基于樣條函數(shù)的空間梁系結(jié)構(gòu)變形圖的插值算法

1、基于樣條函數(shù)的空間梁系結(jié)構(gòu)變形圖的插值算法陳曉霞1 邢靜忠21 甘肅工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院, 蘭州 730050,2 甘肅工業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 蘭州 730050摘 要 空間梁系結(jié)構(gòu)在空間荷載作用下,結(jié)構(gòu)發(fā)生空間變形,各個(gè)桿件由原來(lái)的直線狀態(tài)變?yōu)榭臻g曲線。如何準(zhǔn)確形象地表達(dá)空間桿件的變形,是桿系有限元后處理的重要研究?jī)?nèi)容。本文基于三次樣條函數(shù)插值方法,根據(jù)空間桿件變形時(shí)發(fā)生在桿件兩端的角位移和線位移,通過(guò)理論推導(dǎo)得到桿件在受力變形后的空間變形曲線方程,為空間桿件的變形描述奠定了理論基礎(chǔ)。利用該公式繪制的空間桿件的變形圖,不僅反映節(jié)點(diǎn)線位移,同時(shí)還反映節(jié)點(diǎn)的角位移。在塔式起重機(jī)有限元分析系統(tǒng)的應(yīng)用表明本文

2、算法計(jì)算量小,編程簡(jiǎn)單,描繪的變形曲線更加符合實(shí)際情況。關(guān)鍵詞 三次樣條; 插值; 空間桿件; 變形曲線中圖分類號(hào) TB115The Interpolation Arithmetic of Displacement of Space Frames withCubic Spline FunctionChen Xiaoxia 1 Xing Jingzhong 2(1 College of Mechanical and Electronic Engineering of Lanzhou University of Sciences and Technology , Lanzhou 7300502 S

3、chool of Sciences of Lanzhou University of Sciences and Technology, Lanzhou 730050Abstract Spacial frames deform in space under spatial load, axial straight line of every pole becomes spacial curve. How to exactly describe the true deformation is an important research of finite element post-process.

4、 Based on an interpolation method of cubic spline function, spacial curve equation of deformed spacial pole is deduced according to displacement and rotational angle of node, and deformed shape of space bars are generated from the formula. The graphics of deformed poles shows both node movement and

5、node rotation. The application in finite element analysis system of tower crane indicates the arithmetic needs less calculation and is easy to be programmed, the deformation curve of the deformed structure is more fitted to true situation.Key words cubic spline; interpolation; space pole; deform cur

6、ve三次樣條插值曲線的在不同方向的理論分析和研究,為三次樣條插值曲線的工程應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)1-3。這些工程應(yīng)用研究大多集中在討論三次樣條函數(shù)在平面情況下的應(yīng)用4-6。但是實(shí)際工程中存在大量空間梁系結(jié)構(gòu)的變形情況,如何利用三次樣條擬合技術(shù)來(lái)擬合空間變形曲情況,是一個(gè)既有理論意義,也有應(yīng)用價(jià)值的研究。繪制空間桿件系統(tǒng)的變形圖,不僅應(yīng)反映節(jié)點(diǎn)線位移,同時(shí)還應(yīng)反映節(jié)點(diǎn)的角位移。從而使空間桿系的變形圖更加符合實(shí)際變形情況,更有利于工程人員準(zhǔn)確判斷結(jié)構(gòu)的變形和受力狀況。空間桿件在軸力,剪力,扭矩和彎矩共同作用下,每個(gè)節(jié)點(diǎn)在變形過(guò)程中,產(chǎn)生三個(gè)線位移和三個(gè)角位移,使桿件軸線由原來(lái)的直線狀態(tài)變?yōu)榭臻g曲線狀態(tài)

7、。當(dāng)桿件上作用的力可以簡(jiǎn)化為節(jié)點(diǎn)上的力和力偶來(lái)處理時(shí),桿件的變形曲線正好是三次函數(shù)曲線。因而對(duì)于只受節(jié)點(diǎn)荷載作用,或者桿件中部所受的力生成的變形與整體受力所產(chǎn)生的變形相比較小時(shí),空間桿系的變形都可以用三次樣條函數(shù)來(lái)擬合。1 空間曲線三次樣條插值算法空間桿件00B A ,節(jié)點(diǎn),(1010100z y x A 和,(2020200z y x B 在受力變形以后分別產(chǎn)生了線位移A A A w v u ,和B B B w v u ,角位移Az Ay Ax ,和Bz By Bx ,此時(shí)桿件由原來(lái)的直線00B A 變?yōu)榭臻g曲線11B A 。曲線1 陳曉霞,(1969-,女,甘肅靖遠(yuǎn)人,碩士,甘肅工業(yè)大學(xué)副

8、教授。經(jīng)過(guò)空間點(diǎn),(1111111z y x A 和,(2121211z y x B 。(1 空間桿件變形前的數(shù)學(xué)描述:設(shè)桿件00B A 變形前的方向矢量為1n ,則k j i n cos cos cos 1+=其中:l z z l y y l x x 102010201020cos cos cos -=-=-= (1210202102021020(z z y y x x l -+-+-=空間桿件受力變形前為空間直線00B A ,其直線方程的數(shù)學(xué)表達(dá)為cos cos cos 000z z y y x x -=-=- (2 (2 坐標(biāo)變換桿件受力變形后,兩端節(jié)點(diǎn)在空間產(chǎn)生了沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的線位

9、移,所以桿件的兩個(gè)端部節(jié)點(diǎn)00,B A 平移變換為11,B A ,變換前后的坐標(biāo)關(guān)系為A A A w z z v y y u x x +=+=+=101110111011 (3B B B w z z v y y u x x +=+=+=202120212021 (4同時(shí),桿件兩端節(jié)點(diǎn)還產(chǎn)生了繞三個(gè)坐標(biāo)軸的角位移Az Ay Ax ,和Bz By Bx ,使得桿件的方向矢量產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)。設(shè)桿件變形曲線上1A 點(diǎn)處的切線方向矢量為k n j n i n n z y x 2222+=,1B 點(diǎn)處的切線方向矢量為k n j n i n n z y x 3333+=。則變形后和變形前兩端端點(diǎn)處的方向余弦的關(guān)系

10、為 - - -= z y x Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax z y x n n n n n n 1112221000cos sin 0sin cos cos 0sin 010sin 0cos cos sin 0sin cos 0001 (5 - - -= z y x BxBx Bx Bx Bx Bx Bx Bx Bx Bx Bx Bx z y x n n n n n n 1113331000cos sin 0sin cos cos 0sin 010sin 0cos cos sin 0sin cos 0001 (6(3 確定桿件變形后的空間曲線參數(shù)方程設(shè)

11、空間曲線11B A 的參數(shù)方程是(,(,(t z t y t x ,1,0t 。曲線11B A 可以用三次多項(xiàng)式擬合,令其數(shù)學(xué)表達(dá)式為332333322222312111(,(,(t d t c t b a t z t d t c t b a t y t d t c t b a t x +=+=+= (7 其中的12個(gè)待定系數(shù)3.1(,=i d c b a i i i i 由下面的12個(gè)條件來(lái)確定:z y x z y x n l z n l y n l x n l z n l y n l x z z y y x x z z y y x x 3332222121211111111(',1

12、(',1(',0(',0(',0('1(,1(,1(,0(,0(,0(= (8 將(8式的12個(gè)條件依次代入方程(7,得到z y x zy x n l d c b n l d c b n l d c b z d c b a y d c b a x d c b a n l b n l b n l b z a y a x a 33333222311121333321222221111123222111311211132,32,32,=+=+=+=+=+=+=(9求解該方程,得到待定系數(shù)的值分別是:zz z z z y y y y y xx x x x n l

13、 z n l z d n l z z n l c n l b z a n l y n l y d n l y y n l c n l b y a n l x n l x d n l x x n l c n l b x a 32121133211123231133212112321112222112321211132111212111122,332,22,332,22,332,+-+=-+-=+-+=-+-=+-+=-+-=這樣就得到了空間變形曲線的參數(shù)方程中的所有待定系數(shù)。2 變形前后空間變形曲線的繪制利用上面推導(dǎo)的公式,在AutoCAD環(huán)境下,利用ActiveX7編程技術(shù)繪制空間變形曲線。為

14、便于比較觀察,繪制桿件變形前的空間位置,并用其他顏色的線型繪制變形后的曲線。由于曲線的參數(shù)方程已經(jīng)得到,將曲線按參數(shù)t劃分成許多段直線來(lái)近似地表示變形曲線。一般結(jié)構(gòu)的變形量都很小,為了能顯示出這些微小的變形情況,需要將它們乘以一個(gè)放大系數(shù)。線位移的放大系數(shù)一般應(yīng)能明顯顯示結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)的線位移情況為宜,而角位移放大系數(shù)應(yīng)該使角變形量與線位移協(xié)調(diào),這兩個(gè)放大系數(shù)可以是不一致的。為驗(yàn)證本文算法的正確性,利用簡(jiǎn)單剛架(圖2,具有8個(gè)節(jié)點(diǎn)和8個(gè)單元,下面的四個(gè)節(jié)點(diǎn)固定,在頂部的對(duì)角節(jié)點(diǎn)上作用20kN和10kN的水平集中力。通用有限元軟件Ansys和本文的塔機(jī)有限元分析系統(tǒng)給出了相同的數(shù)值計(jì)算結(jié)果,表明本文

15、算法的正確性。圖2顯示的變形圖中沒(méi)有考慮角位移的,在考慮了角變形的情況下,繪制的變形圖如圖3所示,能更真實(shí)的反映了結(jié)構(gòu)的實(shí)際變形特征。3 應(yīng)用情況將上述算法應(yīng)用于塔式起重機(jī)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)變形圖繪制,塔式起重機(jī)的輸入數(shù)據(jù)主要是節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)和單元數(shù)據(jù)。節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)主要反映所有節(jié)點(diǎn)在空間的坐標(biāo)位置,單元數(shù)據(jù)則主要反映單元與節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系和單元的截面屬性和其它一些力學(xué)性質(zhì)。每一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)包括一個(gè)節(jié)點(diǎn)編號(hào)和三個(gè)空間坐標(biāo)值,每一個(gè)空間桿件單元數(shù)據(jù)包括一個(gè)單元編號(hào)和桿件兩端的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)編號(hào)。模型顯示程序主要讀取各個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)和各個(gè)單元數(shù)據(jù),依次將空間的各個(gè)桿件單元放置在空間的位置上。根據(jù)需要可以在節(jié)點(diǎn)位置附近標(biāo)注節(jié)點(diǎn)編號(hào),在

16、桿件單元的中部標(biāo)注單元編號(hào)。以變形前的結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ),根據(jù)計(jì)算結(jié)果中的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的線位移和角位移,在原來(lái)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)上疊加線位移就可以得到變形后的節(jié)點(diǎn)位置坐標(biāo),疊加角位移得到變形后變形曲線的切線方向。根據(jù)前面推導(dǎo)的空間三次樣條函數(shù)計(jì)算結(jié)果計(jì)算出變形曲線的參數(shù)方程,用多個(gè)直線段就可以擬合出空間變形曲線。步驟如下:1提取模型數(shù)據(jù),確定各個(gè)節(jié)點(diǎn)位置和桿件連接信息;圖4: 受起吊影響下的塔機(jī)變形圖 圖2 :在ANSYS中的變形圖圖3 :本文算法實(shí)現(xiàn)的變形圖 2按照LINE命令格式畫(huà)出各個(gè)桿件的變形前的連線,得到變形前的結(jié)構(gòu)示意圖;3標(biāo)注節(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元編號(hào),繪制坐標(biāo)系。4疊加線位移得到變形后節(jié)點(diǎn)位置,計(jì)算桿件變

17、形前桿件方向和三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角,疊加角位移,得到變形后變形曲線的切線和三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角。5利用推導(dǎo)的三次樣條插值函數(shù)計(jì)算公式,計(jì)算變形曲線的參數(shù)方程。將變形曲線劃分成許多段,計(jì)算各段端點(diǎn)的空間坐標(biāo),依次用直線連接各個(gè)端點(diǎn),得到用許多直線段擬合出的變形曲線。圖4為QT225塔式起重機(jī)受到自重、吊重和配重作用下的變形圖。4 結(jié)論1.利用上述的思路,編制了空間梁系結(jié)構(gòu)有限元分析系統(tǒng)的變形圖顯示程序,經(jīng)應(yīng)用表明,本文方法不僅可以反映梁系結(jié)構(gòu)的線位移,同時(shí)也可以反映角位移。2.利用三次樣條插值技術(shù)擬合出空間桿件變形曲線,可以準(zhǔn)確反映桿件的角變形情況。3.利用的DXF數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換格式繪制空間桿系的變形圖,是一種編程實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單,運(yùn)行速度快的技術(shù)方案。參考文獻(xiàn)1 Sarfraz M. Interpolatory rational cubic spline with biased point and interval tension. Computer & Graphics, 1994,18(2:1531592 劉愛(ài)奎,段奇,杜世田等.插值曲線區(qū)域控制的加權(quán)有利插值方法.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2000(7,4975