八年級(jí)上冊(cè)一次函數(shù)經(jīng)典例題

1、一次函數(shù)復(fù)習(xí)課知識(shí)點(diǎn)1 一次函數(shù)和正比例函數(shù)的概念若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量），特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱y是x的正比例函數(shù).例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函數(shù)，y=x，y=-x都是正比例函數(shù).【說明】 （1）一次函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，但在實(shí)際問題中要根據(jù)函數(shù)的實(shí)際意義來確定.（2）一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同，即自變量x的次數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)k必須是不為零的常數(shù)，b可為任意常數(shù).（3）當(dāng)b=0，k0時(shí)，y=

2、 kx仍是一次函數(shù).（4）當(dāng)b=0，k=0時(shí)，它不是一次函數(shù).知識(shí)點(diǎn)2 函數(shù)的圖象把一個(gè)函數(shù)的自變量x與所對(duì)應(yīng)的y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象畫函數(shù)圖象一般分為三步：列表、描點(diǎn)、連線知識(shí)點(diǎn) 3一次函數(shù)的圖象由于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的圖象是一條直線，所以一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b由于兩點(diǎn)確定一條直線，因此在今后作一次函數(shù)圖象時(shí)，只要描出適合關(guān)系式的兩點(diǎn)，再連成直線即可，一般選取兩個(gè)特殊點(diǎn)：直線與y軸的交點(diǎn)（0，b），直線與x軸的交點(diǎn)（-，0）.但也不必一定選取這兩個(gè)特殊點(diǎn).畫正比例函數(shù)

3、y=kx的圖象時(shí)，只要描出點(diǎn)（0，0），（1，k）即可.知識(shí)點(diǎn)4 一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，k0）的性質(zhì)（1）k的正負(fù)決定直線的傾斜方向；k0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；kO時(shí)，y的值隨x值的增大而減?。?）|k|大小決定直線的傾斜程度，即|k|越大，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越大（直線陡），|k|越小，直線與x軸相交的銳角度數(shù)越小（直線緩）；（3）b的正、負(fù)決定直線與y軸交點(diǎn)的位置；當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸交于正半軸上；當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸交于負(fù)半軸上；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)，是正比例函數(shù)（4）由于k，b的符號(hào)不同，直線所經(jīng)過的象限也不同；如圖1118（l）所示，當(dāng)k0，b0時(shí)，直線

4、經(jīng)過第一、二、三象限（直線不經(jīng)過第四象限）；如圖1118（2）所示，當(dāng)k0，bO時(shí)，直線經(jīng)過第一、三、四象限（直線不經(jīng)過第二象限）；如圖1118（3）所示，當(dāng)kO，b0時(shí)，直線經(jīng)過第一、二、四象限（直線不經(jīng)過第三象限）；如圖1118（4）所示，當(dāng)kO，bO時(shí)，直線經(jīng)過第二、三、四象限（直線不經(jīng)過第一象限）（5）由于|k|決定直線與x軸相交的銳角的大小，k相同，說明這兩個(gè)銳角的大小相等，且它們是同位角，因此，它們是平行的另外，從平移的角度也可以分析，例如：直線y=x1可以看作是正比例函數(shù)y=x向上平移一個(gè)單位得到的知識(shí)點(diǎn)5 正比例函數(shù)y=kx（k0）的性質(zhì)（1）正比例函數(shù)y=kx的圖象必經(jīng)過原點(diǎn)

5、；（2）當(dāng)k0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大；（3）當(dāng)k0時(shí)，圖象經(jīng)過第二、四象限,y隨x的增大而減小知識(shí)點(diǎn)6 點(diǎn)P（x0，y0）與直線y=kx+b的圖象的關(guān)系（1）如果點(diǎn)P（x0，y0）在直線y=kx+b的圖象上，那么x0,y0的值必滿足解析式y(tǒng)=kx+b；（2）如果x0，y0是滿足函數(shù)解析式的一對(duì)對(duì)應(yīng)值，那么以x0，y0為坐標(biāo)的點(diǎn)P（1，2）必在函數(shù)的圖象上例如：點(diǎn)P（1，2）滿足直線y=x+1，即x=1時(shí)，y=2，則點(diǎn)P（1，2）在直線y=x+l的圖象上；點(diǎn)P（2，1）不滿足解析式y(tǒng)=x+1，因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，y=3，所以點(diǎn)P（2，1）不在直線y=x+l的圖象上知識(shí)點(diǎn)7 確定

6、正比例函數(shù)及一次函數(shù)表達(dá)式的條件（1）由于正比例函數(shù)y=kx（k0）中只有一個(gè)待定系數(shù)k，故只需一個(gè)條件（如一對(duì)x，y的值或一個(gè)點(diǎn)）就可求得k的值（2）由于一次函數(shù)y=kx+b（k0）中有兩個(gè)待定系數(shù)k，b，需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k，b的方程，求得k，b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)x，y的值知識(shí)點(diǎn)8 待定系數(shù)法先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式（其中含有未知常數(shù)系數(shù)），再根據(jù)條件列出方程（或方程組），求出未知系數(shù)，從而得到所求結(jié)果的方法，叫做待定系數(shù)法其中未知系數(shù)也叫待定系數(shù)例如：函數(shù)y=kx+b中，k，b就是待定系數(shù)知識(shí)點(diǎn)9 用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟（1）設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx

7、+b；（2）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解方程（組）；（3）求出k與b的值，得到函數(shù)表達(dá)式例如：已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，1）和（-1，-3）求此一次函數(shù)的關(guān)系式解：設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為ykx+b（k0），由題意可知，解此函數(shù)的關(guān)系式為y=【說明】 本題是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式，具體步驟如下：第一步，設(shè)（根據(jù)題中要求的函數(shù)“設(shè)”關(guān)系式y(tǒng)=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k0）；第二步，代（根據(jù)題目中的已知條件，列出方程（或方程組），解這個(gè)方程（或方程組），求出待定系數(shù)k，b）；第三步，求（把求得的k，b的值代回到“設(shè)”的關(guān)系式y(tǒng)=kx+b中）；第四步，寫（寫出函數(shù)關(guān)系式）.思

8、想方法小結(jié) （1）函數(shù)方法函數(shù)方法就是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)來分析題中的數(shù)量關(guān)系，抽象、升華為函數(shù)的模型，進(jìn)而解決有關(guān)問題的方法函數(shù)的實(shí)質(zhì)是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，靈活運(yùn)用函數(shù)方法可以解決許多數(shù)學(xué)問題（2）數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合法是指將數(shù)與形結(jié)合，分析、研究、解決問題的一種思想方法，數(shù)形結(jié)合法在解決與函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，能起到事半功倍的作用知識(shí)規(guī)律小結(jié) （1）常數(shù)k，b對(duì)直線y=kx+b(k0）位置的影響當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸的正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸的負(fù)半軸相交當(dāng)k，b異號(hào)時(shí)，即-0時(shí)，直線與x軸正半軸相交；當(dāng)b=0時(shí)，即-=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)k，b同號(hào)時(shí)，即-

9、0時(shí)，直線與x軸負(fù)半軸相交當(dāng)kO，bO時(shí)，圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)k0，b=0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三象限；當(dāng)bO，bO時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)kO，b0時(shí)，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)kO，b=0時(shí)，圖象經(jīng)過第二、四象限；當(dāng)bO，bO時(shí)，圖象經(jīng)過第二、三、四象限（2）直線y=kx+b（k0）與直線y=kx(k0)的位置關(guān)系直線y=kx+b(k0)平行于直線y=kx(k0)當(dāng)b0時(shí)，把直線y=kx向上平移b個(gè)單位，可得直線y=kx+b；當(dāng)bO時(shí)，把直線y=kx向下平移|b|個(gè)單位，可得直線y=kx+b（3）直線b1=k1x+b1與直線y2=k2x+b2（k10 ，k20）的位置關(guān)系k1

10、k2y1與y2相交；y1與y2相交于y軸上同一點(diǎn)（0，b1）或（0，b2）；y1與y2平行；y1與y2重合.典例講解基本題本節(jié)有關(guān)基本概念的題目主要是一次函數(shù)、正比例函數(shù)的概念及它們之間的關(guān)系，以及構(gòu)成一次函數(shù)及正比例函數(shù)的條件例1 下列函數(shù)中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x；（4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.基礎(chǔ)應(yīng)用題本節(jié)基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用主要包括：（1）會(huì)確定函數(shù)關(guān)系式及求函數(shù)值；（2）會(huì)畫一次函數(shù)（正比例函數(shù)）圖象及根據(jù)圖象收集相關(guān)的信息；（3）利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問題；（4）利用待定系

11、數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式例3 一根彈簧長(zhǎng)15cm，它所掛物體的質(zhì)量不能超過18kg，并且每掛1kg的物體，彈簧就伸長(zhǎng)05cm，寫出掛上物體后，彈簧的長(zhǎng)度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x(kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并判斷y是否是x的一次函數(shù)學(xué)生做一做 烏魯木齊至庫爾勒的鐵路長(zhǎng)約600千米，火車從烏魯木齊出發(fā)，其平均速度為58千米時(shí)，則火車離庫爾勒的距離s（千米）與行駛時(shí)間t（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式是 .例4 某物體從上午7時(shí)至下午4時(shí)的溫度M（）是時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12時(shí)，t=1表示下午1時(shí)），則上午10時(shí)此物體的溫度為 例5 已知y-3與x

12、成正比例，且x=2時(shí)，y=7.（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x=4時(shí)，求y的值；（3）當(dāng)y=4時(shí)，求x的值例6 若正比例函數(shù)y=（1-2m）x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（x1，y1）和點(diǎn)B（x2，y2），當(dāng)x1x2時(shí)，y1y2，則m的取值范圍是（ ）AmOBm0CmDmM學(xué)生做一做 某校辦工廠現(xiàn)在的年產(chǎn)值是15萬元，計(jì)劃今后每年增加2萬元（1）寫出年產(chǎn)值y（萬元）與年數(shù)x（年）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）求5年后的產(chǎn)值例7 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖1122所示，求函數(shù)表達(dá)式例8 求圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函數(shù)的表達(dá)式綜合應(yīng)用題本節(jié)知識(shí)的

13、綜合應(yīng)用包括：（1）與方程知識(shí)的綜合應(yīng)用；（2）與不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用；（3）與實(shí)際生活相聯(lián)系，通過函數(shù)解決生活中的實(shí)際問題例8 已知y+a與x+b（a，b為是常數(shù)）成正比例（1）y是x的一次函數(shù)嗎？請(qǐng)說明理由；（2）在什么條件下，y是x的正比例函數(shù)？例9 某移動(dòng)通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先交50元月租費(fèi)，然后每通話1分，再付電話費(fèi)04元；“神州行”使用者不交月租費(fèi)，每通話1分，付話費(fèi)06元（均指市內(nèi)通話）若1個(gè)月內(nèi)通話x分，兩種通訊方式的費(fèi)用分別為y1元和y2元（1）寫出y1，y2與x之間的關(guān)系；（2）一個(gè)月內(nèi)通話多少分時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同？（3）某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用

14、話費(fèi)200元，則選擇哪種通訊方式較合算？例10 已知y+2與x成正比例，且x=-2時(shí)，y=0（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）畫出函數(shù)的圖象；（3）觀察圖象，當(dāng)x取何值時(shí)，y0？（4）若點(diǎn)（m，6）在該函數(shù)的圖象上，求m的值；（5）設(shè)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上，（2）中的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，且SABP=4，求P點(diǎn)的坐標(biāo)例11 已知一次函數(shù)y=（3-k）x-2k2+18.（1）k為何值時(shí)，它的圖象經(jīng)過原點(diǎn)？（2）k為何值時(shí)，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，-2）?（3）k為何值時(shí)，它的圖象平行于直線y=-x？（4）k為何值時(shí)，y隨x的增大而減小？例12 判斷三點(diǎn)A（3，1），B（0，-2），C（

15、4，2）是否在同一條直線上探索與創(chuàng)新題主要考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的靈活性和創(chuàng)新性，體現(xiàn)分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)問題中的廣泛應(yīng)用例13 老師講完“一次函數(shù)”這節(jié)課后，讓同學(xué)們討論下列問題：（1）x從0開始逐漸增大時(shí)，y=2x+8和y=6x哪一個(gè)的函數(shù)值先達(dá)到30？這說明了什么？（2）直線y=-x與y=-x+6的位置關(guān)系如何？甲生說：“y=6x的函數(shù)值先達(dá)到30，說明y=6x比y=2x+8的值增長(zhǎng)得快”乙生說：“直線y=-x與y=-x+6是互相平行的”你認(rèn)為這兩個(gè)同學(xué)的說法正確嗎？例14 某校一名老師將在假期帶領(lǐng)學(xué)生去北京旅游，用旅行社說：“如果老師買全票，其他人全部半價(jià)優(yōu)惠”乙旅行社說：“所有

16、人按全票價(jià)的6折優(yōu)惠”已知全票價(jià)為240元（1）設(shè)學(xué)生人數(shù)為x，甲旅行社的收費(fèi)為y甲元，乙旅行社的收費(fèi)為y乙元，分別表示兩家旅行社的收費(fèi)；（2）就學(xué)生人數(shù)討論哪家旅行社更優(yōu)惠學(xué)生做一做 某公司到果園基地購買某種優(yōu)質(zhì)水果，慰問醫(yī)務(wù)工作者.果園基地對(duì)購買量在3000千克以上（含3000千克）的有兩種銷售方案甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運(yùn)回，已知該公司租車從基地到公司的運(yùn)輸費(fèi)為5000元（1）分別寫出該公司兩種購買方案的付款y（元）與所購買的水果量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；（2）當(dāng)購買量在什么范圍時(shí)，選擇哪種購買方案付款少？并說明

17、理由例15 一次函數(shù)y=kx+b的自變量x的取值范圍是-3x6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5y-2，則這個(gè)函數(shù)的解析式為 .中考試題預(yù)測(cè)例1 某地舉辦乒乓球比賽的費(fèi)用y（元）包括兩部分：一部分是租用比賽場(chǎng)地等固定不變的費(fèi)用b（元），另一部分與參加比賽的人數(shù)x（人）成正比例，當(dāng)x=20時(shí)y=160O；當(dāng)x=3O時(shí)，y=200O（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）動(dòng)果有50名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，且全部費(fèi)用由運(yùn)動(dòng)員分?jǐn)偅敲疵棵\(yùn)動(dòng)員需要支付多少元？例2 已知一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)x=-4時(shí)，y的值為9；當(dāng)x=2時(shí)，y的值為-3（1）求這個(gè)函數(shù)的解析式。（2）在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象例3 如圖

18、1127所示，大拇指與小拇指盡量張開時(shí)，兩指尖的距離稱為指距某項(xiàng)研究表明，一般情況下人的身高h(yuǎn)是指距d的一次函數(shù)，下表是測(cè)得的指距與身高的一組數(shù)據(jù)指距d/cm20212223身高h(yuǎn)/cm160169178187（1）求出h與d之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出自變量d的取值范圍）（2）某人身高為196cm，一般情況下他的指距應(yīng)是多少？例4 汽車由重慶駛往相距400千米的成都，如果汽車的平均速度是100千米時(shí)，那么汽車距成都的路程s（千米）與行駛時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系用圖象（如圖1128所示）表示應(yīng)為（ ）例5 已知函數(shù)：（1）圖象不經(jīng)過第二象限；（2）圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，-5）.請(qǐng)你寫出一個(gè)同時(shí)滿足（1）和（2）的函數(shù)關(guān)系式： 例6 人在運(yùn)動(dòng)時(shí)的心跳速率通常和人的年齡有關(guān)如果用a表示一個(gè)人的年齡，用b表示正常情況下這個(gè)人運(yùn)動(dòng)時(shí)所能承受的每分心跳的最高次數(shù)，另么b=08（220-a）（1）正常情況下，在運(yùn)動(dòng)時(shí)一個(gè)16歲的學(xué)生所能承受的每分心跳