三年級奧數(shù)暑假復(fù)習(xí)講義(教師版)

1、學(xué)大教育個性化教學(xué)教案 Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.三年級奧數(shù)暑假復(fù)習(xí)講義【課程說明】由于培優(yōu)大綱順序和本課程順序不同，所以在學(xué)習(xí)此課程時，有些講次安排打亂了，重新排序不會影響知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)?！菊n程目標(biāo)】提升興趣激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，樂于思考，樂于學(xué)習(xí)培養(yǎng)習(xí)慣傳授給學(xué)生正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，解題習(xí)慣收獲成績通過正確的引導(dǎo)幫助孩子提高成績，積累成就感和自信心目錄第一講 高斯求和第二講 找簡單數(shù)列的規(guī)律第三講 上樓梯問題第四講 植樹與方陣問題第五講 歸一問題第六講 平均數(shù)問題第七講 和倍問題第八講 差倍問題第九講 和差問題第十講 年齡問

2、題第十一講 雞兔同籠問題第十二講 盈虧問題第十三講 巧求周長第一講 高斯求和 德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計算：123499100？老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：110029939849525051。1100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為（1+100）×100÷25050。小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每

3、一個數(shù)稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例如：（1）1，2，3，4，5，100；（2）1，3，5，7，9，99；（3）8，15，22，29，36，71。其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數(shù)列。由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式： 和=（首項+末項）×項數(shù)÷2。例1 1231999？分析與解：這串加數(shù)1，2，3，1999是等差數(shù)列，首項是1，末項是1999，共有1999個數(shù)。由等

4、差數(shù)列求和公式可得原式=（11999）×1999÷21999000。注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例2 11121331？分析與解：這串加數(shù)11，12，13，31是等差數(shù)列，首項是11，末項是31，共有31-11121（項）。原式=（11+31）×21÷2=441。在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一目了然的，這時就需要先求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1， 末項=首項+公差×（項數(shù)-1）。例3 、371199？分析與解：3，7，11，99是

5、公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)=（993）÷4125，原式=（399）×25÷21275。例4 求首項是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。解：末項=253×（40-1）142，和=（25142）×40÷23340。利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。例5 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：由上表看出，各層

6、的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。解：（1）最大三角形面積為（13515）×12（115）×8÷2×12768（厘米2）。2）火柴棍的數(shù)目為369+24（324）×8÷2=108（根）。答：最大三角形的面積是768厘米2，整個圖形由108根火柴擺成。例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球？分析與解：一只球變成3只球，實際

7、上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了2×12×22×102×（1210）2×55110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球1103113（只）。綜合列式為：（3-1）×（1210）32×（110）×10÷23113（只）。 練習(xí)31.計算下列各題：（1）246200；（2）17192139；（3）58111450；（4）3101724101。2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數(shù)列的和。3. 求首項是13，公

8、差是5的等差數(shù)列的前30項的和。4. 時鐘在每個整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？5. 求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)共有多少個？練習(xí)1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。2.1127。 提示：項數(shù)=（93-5）÷4+1=23。3.2565。 提示：末項=13+5×（30-1）=158。4.180次。 解：（1+2+12）×2+24=180（次）。5.1650。 解：2+5+8+98=1650。6.45個。提示：十位數(shù)為1，2，9的分別有1，2，9

9、個。第二講 找簡單數(shù)列的規(guī)律這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如，(1) 1，2，3，4，5，6，(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，(4) 1，1，2，3，5，8，13。一個數(shù)列中從左至右的第n個數(shù)，稱為這個數(shù)列的第n項。如，數(shù)列(1)的第3項是3，數(shù)列(2)的第3項是4。一般地，我們將數(shù)列的第n項記作an。數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個，如數(shù)列(2)(4)，也可以是無限多個，如數(shù)列(1)(3)。許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。數(shù)列(1)是按照自然數(shù)從小到大的

10、次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項=前項+1，或第n項ann。數(shù)列(2)的規(guī)律是：后項=前項×2，或第n項數(shù)列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。數(shù)列(4)的規(guī)律是：從第三項起，每項等于它前面兩項的和，即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+35，a6=3+5=8，a7=5+8=13。常見的較簡單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類：第一類是數(shù)列各項只與它的項數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。第二類是前后幾項為一組，以組為單元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復(fù)雜些，我們用后面的例3、例

11、4來作一些說明。例1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)4，7，10，13，( )，(2)84，72，60，( )，( )；(3)2，6，18，( )，( )，(4)625，125，25，( )，( )；(5)1，4，9，16，( )，(6)2，6，12，20，( )，( )，解：通過對已知的幾個數(shù)的前后兩項的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn)(1)的規(guī)律是：前項+3=后項。所以應(yīng)填16。(2)的規(guī)律是：前項-12=后項。所以應(yīng)填48，36。(3)的規(guī)律是：前項×3=后項。所以應(yīng)填54，162。(4)的規(guī)律是：前項÷5=后項。所以應(yīng)填5，1。(5)的規(guī)律是：數(shù)列

12、各項依次為1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4，所以應(yīng)填5×5=25。(6)的規(guī)律是：數(shù)列各項依次為2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，所以，應(yīng)填 5×6=30， 6×7=42。說明：本例中各數(shù)列的每一項都只與它的項數(shù)有關(guān)，因此an可以用n來表示。各數(shù)列的第n項分別可以表示為(1)an3n+1；(2)an96-12n；(3)an2×3n-1；(4)an55-n；(5)ann2；(6)ann(n+1)。這樣表示的好處在于，如果求第100項等于幾

13、，那么不用一項一項地計算，直接就可以算出來，比如數(shù)列(1)的第100項等于3×100+1=301。本例中，數(shù)列(2)(4)只有5項，當(dāng)然沒有必要計算大于5的項數(shù)了。例2 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；(3) 3，7，10，17，27，( )；(4) 1，2，2，4，8，32，( )。解：通過對各數(shù)列已知的幾個數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。(1)把數(shù)列每兩項分為一組，1，2，2，3，3，4，不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：前一組每個數(shù)加1得到后一組數(shù)，所以應(yīng)填4，5。(2)把后面已知

14、的六個數(shù)分成三組：10，5，12，6，14，7，每組中兩數(shù)的商都是2，且由5，6，7的次序知，應(yīng)填8，4。(3)這個數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項的和等于后面一項，故應(yīng)填( 17+27=)44。(4)這個數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項的乘積等于后面一項，故應(yīng)填(8×32=)256。例3 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)18，20，24，30，( )；(2)11，12，14，18，26，( )；(3)2，5，11，23，47，( )，( )。解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，說明(后項-前項)組成一新數(shù)列2，4，6，其規(guī)律是“依次加2”，因為6后

15、面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=38。(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，組成一新數(shù)列1，2，4，8，按此規(guī)律，8后面為16。因此，a6-a5a6-26=16，故a616+26=42。(3)觀察數(shù)列前、后項的關(guān)系，后項=前項×2+1，所以a6=2a5+12×47+195，a72a6+12×95+1=191。例4 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。解：(1)數(shù)列的第1，3，

16、5，項組成一個新數(shù)列12，17， 22，其規(guī)律是“依次加5”，22后面的項就是27；數(shù)列的第2，4，6，項組成一個新數(shù)列15，30，45，其規(guī)律是“依次加15”，45后面的項就是60。故應(yīng)填27，60。(2)如(1)分析，由奇數(shù)項組成的新數(shù)列2，5，8，中，8后面的數(shù)應(yīng)為11；由偶數(shù)項組成的新數(shù)列8，6，4， 中，4后面的數(shù)應(yīng)為2。故應(yīng)填11，2。 練習(xí)51、按其規(guī)律在下列各數(shù)列的( )內(nèi)填數(shù)。1.56，49，42，35，( )。2.11， 15， 19， 23，( )，3.3，6，12，24，( )。4.2，3，5，9，17，( )，5.1，3，4，7，11，( )。6.1，3，7

17、，13，21，( )。7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。9.2，5，10，17，26，( )。10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。11.數(shù)列1，3，5，7，11，13，15，17。(1)如果其中缺少一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？應(yīng)補(bǔ)在何處？(2)如果其中多了一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？為什么？答案與提示 練習(xí)1.28。2.27。3.48。4.33。提示：“后項-前項”依次為1，2， 4，8，16，5.18。提示：后項等于前兩項之和。6.31。提示：“后項-前項”依次為2，4，6，8，10。7.3，20。8.11，

18、6。9.37。 提示：an=n2+1。10. 24，15。提示：奇數(shù)項為15，18，21，24；偶數(shù)項為21，19，17，15。11.(1)缺9，在7與11之間；(2)多15，因為除15以外都不是合數(shù)。2、觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號中填上合適的數(shù).2，5，8，11，（ ），17，20。19，17，15，13，（ ），9，7。1，3，9，27，（ ），243。64，32，16，8，（ ），2。1，1，2，3，5，8，（ ），21，341，3，4，7，11，18，（ ），471，3，6，10，（ ），21，28，36，（ ）.1，2，6，24，120，（ ），5040。1，

19、1，3，7，13，（ ），31。1，3，7，15，31，（ ），127，255。(11)1，4，9，16，25，（ ），49，64。(12)0，3，8，15，24，（ ），48，63。(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（ ）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（ ）.分析與解答不難發(fā)現(xiàn)，從第2項開始，每一項減去它前面一項所得的差都等于3.因此，括號中應(yīng)填的數(shù)是14，即：113=14。 同考慮，可以看出，每相鄰兩項的差是一定值2.所以，括號中應(yīng)填11，即：132=11。不妨把與聯(lián)系起來繼續(xù)觀察，容易看出：數(shù)列中，隨項數(shù)的增大，每一項的數(shù)值也相應(yīng)增大，即數(shù)列是遞增的；數(shù)列

20、中，隨項數(shù)的增大，每一項的值卻依次減小，即數(shù)列是遞減的.但是除了上述的不同點(diǎn)之外，這兩個數(shù)列卻有一個共同的性質(zhì)：即相鄰兩項的差都是一個定值.我們把類似這樣的數(shù)列，稱為等差數(shù)列.1，3，9，27，（），243。此數(shù)列中，從相鄰兩項的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2項開始，每一項都是其前面一項的3倍.即：3=1×3，9= 3×3， 27=9×3.因此，括號中應(yīng)填 81，即 81= 27×3，代入后， 243也符合規(guī)律，即 24381×3。64，32，16，8，（），2與類似，本題中，從第1項開始，每一項是其后面一項的2倍，即：因此，括號中填4，代入后

21、符合規(guī)律。綜合考慮，數(shù)列是遞增的數(shù)列，數(shù)列是遞減的數(shù)列，但它們卻有一個共同的特點(diǎn)：每列數(shù)中，相鄰兩項的商都相等.像這樣的數(shù)列，我們把它稱為等比數(shù)列。 1， 1， 2， 3， 5， 8，（ ）， 21， 34首先可以看出，這個數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.現(xiàn)在我們不妨看看相鄰項之間是否還有別的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，從第3項開始，每一項等于它前面兩項的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=35.因此，括號中應(yīng)填的數(shù)是 13，即 13=5+8， 21=8+13， 34=13+21。這個以1，1分別為第1、第2項，以后各項都等于其前兩項之和的無窮數(shù)列，就是數(shù)學(xué)上有名的斐波那契數(shù)列，它來源于一個

22、有趣的問題：如果一對成熟的兔子一個月能生一對小兔，小兔一個月后就長成了大兔子，于是，下一個月也能生一對小兔子，這樣下去，假定一切情況均理想的話，每一對兔子都是一公一母，兔子的數(shù)目將按一定的規(guī)律迅速增長，按順序記錄每個月中所有兔子的數(shù)目（以對為單位，一月記一次），就得到了一個數(shù)列，這個數(shù)列就是數(shù)列的原型，因此，數(shù)列又稱為兔子數(shù)列，這些在高年級遞推方法中我們還要作詳細(xì)介紹。1， 3， 4， 7， 11， 18，（ ），47在學(xué)習(xí)了數(shù)列的前提下，數(shù)列的規(guī)律就顯而易見了，從第3項開始，每一項都等于其前兩項的和.因此，括號中應(yīng)填的是29，即 29=1118。數(shù)列不同于數(shù)列的原因是：數(shù)列的第2項為3，而數(shù)

23、列為1，數(shù)列稱為魯卡斯數(shù)列。1，3，6，10，（ ）， 21， 28， 36，（ ）。方法1：繼續(xù)考察相鄰項之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：因此，可以猜想，這個數(shù)列的規(guī)律為：每一項等于它的項數(shù)與其前一項的和，那么，第5項為15，即15=10+5，最后一項即第 9項為 45，即 45369.代入驗算，正確。方法2：其實，這一列數(shù)有如下的規(guī)律：第1項：1=1第2項：3=12第3項：6=1+2+3第4項：10=1+2+3+4第5項：（ ）第6項：21=1+2+3+4+5+6第7項：28=1+2+3+4+5+6+7第8項；36=1+2+3+4+5+6+7+8第9項：（ ）即這個數(shù)列的規(guī)律是：每一項都等于從1開始

24、，以其項數(shù)為最大數(shù)的n個連續(xù)自然數(shù)的和.因此，第五項為15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；第九項為45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。1，2，6，24，120，（ ），5040。方法1：這個數(shù)列不同于上面的數(shù)列，相鄰項相加減后，看不出任何規(guī)律.考慮到等比數(shù)列，我們不妨研究相鄰項的商，顯然：所以，這個數(shù)列的規(guī)律是：除第1項以外的每一項都等于其項數(shù)與其前一項的乘積.因此，括號中的數(shù)為第6項720，即 720=120×6。方法2：受的影響，可以考慮連續(xù)自然數(shù)，顯然：第1項 1=1第2項 2=1×2第3項 6=1×2×3第4項 24=1

25、×2×3×4第5項 120=1×2×3×4×5第6項 （ ）第7項 5040=1×2×3×4×5×6×7所以，第6項應(yīng)為 1×2×3×4×5×6=7201，1，3，7，13，（ ），31與類似：可以猜想，數(shù)列的規(guī)律是該項=前項+2×（項數(shù)-2）（第1項除外），那么，括號中應(yīng)填21，代入驗證，符合規(guī)律。1，3，7，15，31，（ ），127，255。則：因此，括號中的數(shù)應(yīng)填為63。小結(jié)：尋找數(shù)列的規(guī)律，通常從

26、兩個方面來考慮：尋找各項與項數(shù)間的關(guān)系；考慮相鄰項之間的關(guān)系.然后，再歸納總結(jié)出一般的規(guī)律。事實上，數(shù)列或數(shù)列的兩種方法，就是分別從以上兩個不同的角度來考慮問題的.但有時候，從兩個角度的綜合考慮會更有利于問題的解決.因此，仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，會使我們的學(xué)習(xí)更上一層樓。在題中，1=2-13=22-17=23-115=24-131=25-1127=27-1255=28-1所以，括號中為26-1即63。（11）1，4，9，16，25，（ ），49，64.1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 25=5×5，49= 7

27、×7，64=8×8，即每項都等于自身項數(shù)與項數(shù)的乘積，所以括號中的數(shù)是36。本題各項只與項數(shù)有關(guān)，如果從相鄰項關(guān)系來考慮問題，勢必要走彎路。(12)0，3，8，15，24，（ ）， 48， 63。仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)列(12)的每一項加上1正好等于數(shù)列(11)，因此，本數(shù)列的規(guī)律是項=項數(shù)×項數(shù)-1.所以，括號中填35，即 35= 6×6-1。(13)1， 2， 2， 4， 3， 8，4， 16， 5，（ ）。前面的方法均不適用于這個數(shù)列，在觀察的過程中，可以發(fā)現(xiàn)，本數(shù)列中的某些數(shù)是很有規(guī)律的，如1，2，3，4，5，而它們恰好是第1項、第3項、第5項、第7項

28、和第9項，所以不妨把數(shù)列分為奇數(shù)項（即第1，3，5，7，9項）和偶數(shù)項（即第2，4，6，8項）來考慮，把數(shù)列按奇數(shù)和偶數(shù)項重新分組排列如下：奇數(shù)項：1，2，3，4，5偶數(shù)項：2，4，8，16 可以看出，奇數(shù)項構(gòu)成一等差數(shù)列，偶數(shù)項構(gòu)成一等比數(shù)列.因此，括號中的數(shù)，即第10項應(yīng)為32（32=16×2）。(14) 2， 1， 4， 3， 6， 9， 8， 27， 10，（ ）。同上考慮，把數(shù)列分為奇、偶項：偶數(shù)項：2，4，6，8，10奇數(shù)項：1，3，9，27，（ ）.所以，偶數(shù)項為等差數(shù)列，奇數(shù)項為等比數(shù)列，括號中應(yīng)填81（81=27×3）。像(13)(14)這樣的數(shù)列，每個數(shù)

29、列中都含有兩個系列，這兩個系列的規(guī)律各不相同，類似這樣的數(shù)列，稱為雙系列數(shù)列或雙重數(shù)列。3、按一定的規(guī)律在括號中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：1.1，2，3，4，5，（ ），72.100，95，90，85，80，（ ），703.1，2，4，8，16，（ ），645.2，1，3，4，7，（ ），18，29，476.1，2，5，10，17，（ ），37，507.1，8，27，64，125，（ ），3438.1，9，2，8，3，（ ），4，6，5，5第三講 上樓梯問題 有這樣一道題目：如果每上一層樓梯需要1分鐘，那么從一層上到四層需要多少分鐘？如果你的答案是4分鐘，那么你就錯了.正確的答案應(yīng)該是3分鐘。為什么是3分

30、鐘而不是4分鐘呢？原來從一層上到四層，只要上三層樓梯，而不是四層樓梯。下面我們來看幾個類似的問題。例1 裁縫有一段16米長的呢子，每天剪去2米，第幾天剪去最后一段？分析 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2個2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3個2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，還剩6米，第二天再剪2米，還剩4米，這樣第三天即可剪去最后一段，8米里有4個2米，用3天，我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個數(shù)少1.因此，只要看16米里有幾個2米，問題就可以解決了。解：16米中包含

31、2米的個數(shù)：16÷2=8（個）剪去最后一段所用的天數(shù)：8-1=7（天）答：第七天就可以剪去最后一段。例2一根木料在24秒內(nèi)被切成了4段，用同樣的速度切成5段，需要多少秒？可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：切的次數(shù)總比切的段數(shù)少1.因此，在24秒內(nèi)切了4段，實際只切了3次，這樣我們就可以求出切一次所用的時間了，又由于用同樣的速度切成5段；實際上切了4次，這樣切成5段所用的時間就可以求出來了。解：切一次所用的時間：24÷（4-1）=8（秒）切5段所用的時間：8×（5-1）=32（秒）答：用同樣的速度切成5段，要用32秒。例3三年級同學(xué)120人排成4路縱隊，也就是4個人一排，排成了許多

32、排，現(xiàn)在知道每相鄰兩排之間相隔1米，這支隊伍長多少米？解：因為每4人一排，所以共有：120÷4=30（排）30排中間共有29個間隔，所以隊伍長：1×29=29（米）答：這支隊伍長29米。例4 時鐘4點(diǎn)鐘敲4下，12秒鐘敲完，那么6點(diǎn)鐘敲6下，幾秒鐘敲完？分析 如果盲目地計算：12÷4=3（秒）， 3×6=18（秒），認(rèn)為敲6下需要18秒鐘就錯了.請看下圖：時鐘敲4下，其間有3個間隔，每個間隔是：12÷3=4（秒）；時鐘敲6下，其間共有5個間隔，所用時間為：4×5=20（秒）。解：每次間隔時間為：12÷（4-1）=4（秒）敲

33、6下共用的時間為：4×（6-1）20（秒）答：時鐘敲6下共用20秒。例5.某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開，如從1層走到4層需要48秒，請問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？分析 要求還需要多少秒才能到達(dá)，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，還要知道從4樓走到8樓共走幾層樓梯.上一層樓梯需要：48÷（4-1）=16（秒），從4樓走到8樓共走8-4=4（層）樓梯。到這里問題就可以解決了。解：上一層樓梯需要：48÷（4-1）=16（秒）從4樓走到8樓共走：8-4=4（層）樓梯還需要的時間：16×4=64（秒）答：還需要64秒才能到達(dá)8層。例6晶

34、晶上樓，從1樓走到3樓需要走36級臺階，如果各層樓之間的臺階數(shù)相同，那么晶晶從第1層走到第6層需要走多少級臺階？分析 要求晶晶從第1層走到第6層需要走多少級臺階，必須先求出每一層樓梯有多少臺階，還要知道從一層走到6層需要走幾層樓梯。從1樓到3樓有3-1=2層樓梯，那么每一層樓梯有36÷2=18（級）臺階，而從1層走到6層需要走6-1=5（層）樓梯，這樣問題就可以迎刃而解了。解：每一層樓梯有：36÷（3-1）18（級臺階）晶晶從1層走到6層需要走：18×（6-1）=90（級）臺階。答：晶晶從第1層走到第6層需要走90級臺階。注：例1例4所敘述的問題雖然不是上樓梯，但

35、它和上樓梯有許多相似之處，請同學(xué)們自己去體會.爬樓梯問題的解題規(guī)律是：所走的臺階數(shù)=每層樓梯的臺階數(shù)×（所到達(dá)的層數(shù)減起點(diǎn)的層數(shù)）。習(xí)題1.一根木料截成3段要6分鐘，如果每截一次的時間相等，那么截7段要幾分鐘？2.有一幢樓房高17層，相鄰兩層之間都有17級臺階，某人從1層走到11層，一共要登多少級臺階？3.從1樓走到4樓共要走48級臺階，如果每上一層樓的臺階數(shù)都相同，那么從1樓到6樓共要走多少級臺階？4.一座樓房每上1層要走16級臺階，到小英家要走64級臺階，小英家住在幾樓？5.一列火車共20節(jié)，每節(jié)長5米，每兩節(jié)之間相距1米，這列火車以每分鐘20米的速度通過81米長的隧道，需要幾分

36、鐘？6.時鐘3點(diǎn)鐘敲3下，6秒鐘敲完，12點(diǎn)鐘敲12下，幾秒鐘敲完？7.某人到高層建筑的10層去，他從1層走到5層用了100秒，如果用同樣的速度走到10層，還需要多少秒？8.A、B二人比賽爬樓梯，A跑到4層樓時，B恰好跑到3層樓，照這樣計算，A跑到16層樓時，B跑到幾層樓？9.鐵路旁每隔50米有一根電線桿，某旅客為了計算火車的速度，測量出從第一根電線桿起到經(jīng)過第37根電線桿共用了2分鐘，火車的速度是每秒多少米？習(xí)題解答1.解：每截一次需要：6÷（3-1）=3（分鐘），截成7段要3×（7-1）=18（分鐘）答：截成7段要18分鐘。2.解：從1層走到11層共走：11-1=10（

37、個）樓梯，從1層走到11層一共要走：17×10=170（級）臺階。答：從1層走到11層，一共要登170級臺階。3.解：每一層樓梯的臺階數(shù)為：48÷（4-1）=16（級），從1樓到6樓共走：6-1=5（個）樓梯，從1樓到6樓共走：16×5=80（級）臺階。答：從1樓到6樓共走80級臺階。4.解：到小英家共經(jīng)過的樓梯層數(shù)為：64÷16=4（層），小英家住在：41=5（樓）答：小英家住在樓的第5層。5.解：火車的總長度為：5×20+1×（20-1）=119（米），火車所行的總路程：11981=200（米），所需要的時間：200÷2

38、0=10（分鐘）答：需要10分鐘。6.解：每個間隔需要：6÷（3-1）=3（秒），12點(diǎn)鐘敲12下，需要3×（12-1）=33（秒）答：33秒鐘敲完。7.解：每上一層樓梯需要：100÷（5-1）=25（秒），還需要的時間：25×（10-5）=125（秒）答：從5樓再走到10樓還需要125秒。8.由A上到4層樓時，B上到3層樓知，A上3層樓梯，B上2層樓梯。那么，A上到16層時共上了15層樓梯，因此B上2×5=10個樓梯，所以B上到101=11（層）。答：A上到第16層時，B上到第11層樓。9.解：火車2分鐘共行：50×（37-1）=1

39、800（米）2分鐘=120秒火車的速度：1800÷120=15（米/秒）答：火車每秒行15米。第四講 植樹與方陣問題第四講 植樹與方陣問題一、植樹問題要想了解植樹中的數(shù)學(xué)并學(xué)會怎樣解決植樹問題，首先要牢記三要素：總路線長.間距（棵距）長.棵數(shù).只要知道這三個要素中任意兩個要素.就可以求出第三個。關(guān)于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。1.不封閉路線例：如圖 若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.如上圖把總長平均分成5段，但植樹棵數(shù)是6棵。全長、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是：棵數(shù)=段數(shù)+1=全長÷株距+1全長=株距×（棵數(shù)-1）株距=全長÷（

40、棵數(shù)-1） 如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時的棵數(shù)少1，即棵數(shù)與段數(shù)相等.全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為：全長=株距×棵數(shù)；棵數(shù)=全長÷株距；株距=全長÷棵數(shù)。 如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比中還少1棵?？脭?shù)=段數(shù)-1=全長÷株距-1.如右圖所示.段數(shù)為5段，植樹棵數(shù)為4棵。株距=全長÷（棵數(shù)+1）。2.封閉的植樹路線例如：在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因為頭尾兩端重合在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù)。如右圖所示?？脭?shù)=段數(shù)=周長÷株距.二、方陣問題學(xué)生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排

41、叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。方陣的基本特點(diǎn)是： 方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同.每向里一層，每邊上的人數(shù)就少2。 每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）數(shù)的關(guān)系：四周人（或物）數(shù)=每邊人（或物）數(shù)-1×4；每邊人（或物）數(shù)=四周人（或物）數(shù)÷41。 中實方陣總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=每邊人（或物）數(shù)×每邊人（或物）數(shù)。例1 有一條公路長900米，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可栽多少根電線桿？分析 要以兩棵電線桿之間的距離作為分段標(biāo)準(zhǔn).公路全長可分成若干段.由于公路的兩端都要求栽桿

42、，所以電線桿的根數(shù)比分成的段數(shù)多1。解：以10米為一段，公路全長可以分成900÷1090（段）共需電線桿根數(shù)：90+1=91（根）答：可栽電線桿91根。例2 馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問汽車每小時走多少千米？分析 張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段路的長度就容易求出汽車速度.解：5分鐘汽車共走了：9×（501-1）=4500（米），汽車每分鐘走：4500÷5=900（米），汽車每小時走：900×60=54000（米）=54（千米）列綜合式：9×（501-1）÷5&

43、#215;60÷1000=54（千米）答：汽車每小時行54千米。例3 某校五年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有五年級學(xué)生多少人？分析 根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。解：方陣最外層每邊人數(shù)：60÷41=16（人）整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256（人）答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。例4 晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個.晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個？分析 方

44、陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個.知道最外面一層每邊放14個，就可以求第二層及第三層每邊個數(shù).知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出各層總數(shù)。解：最外邊一層棋子個數(shù)：（14-1）×4=52（個）第二層棋子個數(shù)：（14-2-1）×4=44（個）第三層棋子個數(shù)：（14-2×2-1）×4=36（個）.擺這個方陣共用棋子：52+4436132（個）還可以這樣想：中空方陣總個數(shù)=（每邊個數(shù)一層數(shù)）×層數(shù)×4進(jìn)行計算。解：（14-3）×3×4=132（個）答：擺這個方陣共需132個圍棋子。例5 一個圓形花壇，周長是180米.每隔6

45、米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥花之間均勻地栽兩棵月季花.問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？兩棵月季之間的株距是多少米？分析 在圓形花壇上栽花，是封閉路線問題，其株數(shù)=段數(shù). 由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍。解：共可栽芍藥花：180÷630（棵）共種月季花：2×3060（棵）兩種花共：30+60=90（棵）兩棵花之間距離：180÷90=2（米）相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米。答：種芍藥花30棵，月季花60棵，兩棵月季花之間距離為2米或4米。例6 一個街心花

46、園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成.已知從每個小三角形的頂點(diǎn)開始，到下一個頂點(diǎn)均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？分析 從已知條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍.又知道每個小三角形的邊上均勻栽9株， 則大三角形邊上栽的棵數(shù)為9×2-1=17（棵）。 又知道這個大三角形三個頂點(diǎn)上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花（17-1）×3=48（棵）。.再看圖中畫斜線的小三角形三個頂點(diǎn)正好在大三角形的邊上.在計算大三角形栽花棵數(shù)時已經(jīng)計算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為9-2=7（棵）解：大三角形三

47、條邊上共栽花：（9×2-1-1）×3=48（棵）中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：（9-2）×3=21（棵）整個花壇共栽花：48+21=69（棵）答：大三角形邊上共栽花48棵，整個花壇共栽花69棵。習(xí)題四1. 一個圓形池塘，它的周長是150米，每隔3米栽種一棵樹.問：共需樹苗多少株？2.有一正方形操場，每邊都栽種17棵樹，四個角各種1棵，共種樹多少棵？3. 在一條路上按相等的距離植樹.甲乙二人同時從路的一端的某一棵樹出發(fā).當(dāng)甲走到從自己這邊數(shù)的第22棵樹時，乙剛走到從乙那邊數(shù)的第10棵樹.已知乙每分鐘走36米.問：甲每分鐘走多少米？4. 在一根長100厘米的木棍上，

48、從左向右每隔6厘米點(diǎn)一個紅點(diǎn).從右向左每隔5厘米點(diǎn)一個紅點(diǎn)，在兩個紅點(diǎn)之間長為4厘米的間距有幾段？題四解答1.提示：由于是封閉路線栽樹，所以棵數(shù)=段數(shù)，150÷3=50（棵）。2.提示：在正方形操場邊上栽樹.正方形邊長都相等，四個角上栽的樹是相鄰的兩條邊公有的一棵，所以每邊栽樹的棵數(shù)為17-1=16（棵），共栽：（17-1）×4=64（棵）答：共栽樹64棵。3.解：甲走到第22棵樹時走過了22-121（個）棵距.同樣乙走過了10-19（個）棵距.乙走到第10棵樹，所用的時間為（9×棵距÷36），這個時間也是甲走過21個棵距的時間，甲的速度為：21

49、5;棵距÷（9×棵距÷36）=84米/分。答：甲的速度是每分鐘84米。4. 根據(jù)已知條件，從左至右每隔6厘米點(diǎn)一紅點(diǎn)，不難算出共有17個點(diǎn)（包括起點(diǎn)，終點(diǎn)）并余4厘米。100厘米長的棒從右到左共點(diǎn)21個點(diǎn)，可分為20段，而最后一點(diǎn)與端點(diǎn)重合，相當(dāng)于從左到右以5厘米的間距畫點(diǎn). 在5與6的公倍數(shù)30中，不難看出有2個4厘米的小段；同樣在第二個和第三個30厘米中也各有2個，剩下的10厘米只有一個4厘米的小段，所以在100厘米的木棍上只能有2×3+1=7（段）4厘米長的間距.植樹問題一、填空題1.在相距100米的兩樓之間栽樹,每隔10米栽1棵,共栽了 棵樹.2

50、.圓形滑冰場周長400米,每隔20米裝一盞燈,共要裝 盞燈.3.一段公路長3600米,在公路兩旁每隔9米栽一棵梧桐樹,兩端都栽,共栽梧桐樹 棵.4.在一個半徑是125米的圓形花園周圍以等距離種白楊樹157棵,則兩樹間的距離是 米.5.一個湖泊周長1800米,沿湖泊周圍每隔3米栽一棵柳樹,每兩棵柳樹中間栽一棵桃樹,湖泊周圍栽柳樹 棵,栽桃樹 棵.6.一塊三角形地,三邊之長分別為156米、234米、186米,要在三邊上植樹,株距6米,三個角上各有一棵,共植樹 棵.7.一條馬路長440米,在路的兩旁每隔8米種一棵樹,兩邊都種,共種 棵樹.8.兩棵柳樹相距408米,計劃在這兩棵樹之間補(bǔ)栽小樹23棵,每

51、兩棵樹間隔相等,則樹的間隔 米.9.公路的每邊相隔7米有一棵槐樹,芳芳乘電車3分鐘看到公路的一邊有槐樹151棵,電車的速度是每分鐘 米.10.國慶節(jié)接受檢閱的一列車隊共52輛,每輛車長4米,前后每輛車相隔6米,車隊每分鐘行駛105米.這列車隊要通過536米長的檢閱場地,要 分鐘.二、解答題11.參加閱兵的戰(zhàn)士有1200人,平均分成5個大隊,隊距是7.5米.每隊6人為一排,排距是2米.整個隊伍的總長有多少米.12.鋸一條4米長的圓柱形的鋼條,鋸5段耗時1小時20分.如果把這樣的鋼條鋸成半米長的小段,需要多少分鐘.13.一人以相等的速度在小路上散步,從第一棵樹走到第12棵樹用了11分鐘,如果這個人

52、走了25分鐘,應(yīng)走到的第幾棵樹.14.在一個正方形的場地四周種樹,四個頂點(diǎn)都有一棵,這樣每邊都種有24棵,四周共種多少棵樹.答 案一、填空題1 因為兩端不能栽樹,所以:棵數(shù)=間隔數(shù)-1=100÷10-1=9（棵）2 間隔數(shù)為:400÷20=20因為是環(huán)形問題,裝燈的盞數(shù)等于間隔數(shù),共要裝訂20盞.3. 間隔數(shù)為:3600÷9=400栽數(shù)棵數(shù)=(間隔數(shù)+1)×2=401×2=802(棵)4. 半徑為125米的圓周長為:2×3.14×125=785(米)因為環(huán)形問題的棵數(shù)等于間隔數(shù),所以間隔數(shù)為157.間距=785÷1

53、57=5(米)5. 間隔數(shù)=1800÷3=600因為是環(huán)形問題,所以栽柳數(shù)為600棵.因為每兩棵柳樹中間栽一棵桃樹,即每個間隔內(nèi)栽一棵桃樹,所以栽桃樹600棵.6. 因為156÷6=26 234÷6=39 186÷6=31又因為三個角上各有一棵,所以共植樹:(26+1)+(39+1)+(31+1)-3=27+40+32-3=96(棵)7. 間隔數(shù)=440÷8=55因為兩邊都種樹,所以共種樹:(55+1)×2=112(棵)8. 間隔數(shù)=棵數(shù)-1=(23+2)-1=24間距=路長÷間隔數(shù)=408÷24=17(米)9.

54、路長=間隔數(shù)×間距=(151-1)×7=1050(米)速度=路程÷時間=1050÷3=350(米)所以速度為每分鐘350米.10. 因為車隊行駛的路程等于檢閱場地的長度與車隊長度的和.所以所需時間為: 4×52+6×(52-1)+536÷105 =208+306+536÷105 =1050÷105 =10(分鐘)二、解答題11. 由題意,隊伍總長為: 7.5×(5-1)+2×(1200÷5÷6-1)×5 =7.5×4+2×39×

55、;5 =420(米)12. 由題意,所需時間為: 鋸一刀所需時間×要鋸的刀數(shù). =(60×1+20)÷(5-1)×(4÷0.5-1) =80÷4×7 =140(分鐘)13. 由從第1棵走到第12棵,共走了11個間隔,用了11分種,得出每分鐘走1個間隔.所以25分鐘,走了25個間隔,所以應(yīng)走到第25+1=26棵樹. 14. 由題意,四周共有:(24-1)×4=92(棵)第五講 歸一問題和歸總問題為什么把有的問題叫歸一問題？我國珠算除法中有一種方法，稱為歸除法.除數(shù)是幾，就稱幾歸；除數(shù)是8，就稱為8歸.而歸一的意思，就是用除法求出單一量，這大概就是歸一說法的來歷吧！歸一問題有兩種基本類型.一種是正歸一，也稱為直進(jìn)歸一.如：一輛汽車3小時行150千米，照這樣，7小時行駛多少千米？另一種是反歸一，也稱為返回歸一.如：修路隊6小時修路180千米，照這樣，修路240千米需幾小時？正、反歸一問題的相同點(diǎn)是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點(diǎn)在第二步.正歸一問題是求幾個單一量是多少，反歸一是求包含多少個單一量。例1 一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時爬行多少米？分析 為了求出蝸牛