20140320向量專題復(fù)習

1、向 量 專 題 復(fù) 習一、與三角形“四心”相關(guān)的向量問題題1：已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足, . 則P點的軌跡一定通過ABC的A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得，是方向上的單位向量，是方向上的單位向量，根據(jù)平行四邊形法則知構(gòu)成菱形，點P在BAC的角平分線上，故點P的軌跡過ABC的內(nèi)心，選B. 練習：在直角坐標系xoy中，已知點A(0,1)和點B(3, 4)，若點C在AOB的平分線上，且，則=_.略解：點C在AOB的平線上，則存在使=, 而，可得，.題2：已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足, . 則P點

2、的軌跡一定通過ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得，設(shè)BC的中點為D，則根據(jù)平行四邊形法則知點P在BC的中線AD所在的射線上，故P的軌跡過ABC的重心，選C.題3：已知O是平面上的一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足, 則動點P的軌跡一定通過ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心解：由已知得，由正弦定理知，設(shè)BC的中點為D，則由平行四邊形法則可知點P在BC的中線AD所在的射線上，所以動點P的軌跡一定通過ABC的重心，故選A .題4：已知O是平面上的一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足, 則動點P的軌跡一定

3、通過ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心解：由已知得，= 0，即APBC，所以動點P的軌跡通過ABC的垂心，選B.題5：已知O是平面上的一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足, , 則動點P的軌跡一定通過ABC的( )A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 內(nèi)心解：設(shè)BC的中點為D，則，則由已知得，= 0 . DPBC，P點在BC的垂直平分線上，故動點P的軌跡通過ABC的外心. 選C .題6：三個不共線的向量滿足=+) = 0，則O點是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 內(nèi)心 D. 外心解：表示與ABC中A的外角平分線共線的向量，由= 0知OA垂

4、直A的外角平分線，因而OA是A的平分線，同理，OB和OC分別是B和C的平分線，故選C .題7：已知A、B、C是平面上不共線的三點，O為ABC的外心，動點P滿足，則P的軌跡一定通過ABC的( )A. 內(nèi)心 B. 垂心 C. 重心 D. AB邊的中點解：= =,由平行四邊形法則知必過AB邊的中點，注意到，所以P的軌跡在AB邊的中線上，但不與重心重合，故選D.題8：已知O是ABC所在平面上的一點，若= 0, 則O點是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：若= 0, 則，以、為鄰邊作平行四邊形OAC1B，設(shè)OC1與AB交于點D，則D為AB的中點，有，得，即C、O、D、C1四點

5、共線，同理AE、BF亦為ABC的中線，所以O(shè)是ABC的重心. 選C .題9：已知O是ABC所在平面上的一點，若(其中P為平面上任意一點), 則O點是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得，即= 0，由上題的結(jié)論知O點是ABC的重心. 故選C .題10：已知O是ABC所在平面上的一點，若，則O點是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：由，則，即，得，所以. 同理可證，. O是ABC的垂心. 選D.題11：已知O為ABC所在平面內(nèi)一點，滿足=，則O點是ABC的( )A. 垂心 B. 重心 C. 內(nèi)心 D. 外心解：由已知得= 0= 0，.

6、 同理，. 故選A .題12：已知O是ABC所在平面上的一點，若= 0，則O點是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得：= 0= 0. 所以O(shè)點是ABC的外心. 選A .題13：已知O是ABC所在平面上的一點，若= 0，則O點是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：，則= 0，得. 因為與分別為和方向上的單位向量，設(shè)，則平分BAC. 又、共線，知AO平分BAC. 同理可證BO平分ABC，CO平分ACB，所以O(shè)點是ABC的內(nèi)心.題14：已知O是ABC所在平面上的一點，若(其中P是ABC所在平面內(nèi)任意一點)，則O點是ABC的( )A. 外

7、心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心解：由已知得=，=，由上題結(jié)論知O點是ABC的內(nèi)心. 故選B.題15：設(shè)O為ABC的外心，G為ABC的重心，求證：.證明：根據(jù)題9中P點的任意性即可證得. 證明略.A BCOH D題16：設(shè)O為ABC的外心，H為ABC的垂心，則.證明：在ABC的外接圓O中作直徑BD，連接AD、DC，則有：, ADAB, DCBC, 又H是垂心，則AHBC, CHAB, CHAD, AHDC, 于是AHCD是平行四邊形，.練習1：ABC的外接圓的圓心為O，兩邊上的高的交點為H，=，則實數(shù)m =_.解1：由上題結(jié)論知m = 1.解2：O為ABC的外接圓的圓心，所以，又H為三角

8、形的垂心，則，故，設(shè). 則，又=，所以m=1.練習2：ABC中，AB=1, BC =, CA = 2, ABC的外接圓的圓心為O，若，求實數(shù)的值.解：，兩邊平方得. 分別取AB、AC的中點M、N，連接OM、ON. 則=.又O為ABC的外接圓的圓心，則= 0，即有.同理有= 0，得. 解得，.二、與三角形形狀相關(guān)的向量問題題17：已知非零向量與滿足= 0且，則ABC為( )A. 三邊均不相等的三角形 B. 直角三角形C. 等腰非等邊三角形 D. 等邊三角形解：由= 0，知角A的平分線垂直于BC，故ABC為等腰三角形，即|AB| = |AC|；由，= 600 . 所以ABC為等邊三角形，選D .題

9、18：已知O為ABC所在平面內(nèi)一點，滿足，則ABC一定是( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等邊三角形解：由已知得，可知以AB與AC為鄰邊的平行四邊形是矩形，所以ABAC，選B .題19：已知ABC，若對任意，則ABC( )A. 必為銳角三角形 B. 必為鈍角三角形C. 必為直角三角形 D. 答案不確定解法1：，式右邊表示A、C兩點之間的距離，記，則式左邊表示直線BC外一點A與直線BC上動點P之間的距離，由恒成立知，A在直線BC上的射影就是C點，所以ACBC，故選C .解法2：令，過點A作ADBC于點D, 由，得，令f (t) =，則f (t)恒成立，只要f (

10、t)的最小值大于或等于，而當t =時，f (t)取最小值，此時：，即，從而有| AD | | AC | , , 故選C.題20：已知a, b, c分別為ABC中A, B, C的對邊，G為ABC的重心，且= 0, 則ABC為( )A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形 D. 等邊三角形解：G是ABC的重心，= 0, 又= 0, = 0, 即= 0 ., 不共線，a c = b c = 0, 即a = b = c. ABC為等邊三角形. 選D.三、與三角形面積相關(guān)的向量問題命題：平面內(nèi)點O是ABC的重心，則有 .題21：已知點O是ABC內(nèi)一點，= 0, 則：(1) AOB與AOC的

11、面積之比為_；(2) ABC與AOC的面積之比為_；(3) ABC與四邊形ABOC的面積之比為_.解： (1) 將OB延長至E，使OE = 2OB，將OC延長至F，使OF = 3OC，則= 0, 所以O(shè)是AEF的重心. ，.(2) ，=，又, .(3) =， .四、向量的基本關(guān)系(共線、垂直、夾角)命題：A、B、C三點共線，且(O為平面上任一點).題22：在ABC中，已知D是AB邊上一點，若，則=( )A. B. C. D.ABCMONE解：由上述命題的結(jié)論可知選A .題23：如圖，在ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若，則m + n =_.解1：取特殊位置. 設(shè)M與B重合，N與C重合，則m=n=1, 所以m+n=2.解2：=，M、O、N三點共線，,m + n = 2.解3：過點B作BEAC, 則，.又，1 m = n 1, m + n = 2 .GABCMPQ題24：如圖，已知點G是ABC的重心，若過ABC的重心，記= a,= b, = ma , = nb , 則=_.解：=a +b =,P、G、Q三點共線，= 3 .題25：(1)已知, , 與