ch13機械波習題及答案

1、第13章 機械波 習題及答案1、振動和波動有什么區(qū)別和聯系？平面簡諧波動方程和簡諧振動方程有什么不同？又有什么聯系？振動曲線和波形曲線有什么不同？ 解: (1)振動是指一個孤立的系統(也可是介質中的一個質元)在某固定平衡位置附近所做的往復運動，系統離開平衡位置的位移是時間的周期性函數，即可表示為；波動是振動在連續(xù)介質中的傳播過程，此時介質中所有質元都在各自的平衡位置附近作振動，因此介質中任一質元離開平衡位置的位移既是坐標位置，又是時間的函數，即(2)在諧振動方程中只有一個獨立的變量時間，它描述的是介質中一個質元偏離平衡位置的位移隨時間變化的規(guī)律；平面諧波方程中有兩個獨立變量，即坐標位置和時間，

2、它描述的是介質中所有質元偏離平衡位置的位移隨坐標和時間變化的規(guī)律當諧波方程中的坐標位置給定后，即可得到該點的振動方程，而波源持續(xù)不斷地振動又是產生波動的必要條件之一(3)振動曲線描述的是一個質點的位移隨時間變化的規(guī)律，因此，其縱軸為，橫軸為；波動曲線描述的是介質中所有質元的位移隨位置，隨時間變化的規(guī)律，其縱軸為，橫軸為每一幅圖只能給出某一時刻質元的位移隨坐標位置變化的規(guī)律，即只能給出某一時刻的波形圖，不同時刻的波動曲線就是不同時刻的波形圖2、下列幾種說法中，有哪些是正確的？（1） 波源的震動頻率與波動的頻率是不同的。（2） 波源的振動速度與波速相同。（3） 波源的震動周期與波動的周期相同。（4

3、） 在波傳播方向上任一質點的振動相位比波源相位滯后。答：（1）不正確，對于簡諧振動，波源的振動頻率與波動頻率相同。 （2）不正確，波源的振動速度與波速是兩個不同概念，兩者不相等。 （3）正確。 （4）正確。3、有人在寫沿x軸正方向傳播的波動方程時，認為波從原點O傳播到坐標為x的P店，P點的振動要比O點的晚一段時間 ，因而點O在t時刻的相位在 時刻才能傳到P點，因而平面簡諧波的振動方程為你認為如何？答：這種思路是錯誤的。第一、應始終以任意質元P點為研究對象。第二、時間坐標t應定義在P點。第三、以O點的相位來定義P點的方程，這似乎是矛盾的。4、波動方程中，坐標軸原點是否一定要選在波源處? =0時刻

4、是否一定是波源開始振動的時刻? 波動方程寫成=cos()時，波源一定在坐標原點處嗎?在什么前提下波動方程才能寫成這種形式?解: 由于坐標原點和開始計時時刻的選全完取是一種主觀行為，所以在波動方程中，坐標原點不一定要選在波源處，同樣，的時刻也不一定是波源開始振動的時刻；當波動方程寫成時，坐標原點也不一定是選在波源所在處的因為在此處對于波源的含義已做了拓展，即在寫波動方程時，我們可以把介質中某一已知點的振動視為波源，只要把振動方程為已知的點選為坐標原點，即可得題示的波動方程5、波動方程=cos()+中的表示什么？如果改寫為=cos ()，又是什么意思？解: 波動方程中的表示了介質中坐標位置為的質元

5、的振動落后于原點的時間；則表示處質元比原點落后的振動位相6、波在介質中傳播時，為什么質元的動能和勢能具有相同的位相，而彈簧振子的動能和勢能卻沒有這樣的特點?解: 我們在討論波動能量時，實際上討論的是介質中某個小體積元內所有質元的能量波動動能當然是指質元振動動能，其與振動速度平方成正比，波動勢能則是指介質的形變勢能形變勢能由介質的相對形變量(即應變量)決定如果取波動方程為，則相對形變量(即應變量)為.波動勢能則是與的平方成正比由波動曲線圖(題圖)可知，在波峰，波谷處，波動動能有極小(此處振動速度為零)，而在該處的應變也為極小(該處)，所以在波峰，波谷處波動勢能也為極小；在平衡位置處波動動能為極大

6、(該處振動速度的極大)，而在該處的應變也是最大(該處是曲線的拐點)，當然波動勢能也為最大這就說明了在介質中波動動能與波動勢能是同步變化的，即具有相同的量值對于一個孤立的諧振動系統，是一個孤立的保守系統，機械能守恒，即振子的動能與勢能之和保持為一個常數，而動能與勢能在不斷地轉換，所以動能和勢能不可能同步變化7、一平面簡諧波在彈性介質中傳播，在介質質點從最大位移處回到平衡位置過程中，下列哪些說法是錯誤的？ （1）它的勢能轉化為動能。 （2）它的動能轉化為勢能。 （3）它從相鄰的一段介質質點獲得能量，其能量逐漸增加。 （4）把自己的能量傳給相鄰的一段介質質點，其能量逐漸減小。答：平面簡諧波在彈性介質

7、中傳播，當質元在最大位移處，振動速度為零，形變?yōu)榱?，故該位置能量最小，當質元在平衡位置時，振動速度最大，形變最大，故該位置能量最大，因此當質元從最大位移回到平衡位置時，它要從相鄰質元獲得能量，且能量逐漸增加。故該題中（3）是正確的，（1）（2）（4）是錯誤的。8、兩列波能發(fā)生干涉的條件是什么？兩列振動方向相同，頻率相同的波在空間相遇時，能否發(fā)生干涉？為什么？答：兩列波的干涉條件是：頻率相同，震動方向相同，相位差恒定。 兩列振動方向相同，頻率相同的波在空間相遇，不能發(fā)生干涉，因為相位差不恒定。9、10、駐波是怎樣形成的？駐波形成以后，介質中各質點的振動相位有什么關系？為什么說駐波中相位沒有傳播？

8、答：兩列振幅相同，傳播方向相反的相干波疊加后形成的波即為駐波。 駐波中，相鄰兩波節(jié)之間各點的振動相位相同，而每一波節(jié)兩邊質點的振動相位相反。 由于駐波波節(jié)振幅為零，始終處于靜止狀態(tài)，故駐波中沒有相位傳播。11、聲波在空氣中的波長是0.250 m，波速是340 m/s，當它進入另一種介質時，波長變成了0.790 m，試求聲波在這種介質中的波速。解：由于波的頻率與介質無關，故在不同介質中，波的頻率相同。由得 即 得 12、已知一波的波動方程為 , (1) 求波長，頻率，波速及傳播方向； （2）說明x=0時波動方程的意義，并作圖表示。解：（1）與標準波動方程 比較得 ，于是有 波長 角頻率 頻率 波

9、速 傳播方向為x軸正方向。 （2）當時波動方程就成為該處質點的振動方程 震動曲線如圖所示。500.10.20.313、波源的振動方程為 ,它所激起的波以2.0 m/s的速度在一條直線上傳播，求： （1）距波源6.0 m處一點的振動方程； （2）該點與波源的相位差。解：波源振動方程為 則波方程為 (1) ，則 (2)該點與波源的相位差為14、一平面簡諧波沿軸負向傳播，波長=1.0 m，原點處質點的振動頻率為=2. 0 Hz，振幅0.1m，且在=0時恰好通過平衡位置向軸負向運動，求此平面波的波動方程解: 由題知時原點處質點的振動狀態(tài)為，故知原點的振動初相為,取波動方程為則有15、如圖是沿軸傳播的平

10、面余弦波在時刻的波形曲線(1)若波沿軸正向傳播，該時刻，各點的振動位相是多少?(2)若波沿軸負向傳播，上述各點的振動 位相又是多少? 解: (1)波沿軸正向傳播，則在時刻，有對于點：，對于點：，對于點：，對于點：，(取負值：表示點位相，應落后于點的位相)(2)波沿軸負向傳播，則在時刻，有對于點：，對于點：，對于點：，對于點：， (此處取正值表示點位相超前于點的位相)16、如圖所示，已知=0時和=0.5s時的波形曲線分別為圖中曲線(a)和(b) ，波沿軸正向傳播，試根據圖中繪出的條件求：(1)波動方程；(2)點的振動方程解: (1)由題圖可知，又，時，而， ，故波動方程為(2)將代入上式，即得點

11、振動方程為 17、一列機械波沿軸正向傳播，=0時的波形如圖所示，已知波速為10 m·s -1，波長為2m，求：(1)波動方程；(2) 點的振動方程及振動曲線；(3) 點的坐標；(4) 點回到平衡位置所需的最短時間解: 由圖可知，時，由題知，則 (1)波動方程為 (2)由圖知，時， (點的位相應落后于點，故取負值)點振動方程為(3) 解得 (4)根據(2)的結果可作出旋轉矢量圖如圖(a)，則由點回到平衡位置應經歷的位相角 所屬最短時間為18、如圖所示，有一平面簡諧波在空間傳播，已知P點的振動方程為= cos()(1)分別就圖中給出的兩種情況寫出其波動方程；(2)寫出距點距離為的點的振動

12、方程解: (1)如圖(a)，則波動方程為如圖(b)，則波動方程為 (2) 如圖(a)，則點的振動方程為 如圖(b)，則點的振動方程為19、已知平面簡諧波的波動方程為(SI)(1)寫出=4.2 s時各波峰位置的坐標式，并求此時離原點最近一個波峰的位置，該波峰何時通過原點?(2)畫出=4.2 s時的波形曲線 解:(1)波峰位置坐標應滿足 解得 ()所以離原點最近的波峰位置為 故知, ，這就是說該波峰在前通過原點，那么從計時時刻算起，則應是，即該波峰是在時通過原點的 (2)，又處，時，又，當時，則應有 解得 ，故時的波形圖如圖所示20、題圖中(a)表示=0時刻的波形圖，(b)表示原點(=0)處質元的

13、振動曲線，試求此波的波動方程，并畫出=2m處質元的振動曲線解: 由 (b)圖所示振動曲線可知,，且時，故知,再結合 (a)圖所示波動曲線可知，該列波沿軸負向傳播，且，若取則波動方程為 21、22、如圖所示，和為兩相干波源，振幅均為，相距，較位相超前，求：(1) 外側各點的合振幅和強度；(2) 外側各點的合振幅和強度解：（1）在外側，距離為的點，傳到該點引起的位相差為（2）在外側.距離為的點，傳到該點引起的位相差.23、如圖所示，設點發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點的振動方程為;點發(fā)出的平面橫波沿方向傳播，它在點的振動方程為，本題中以m計，以s計設0.4m，0.5 m，波速=0.2m·

14、s-1，求：(1)兩波傳到P點時的位相差；(2)當這兩列波的振動方向相同時，處合振動的振幅；*(3)當這兩列波的振動方向互相垂直時，處合振動的振幅 解: (1) (2)點是相長干涉，且振動方向相同，所以(3)若兩振動方向垂直，又兩分振動位相差為，這時合振動軌跡是通過，象限的直線，所以合振幅為24、一平面簡諧波沿軸正向傳播，如圖所示已知振幅為，頻率為波速為(1)若=0時，原點處質元正好由平衡位置向位移正方向運動，寫出此波的波動方程；(2)若從分界面反射的波的振幅與入射波振幅相等，試寫出反射波的波動方程，并求軸上 因入射波與反射波干涉而靜止的各點的位置 解: (1)時，故波動方程為m (2)入射波

15、傳到反射面時的振動位相為(即將代入)，再考慮到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波損失，所以反射波在界面處的位相為若仍以點為原點，則反射波在點處的位相為因只考慮以內的位相角，反射波在點的位相為，故反射波的波動方程為此時駐波方程為 故波節(jié)位置為 故 ()根據題意，只能取，即25、一駐波方程為=0.02cos20cos750 (SI)，求：(1)形成此駐波的兩列行波的振幅和波速；(2)相鄰兩波節(jié)間距離 解: (1)取駐波方程為 故知 ，則， (2)所以相鄰兩波節(jié)間距離26、一弦線上的波動方程為 ,式中y以cm計，t以s計。 (1)合成此駐波的兩列波的振幅和波速各為多大？ （2）相鄰兩波節(jié)間的距

16、離為多長？ （3） 時刻，位于 處的質點的振動速度是多大？解：弦方程為由駐波方程可得 （1） 由 得（2）相鄰兩波節(jié)距離為 （3） 27、兩列波在一根很長的細繩上傳播，它們的波動方程分別為=0.06cos()(SI), =0.06cos()(SI)(1)試證明繩子將作駐波式振動，并求波節(jié)、波腹的位置；(2)波腹處的振幅多大?=1.2m處振幅多大?解: (1)它們的合成波為 出現了變量的分離，符合駐波方程特征，故繩子在作駐波振動令，則，k=0,±1，±2此即波腹的位置；令,則，此即波節(jié)的位置(2)波腹處振幅最大，即為m； 處的振幅由下式決定，即28、一汽笛發(fā)出頻率為1000 Hz的聲波，汽笛以10