類題作圖要講一個(gè)小技巧【例3】如圖所示，無重力空間中有一恒定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于xOy平面向外，大小為B,沿x軸放置一個(gè)垂直于xOy平面的較大的熒光屏，P點(diǎn)位于熒光屏上，在y軸上的A點(diǎn)放置一放射源，可以不斷地沿平面內(nèi)的不同

8、方向以大小不等的速度放射出質(zhì)量為m、電荷量+q的同種粒子，這些粒子打到熒光屏上能在屏上形成一條亮線，P點(diǎn)處在亮線上，已知OA=OP=l,求：（1）若能打到P點(diǎn)，則粒子速度的最小值為多少？（2）若能打到P點(diǎn)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為多少？【思維導(dǎo)引】本題是帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題六大類型之三：已知入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，但未知初速度大?。次粗霃酱笮。┖头较?。思路同前。【要點(diǎn)提醒】這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓圓心均在入射點(diǎn)和出射點(diǎn)連線的中垂線上?！臼职咽帧苛Ｗ蛹冉?jīng)過A點(diǎn)又經(jīng)過P點(diǎn)，因此AP連線為粒子軌跡圓的一條弦，圓心必在該弦的中垂線OM上（如圖甲）。在OM上取不同點(diǎn)為圓心、以圓心和A

9、點(diǎn)連線長(zhǎng)度為半徑由小到大作出一系列圓（如圖乙），其中軌跡對(duì)應(yīng)半徑最小，而軌跡對(duì)應(yīng)粒子是Oi點(diǎn)上方軌道半徑最大的，由圖可知其對(duì)應(yīng)圓心角也最大?！敬鸢浮浚?）v=叵B_,t=5m2m2qBv時(shí)，其在磁場(chǎng)中的運(yùn)【解答】（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，設(shè)粒子的速度大小為動(dòng)半徑為R,則由牛頓第二定律有:2vqBv=m若粒子以最小的速度到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，其軌跡R=sAP2RAP為直徑的圓Jl2（如圖中圓Oi所示）由幾何關(guān)系知:則粒子的最小速度v=2qBl2m（2）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期T=2空qBB*設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)其軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為e依則粒子在磁場(chǎng)中白運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=T=2冗x1mqB由圖

10、可知，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中圓。2所示,此時(shí)粒子的初速度方向豎直向上，則由幾何關(guān)系有:則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間:2qB【解后反思】注意作好入射點(diǎn)和出射點(diǎn)連線的中垂線后,作軌跡圓時(shí)半Ox度延長(zhǎng)線形成的角的角平分/上。即/末速度所在直線必定與粒子的軌跡圓相切入冰也圓圓心到兩條直線 1、30 1的距離（即軌道半徑）相等，因網(wǎng),圓心必位于初、末速度延長(zhǎng)線形成的角的角*分線QC上（如圖甲）；八在角平分線QC上取不同的點(diǎn):勺圓L P可能的軌跡圓中半徑最大的，其對(duì)中的君仔速度也最大。P）,其中以C點(diǎn)為圓心軌跡是ACQQOO由小到大作出一系列軌跡圓A AA （文圖/L徑一定要由小到大取

11、至少五個(gè)不同的值，這樣才能題意。解題高手【例1】在xOy平面上的某圓形區(qū)域內(nèi)，存在一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始沿x正方向運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入該磁場(chǎng)區(qū)域后又射出該磁場(chǎng)；后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30°（如圖所示），已知P到。的距離為L(zhǎng),不計(jì)重力的影響。（1）若磁場(chǎng)區(qū)域的大小可根據(jù)需要而改變，試求粒子速度的最大可能值；（2）若粒子速度大小為v=9BL，試求該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。6m【分析】本題是帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題六大類型之四：已知初、末速度的方向（所在直線），但未知初速度大?。次粗?/p>

12、軌道半徑大?。?這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在初、末速圖丙圖甲圖乙【解答】過P點(diǎn)作末速度所在直線，交x軸于Q點(diǎn)，經(jīng)分析可知，粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡的圓心必在/OPQ的角平分線QC上，如圖甲所示。設(shè)粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r,則由牛頓第2二定律，有qvB=mrmv則r=qB由此可知粒子速度越大，其軌道半徑越大，由圖乙可知，速度最大的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心是y軸上的C點(diǎn)。（1）如圖丙所示，速度最大時(shí)粒子的軌跡圓過。點(diǎn)、且與PQ相切于A點(diǎn)。由幾何關(guān)系有OQ=lian3pri=OQtan30）可得r1=3由、求得丫=理3m（2）將丫=照代入式，可得2=L,粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡

13、是6m6如圖丁所示的軌跡圓，該軌跡圓與x軸相切于D點(diǎn)、與PQ相切于E點(diǎn)。連接DE,由幾何關(guān)系可知DE由于D點(diǎn)、E點(diǎn)必須在磁場(chǎng)內(nèi)，即線段DE在磁場(chǎng)內(nèi)，故可知磁場(chǎng)面積最小日必定是以DE為直徑（如圖丁中所示）。即面積最-1r一小的磁場(chǎng)半徑為R=DE2oJ3od2則磁場(chǎng)的最小面積為s=tR2=XL）2=1248【例5】如圖所示，長(zhǎng)方形abcd的長(zhǎng)ad=0.6m,寬ab=0.3m,O、e分別是ad、bc的中點(diǎn)，以e為圓心eb為半徑的圓弧和以O(shè)為圓心Od為半徑的圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（eb邊界上無磁場(chǎng)）磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.25T。一群不計(jì)重力、質(zhì)量m=3X10-7kg、電荷量q=+2X10

14、-3C的帶正電粒子以速度v=5Xl02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場(chǎng)射入磁場(chǎng)區(qū)域，則下列判斷正確的是（）A.從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在Oa邊B.從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在ab邊C.從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊D.從ad邊射人的粒子，出射點(diǎn)全部通過b點(diǎn)【分析】本題是帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題六大類型之五：已知初速度的大?。匆阎壍腊霃酱笮。┖头较颍肷潼c(diǎn)不確定.這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在將入射點(diǎn)組成的邊界沿垂直入射速度方向平移一個(gè)半徑距離的曲線上。所有進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子的入射點(diǎn)均在dOb線上，將該曲線垂直速度向上平移一個(gè)半徑r=mv后得到曲線O

15、af,此即所有粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心所在曲線，在qB該曲線上從下到上取點(diǎn)作為圓心、r=mv為半徑作一系列軌跡圓，其中為從d點(diǎn)射入粒子的軌跡（圓qB心在。點(diǎn)），為從O點(diǎn)射入粒子的軌跡（圓心在a點(diǎn)），為從a點(diǎn)射入粒子的軌跡，從d、O之間入射粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過1/4圓周后沿eb邊界作直線運(yùn)動(dòng)最終匯聚于b點(diǎn)，從O、a之間入射粒子先作直線運(yùn)動(dòng)再進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)，由作圖易知這些粒子也匯聚于b點(diǎn)?！纠?】如圖所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為e的電子從y軸上的P（0,a）點(diǎn)以初速度v0平行于x軸射出，在y軸右側(cè)某一圓形區(qū)域加一垂直于xoy平面向里勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.為了使電子能從x軸上的Q（b,0

16、）點(diǎn)射出磁場(chǎng)。試求滿足條件的磁場(chǎng)的最小面積，并求出該磁場(chǎng)圓圓心的坐標(biāo)?！痉治觥勘绢}是帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題六大類型之六：已知初速度方向（所在直線）和出射點(diǎn)，但入射點(diǎn)不確定.這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在“以初速度所在直線為準(zhǔn)線、出射點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線”上。本題中，電子初速度所在直線已知，電子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射點(diǎn)在該直線上，則可知電子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓與該直線相切、且經(jīng)過Q點(diǎn)，所以電子軌跡圓圓心到該直線和到Q點(diǎn)的距離相等，即電子軌跡圓圓心在以該直線為準(zhǔn)線、Q點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線上。在該拋物線上從左向右去不同點(diǎn)為圓心，做出一些列軌跡圓，可以看出所有這些軌跡中軌跡所需圓形磁場(chǎng)的直徑

17、最小?！敬鸢浮?7a2,(b,a)42練習(xí)【練習(xí)1】?jī)善矫鏌晒馄粱ハ啻怪狈胖茫趦善羶?nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點(diǎn)O為原點(diǎn)，如圖所示。在y>0,0<x<a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在y>0,x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。在O點(diǎn)處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場(chǎng)，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值.已知速度最大的粒子在0<x<a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與在x>a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為2：5

18、,在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為7T/12,其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的周期。試求兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍（不計(jì)重力的影響）。XX：1XX:XX:XXiXxL【分析】粒子在0<x<a的區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)屬于初速度方向已知、大小不確定的情況，在垂直初速度的直線（即y軸）上取不同點(diǎn)為圓心，半徑由小取到大，作出一系列圓（如圖甲），其中軌跡圓與直線x=a相切，為能打到y(tǒng)軸上的粒子中軌道半徑最大的；若粒子軌道半徑大于軌跡圓，粒子將進(jìn)入x>a的區(qū)域,由對(duì)稱性口y半徑由小比惻屋”在x>a的區(qū)域內(nèi)的軌跡圓圓心均在在T目所要求跡圓,其中軌跡圓a2a2a圖甲圖乙【答案】豎直屏上發(fā)

19、亮的范圍從。到2a,水平屏上發(fā)亮的范圍從2a至ijx=2a+紀(jì)3a3【解答】粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為：r=mvqB速度小的粒子將在x<a的區(qū)域走完半圓，射到豎直屏上。半圓的直徑在y軸上，半徑的范圍從0到a,屏上發(fā)亮的范圍從0到2a。軌道半徑大于a的粒子開始進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與x軸在D點(diǎn)相切(虛線)，OD=2a,這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界。速度最大的粒子的軌跡如圖中實(shí)線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為C和C',C在y軸上，有對(duì)稱性可知C'在x=2a直線上。設(shè)ti為粒子在0<x<a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，t

20、2為在x>a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由題意可知t127T,.,T,5T_一=一，ti+t2=由此解得：t1=一t1=t2512612由式和對(duì)稱性可得/OCM=60,/MC'N=6b/MC'P=3'60=：1(50所以NNC'P=150”60"=9012即弧長(zhǎng)NP為1/4圓周。因此，圓心C'在x軸上。設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為R,有直角LCOC'可得2Rsin60'=2a由圖可知OP=2a+R,因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標(biāo)【易錯(cuò)提醒】本題容易把握不住隱含條件一一所有在x>a的區(qū)域內(nèi)的軌跡圓圓心均在在x=2a直線

21、上，從而造成在x>a的區(qū)域內(nèi)的作圖困難；另一方面，在x>a的區(qū)域內(nèi)作軌跡圓時(shí)，半徑未從軌跡圓半徑開始取值，致使軌跡圓未作出，從而將水平熒光屏發(fā)亮范圍的左邊界坐標(biāo)確定為x=a【練習(xí)2】如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、磁感應(yīng)弓雖度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在t=0時(shí)刻，一位于ad邊中點(diǎn)O的粒子源在abcd平面內(nèi)發(fā)射出大量的同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與Od邊的夾角分布在0180°范圍內(nèi)。已知沿Od方向發(fā)射的粒子在t=t0時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界cd上白p點(diǎn)離開磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑恰好等于正方形邊長(zhǎng)L,粒子重力不計(jì)，求：(1)粒子的比荷q/

22、m；(2)假設(shè)粒子源發(fā)射的粒子在0180。范圍內(nèi)均勻分布，此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與粒子源發(fā)射的總粒子數(shù)之比；(3)從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場(chǎng)所用的時(shí)間?！痉治觥恳訪為半徑、O點(diǎn)為圓心作“圓心圓”（如圖甲）；由于粒子逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)，從最下面的軌跡開始;其中軌跡與軌跡畫起（軌跡），在圓心圓”取不同點(diǎn)為圓心、以L為半徑作出一系列圓（如圖乙）對(duì)稱，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同；軌跡并不經(jīng)過c點(diǎn)，軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)短于軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)一一即沿軌跡運(yùn)動(dòng)的粒子最后離開磁場(chǎng)。m 6Btot =(12arcsin-5)t0【解答】（1）初速度沿Od方向發(fā)射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，其園心為n,由幾何關(guān)系有:ji-Onp 二一

23、6toT12粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得21; 2 rBqv =m() R, v =Om 6Bt0（2）依題意，同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子到。點(diǎn)距離相等。在 to時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以園心，Op為半徑的弧pw上。由圖知八5二pOw =6此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比為5/6（3）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的軌跡應(yīng)該與磁場(chǎng)邊界b點(diǎn)相交，設(shè)此a粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為0,則.9sin-二2、 一e在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t = T2 二12arcsin57554所以從粒子發(fā)射到全部離開所用時(shí)間為* J25、.t =(arcsin )t0。 二 4【易錯(cuò)提醒】

24、本題因作圖不認(rèn)真易錯(cuò)誤地認(rèn)為軌跡 經(jīng)過c點(diǎn)，認(rèn)為軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)等于軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)， 于是將軌跡對(duì)應(yīng)粒子作為在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的 粒子進(jìn)行計(jì)算；雖然計(jì)算出來結(jié)果正確，但依據(jù)錯(cuò)誤?！揪毩?xí)3】如圖所示，xOy平面內(nèi)存在著沿y軸正 方向的勻強(qiáng)電場(chǎng).一個(gè)質(zhì)量為m,帶電荷量為+ q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn) O以速度Vo沿x軸正方向開始運(yùn)動(dòng).當(dāng) 它經(jīng)過圖中虛線上的 M(2j3a, a)點(diǎn)時(shí)，撤去電場(chǎng)，粒 子繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后進(jìn)入一個(gè)矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域(圖中未畫出)，又從虛線上的某一位置N處沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)并再次經(jīng)過 M點(diǎn).已知磁場(chǎng)方向垂直 xOy平面(紙 面)向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B,不計(jì)粒子的重力，試求：(1)電場(chǎng)強(qiáng)度的大?。?2)N點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)矩形磁場(chǎng)的最小面積.o【分析】 粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入 MN右側(cè)，初速度方向已知，另一方面，粒子末速度由N指向Mo初速度、末速度所在直線交于點(diǎn)M,過M點(diǎn)作/NMP角平分線 MO',粒子軌跡圓的圓心必在直線MO'上。取其上一點(diǎn) O'為圓心作出軌跡圓(如圖所示)2 mv0 【答案】E =6qa Xn =2、3a4m2v2 Smin = Li L222q b【解答】粒子從。到M做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為 t,則有2 3a =v0t得1 qE+2 a = t