§2 復(fù)平面上的點(diǎn)集

1、§2 復(fù)平面上的點(diǎn)集一、教學(xué)目標(biāo)或要求：熟練掌握點(diǎn)集的基本概念二、教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點(diǎn)、難點(diǎn)）： 教學(xué)內(nèi)容：復(fù)平面的點(diǎn)集 鄰域 開集 區(qū)域 單連通區(qū)域重點(diǎn)： 鄰域、區(qū)域難點(diǎn)： 約當(dāng)曲線三、教學(xué)手段與方法：講授、練習(xí)四、思考題、討論題、作業(yè)與練習(xí)：習(xí)題一 611§2 復(fù)平面上的點(diǎn)集1.平面的幾個基本概念定義1.1 點(diǎn)的鄰域?yàn)閺?fù)數(shù)集合，記為。點(diǎn)的去心鄰域?yàn)閺?fù)數(shù)集合，記為。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域?yàn)閺?fù)數(shù)集合，記為。定義1.2給定點(diǎn)集，及點(diǎn)。稱為的聚點(diǎn)或極限點(diǎn)指：的任一鄰域內(nèi)都有的無窮多個點(diǎn)。 若，但非的聚點(diǎn)，則稱為的孤立點(diǎn); 若，又非的聚點(diǎn)，則稱為的外點(diǎn)。若有一鄰域全含于內(nèi)，則稱為

2、的內(nèi)點(diǎn)。若的任一鄰域內(nèi)，同時有屬于和不屬于的點(diǎn)，則稱為的邊界點(diǎn)。邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界。記作。 定義1.3若點(diǎn)集的每個聚點(diǎn)都屬于，則稱為閉集；若點(diǎn)集的點(diǎn)皆為內(nèi)點(diǎn)，則稱為開集。 定義1.4點(diǎn)集稱為有界集，若使有。2.區(qū)域與約當(dāng)曲線定義1.5具備下列性質(zhì)的非空點(diǎn)集稱為區(qū)域：(1) 為開集；(2) 中任意兩點(diǎn)可用全在中的折線連接。定義1.6 區(qū)域加上它的邊界稱為閉域，記為復(fù)平面上的區(qū)域往往用不等式表示，如：以原點(diǎn)為心，為半徑的圓 ：。以原點(diǎn)為心，為半徑的閉圓 ：。上半平面：， 下半平面：，左半平面：， 右半平面：。帶形區(qū)域： 同心圓環(huán)： 定義1.7設(shè)是實(shí)變數(shù)的兩個實(shí)函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，則由方程所決

3、定的點(diǎn)集，稱為復(fù)平面上的一條連續(xù)曲線。上式稱為的參數(shù)方程分別稱為的起點(diǎn)和終點(diǎn) 。對某點(diǎn)，若有，使，則稱點(diǎn)為曲線的重點(diǎn)。凡無重點(diǎn)的連續(xù)曲線稱為簡單曲線或約當(dāng)曲線；的簡單曲線稱為簡單閉曲線。若存在、連續(xù)且不全為零，則稱簡單曲線為光滑曲線。 定義1.8可求長的連續(xù)曲線，若對任意實(shí)數(shù)列存在，則稱 為可求長曲線，并記 為曲線 的長度。定義1.8.光滑（閉）曲線在都存在.連續(xù)且不全為零 為閉曲線且。定義1.10 由有限條光滑曲線銜接而成的連續(xù)曲線稱為逐段光滑曲線。因此，連續(xù)曲線有以下四種情況:下述約當(dāng)定理的直觀意義十分清楚，但其證明并非易事，涉及拓?fù)鋵W(xué)的若干知識，因此略去證明。定理1.1 任一簡單閉曲線將

4、平面唯一地分成及三個點(diǎn)集，它們具有如下性質(zhì)：(1) 彼此不交(2) 是一個有界區(qū)域（稱為的內(nèi)部）；(3) 是一個無界區(qū)域（稱為的外部）；(4) 若簡單折線的一個端點(diǎn)P屬于，另一個端點(diǎn)屬于，則P 必與有交點(diǎn)。定義1.11 對于區(qū)域，若中任意一條簡單閉曲線的內(nèi)部仍屬于，則稱為單連通區(qū)域。不是單連通區(qū)域的區(qū)域稱為復(fù)連通區(qū)域。單連通的特征是“無洞”，而“有洞”就是多連通。如：圓；簡單閉曲線的內(nèi)部都是單連通區(qū)域，圓環(huán) 是多連通區(qū)域。單連通區(qū)域的重要特征是：區(qū)域D內(nèi)任意一條簡單閉曲線，在D內(nèi)可以經(jīng)過連續(xù)的變形而縮成一點(diǎn)，而復(fù)連通區(qū)域不具有這個特征.例 試求滿足條件 的點(diǎn)的集合。解法1將點(diǎn)所滿足的條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于實(shí)數(shù)的條件，即將問題歸為實(shí)數(shù)來考慮。 設(shè)，得即為點(diǎn)所滿足的條件。由此得知點(diǎn)的集合為虛軸。解法2從所給條件的幾何意