5.4梁的變形及剛度計算

1、5.4梁的變形與剛度計算一、彎曲變形的概念梁在外力作用下，產(chǎn)生彎曲變形，如果變形過大，就會影響梁的正常工作。例如，橋梁的變形過大，在列車通過時會引起很大的振動等等。因此，我們必須研究梁的變形，以便把梁的變形限制在規(guī)定的范圍之內(nèi)，保證梁的正常工作。以圖5.52所示的簡支梁為例，說明平面彎曲時變形的一些概念。線表示梁的軸線，設(shè)直角坐標系如圖所示，軸向右為正，軸向下為正。該坐標平面就是梁的縱向?qū)ΨQ平面，外力作用在這個平面上，梁軸線也在此平面內(nèi)彎曲。圖5.52二、撓度與轉(zhuǎn)角如圖5.52，觀察梁在平面彎曲時的變形，可以看出梁的橫截面產(chǎn)生了兩種位移：1. 撓度：指梁任一橫截面的形心沿軸方向的線位移，通常用

2、表示，并以向下為正，單位為m或mm。橫截面形心沿軸方向的線位移很小，可忽略不計。2. 轉(zhuǎn)角：指梁任一橫截面相對于原來位置所轉(zhuǎn)動的角度，即角位移，用表示，并以順時針轉(zhuǎn)動為正，單位為rad 。三、梁的撓曲線梁發(fā)生彎曲變形后，梁軸線變成一條連續(xù)光滑的曲線，彎曲后的梁軸線，稱為梁的撓曲線或彈性曲線。梁的撓曲線可用方程來表示，稱為梁的撓曲線方程。它表示梁的撓度沿梁長度的變化規(guī)律。根據(jù)平面假設(shè)，梁的橫截面在梁彎曲前垂直于軸線，彎曲后仍將垂直于撓曲線在該處的切線，因此，截面轉(zhuǎn)角就等于撓曲線在該處的切線與軸的夾角，撓曲線上任意一點處的斜率為。由于實際變形中很小，所以，即。上式表明，撓曲線上任一點處切線的斜率表

3、示該點處橫截面的轉(zhuǎn)角，該式稱為轉(zhuǎn)角方程。由上可知，計算梁的撓度和轉(zhuǎn)角，關(guān)鍵在于確定撓曲線方程。四、撓曲線近似微分方程由前面的內(nèi)容可知，梁在純彎曲時的曲率公式為：對于剪切彎曲的梁，由于梁的跨度通常較橫截面高度大得多，剪力對梁的變形影響很小，可以忽略不計，所以上列關(guān)系仍可應用。但應注意，這時的都不再是常量，它們隨截面位置而不同，因此，上式應改寫為 （a）另一方面，由高等數(shù)學可知，平面曲線的曲率與曲線方程之間存在下列關(guān)系 因為是小變形，是一個很小的量，與1相比十分微小，可忽略不計，所以上式可近似寫成 （b）由式（a）和（b）可得 考慮土建工程中坐標系的選擇和彎矩正負的規(guī)定，式中的右邊應取負號，故上式

4、應該寫成。上式稱為梁的撓曲線近似微分方程。它只適用于彈性范圍內(nèi)的小變形情況。求解這微分方程，就可以得到梁的撓曲線方程，從而可計算出梁任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角。五、積分法計算梁的位移建立了撓曲線的近似微分方程后，要求撓曲線方程，只須將撓曲線近似微分方程積分。對于等截面梁，抗彎剛度為常量，是的函數(shù)，對撓曲線近似微分方程積分一次便得到轉(zhuǎn)角方程再積分一次就得到撓曲線方程以上兩式中的為積分常數(shù)，這兩個值可以根據(jù)梁撓曲線上已知條件確定。這種已知的條件稱為邊界條件和連續(xù)條件。如圖5.53所示。圖5.53計算出積分常數(shù)后，得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，進而可計算指定截面撓度和轉(zhuǎn)角。例5.19請計算圖5.54所示懸

5、臂梁的最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。為常數(shù)。圖5.54解 ：（1）建立坐標系如圖5.54所示。列彎矩方程 （2）列出撓曲線近似微分方程積分一次，得 （a）再積分一次，得 （b）（3）確定積分常數(shù)懸臂梁的邊界條件是固定端處的撓度和轉(zhuǎn)角都為零。即處，代入式（a）得。處，代入式（b）得。（4）列出轉(zhuǎn)角和撓曲線方程將值代入式（a）和（b），得到梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為 （c） （d）（5）計算和根據(jù)梁的受力情況，梁的撓曲線大致形狀如圖5.54所示。可見和都在自由端處。將代入式（c）和（d），即得 （順時針） （）六、疊加法計算梁的位移由積分法可知，梁的轉(zhuǎn)角和撓度都與梁上的荷載成線性關(guān)系。于是，可以用疊加法

6、來計算梁的位移。即先分別計算每一種荷載單獨作用時所引起的梁的撓度或轉(zhuǎn)角，然后再把它們代數(shù)相加，就得到這些荷載共同作用下的撓度或轉(zhuǎn)角。梁在簡單荷載作用下的撓度和轉(zhuǎn)角可從表5.10中查得。表5.10梁在簡單荷載作用下的位移梁的計算簡圖及其撓曲線方程梁端轉(zhuǎn)角和最大撓度在處在處在處在處設(shè)在處在處在處 注：轉(zhuǎn)角以順時針轉(zhuǎn)向（）為正，撓度以向下（）為正。例5.20請用疊加法計算圖5.55(a)所示簡支梁跨中截面的最大撓度和支座處截面的轉(zhuǎn)角、。為常數(shù)。圖5.55解：將梁上的荷載分解成兩種簡單的荷載，如圖5.55(b)、(c)所示。七、梁的剛度校核及合理截面1梁的剛度校核在土建工程中，對梁的剛度要求就是把梁的

7、最大撓度與跨度的比值限制在許可的范圍之內(nèi)，以表示最大撓度，則。的值一般限制在范圍內(nèi)，根據(jù)構(gòu)件的不同用途在有關(guān)規(guī)范中有具體規(guī)定。和強度條件的應用類似，利用剛度條件也可以解決以下三方面的問題：（1）剛度校核；（2）設(shè)計截面；（3）確定許用荷載。但是，對于一般土建工程中的梁，強度要求如能滿足，剛度要求一般也能滿足。也就是說，強度條件是起控制作用的。因此，在設(shè)計梁時，習慣上先以強度條件來設(shè)計截面，然后進行剛度校核。例5.21如圖5.56所示的簡支梁，已知該梁由18號工字鋼制成，材料的許用應力。請校核該梁的強度和剛度。圖5.56解： 由型鋼表查得18號工字鋼的有關(guān)數(shù)據(jù)如下 （1）校核強度此梁滿足強度要求

8、。（2）校核剛度簡支梁在均布荷載作用下的最大撓度在跨中截面，其值為 此梁也滿足剛度要求。2梁的合理截面在保持跨度及荷載不變的前提下，要提高梁的承載能力，就要選擇合理的截面形狀。梁的合理截面是指使用最少的材料以獲得最大的值或值。綜合考慮梁的強度條件和剛度條件，可以從以下幾個方面入手：（1）設(shè)計合理的截面形狀從強度方面考慮，圓形截面梁由于在正應力大的區(qū)域內(nèi)材料布置相對較少，所以一般很少采用。對于矩形截面梁，在用料不變的前提下，增大截面高度，會使截面的值迅速增大，從而提高了梁抵抗變形的能力。但在設(shè)計時，還必須同時考慮到梁在豎直方向的穩(wěn)定性，以及梁高的增加會影響室內(nèi)或橋下的使用凈空，因此規(guī)范對于矩形截

9、面梁的高寬比有相應的規(guī)定，不能無限度地減小截面寬度。（2）改變梁的放置方式梁的截面形狀和面積不變時，采用合理的放置方式，可以在很大程度上提高值。例如圖5.57(a)、(b)所示的矩形截面梁，兩種放置方式的值之比為 ，則有。圖5.57該結(jié)果表明，對于矩形截面梁，豎放比橫放更合理。（3）采用空心截面從正應力分布來說，如果把中性軸附近的材料盡量減少，而把大部分材料布置在距中性軸較遠處，則截面形狀就顯得合理。所以工程中常常采用空心截面來提高梁的抗彎能力。常用的有形、工字形、圓環(huán)形、箱形（圖5.58）等截面形式。建筑中常用的空心板也是根據(jù)這個道理制作的。圖5.5813任務實施請用疊加法計算圖5.59(a)所示懸臂梁截面的撓度和轉(zhuǎn)角。為常數(shù)。圖5.59解：將梁上的荷載分解成兩種簡單的荷載，如圖5.59(b)、(c)所示。對于圖5.59(b)，查附表得：， 對于圖5.59(c