高考數(shù)學(xué)數(shù)列的綜合應(yīng)用

1、.題目 第三章數(shù)列數(shù)列的綜合應(yīng)用高考要求 (1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際問題(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解決簡單的實(shí)際問題知識點(diǎn)歸納 1通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系：2迭加累加法：， ， ， 3迭乘累乘法：，4裂項(xiàng)相消法：5錯位相減法：, 是公差d0等差數(shù)列，是公比q1等比數(shù)列所以有6通項(xiàng)分解法：7等差與等比的互變關(guān)系： 8等比、等差數(shù)列和的形式：9無窮遞縮等比數(shù)列的所有項(xiàng)和：題型講解 例1 等差數(shù)列a

2、n的首項(xiàng)a1>0,前n項(xiàng)和為Sn,若Sm=Sk(mk),問n為何值時(shí)，Sn最大？解：根據(jù)，首項(xiàng)a1>0,若m+k為偶數(shù),則當(dāng)n=(m+k)/2時(shí)，Sn最大；若m+k為奇數(shù)，當(dāng)n=(m+k1)/2或n=(m+k+1)/2時(shí)，Sn最大例2 已知關(guān)于n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)>對于一切大于1的自然數(shù)n都成立，求a的取值范圍解：把 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)看成一個(gè)函數(shù)f(n),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(n)的最小值大于右式f(n)1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)f(n+1) f(n)1/(n+2)+1/(n+3)+1/(2n+2)

3、 1/(n+1)+1/(n+2)+1/(2n)1/(2n+2) +1/(2n+1) 1/(n+1)1/(2n+1) 1/(2n+2) >0f(n+1)> f(n)函數(shù)f(n)是增函數(shù)，故其最小值為f(2)=7/12, 7/12>,解得：1<a<(+1)/2例3 已知數(shù)列an,bn都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p,q,其中p>q且q1, p1, 設(shè)Cn=an+bn,Sn為數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和，求解：,以下分兩種情況討論：(1)當(dāng)p>1時(shí), p>q>0, 0<q/p<1Þ=0,=0,兩邊同除以pn,得：=p;(2)當(dāng)p

4、<1時(shí), p>q>o, 0<q<p<1Þ=0,=0, =1例4 如圖所示：已知拋物線y=x2,點(diǎn)An的坐標(biāo)為(1,0),將OAn分為n等分，分點(diǎn)為A1,A2,An1, 過A1,A2,An1,An分別作y軸的平行線，分別交拋物線于B1,B2,B3, Bn1,Bn,再分別以O(shè)A1, A1A2,A2A3, An1An為寬作n個(gè)小矩形 求n個(gè)小矩形的面積之和；求(即曲邊梯形OAnBn的面積)解：Sn=(n+1)(2n+1)/(6n2);=1/3本題用極限的思想求曲邊梯形的面積，正是高等數(shù)學(xué)中的思想例5 等差數(shù)列an中，已知公差d0,an0,設(shè)方程arx2+

5、2ar+1x+ar+2=0 (rN)是關(guān)于x的一組方程 證明這些方程中有公共根，并求這個(gè)公共根；設(shè)方程arx2+2ar+1x+ar+2=0的另一根記為mr,證明：數(shù)列1/(mr+1)是等差數(shù)列解：依題意，由an是等差數(shù)列，有ar+ar+2=2ar+1 (rN),即x=1時(shí)，方程成立，因此方程恒有實(shí)數(shù)根x=1;設(shè)公差為d(化歸思想),先解出方程的另一根mr=ar+2/ar, 1/(mr+1)=ar/(arar+2)=ar/(2d), 1/(mr+1+1)1/(mr+1)= ar+1/(2d)ar/(2d)=1/2, 1/(mr+1)是等差數(shù)列例6 數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=na+(n1)nb,(n

6、=1,2,),a,b是常數(shù)，且b0,求證an是等差數(shù)列；求證以(an,Sn/n1)為坐標(biāo)的點(diǎn)Pn都落在同一直線上，并求出直線方程；設(shè)a=1,b=1/2,C是以(r,r)為圓心，r為半徑的圓(r>0),求使得點(diǎn)P1,P2,P3都落在圓外的r 的取值范圍證明：根據(jù)得an=a+(n1)´ 2b,an是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a,公比為2b由x=an=a+(n1)´2b, y=Sn/n1=a+(n1)b兩式中消去n,得：x2y+a2=0,（另外算斜率也是一種辦法）(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它們都落在圓外的條件是：(r1)2+r2>r2;

7、 (r2)2+(r1/2)2>r2; (r3)2+(r1)2>r2 r的取值范圍是(1,5/2)(0,1)(4+,+)例7 已知數(shù)列an滿足條件a1=1,a2=r(r>0),且anan+1是公比為q (q>0)的等比數(shù)列，設(shè)bn=a2n1+a2n (n=1,2,3,) 求出使不等式anan+1+an+1an+2>an+2an+3 (nN) 成立的q 的取值范圍；求bn和,其中Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和；設(shè)r=21921,q=05,求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值解：rqn1+rqn>rqn+1, q>0 Þ0<q<(1+)/2;

8、2;=q0 bn是首項(xiàng)為1+r,公比為q的等比數(shù)列，從而bn=(1+r)qn1,當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n(1+r), =0;當(dāng)0<q<1時(shí)，=(1q)/(1+r);當(dāng)q>1時(shí)，=0;=f(n)=1+1/(n202),當(dāng)n³21時(shí)，f(n)遞減， f(n)£f(21)Þ1<f(n)£225;當(dāng)n£20時(shí)，f(n)遞減， f(n)³f(20)Þ1>f(n)³4; 當(dāng)n=21時(shí)，有最大值225;當(dāng)n=20時(shí)，有最小值4例8 一個(gè)水池有若干出水相同的水龍頭，如果所有的水龍頭同時(shí)放水，那么24分鐘可

9、注滿水池，如果開始時(shí)全部開放以后隔相等時(shí)間關(guān)閉一個(gè)水龍頭，到最后一個(gè)水龍頭關(guān)閉時(shí)，恰好注滿水池，而且關(guān)閉最后一個(gè)水龍頭放水的時(shí)間恰好是關(guān)閉前一個(gè)水龍頭放水時(shí)間的5倍，問最后關(guān)閉的這個(gè)水龍頭放水多少時(shí)間？解：設(shè)每個(gè)水龍頭放水時(shí)間依次為x1,x2,xn,由已知x2x1=x3x2=x4x3=xnxn1, xn為等差數(shù)列，又每個(gè)水龍頭每分鐘放水時(shí)間是1/(24n), Þx1+x2+xn=24n;即n(x1+xn)/2=24n Þx1+xn=48, 又xn=5x1 , xn=40即最后一個(gè)水龍頭放水時(shí)間是40分鐘例9 某林場原有森林木材量為a，木材以每年25%的增長速度增長，而每年要

10、砍伐的木材量為r,為使經(jīng)過20年木材存量翻兩番，求每年的最大砍伐量x（取lg2=03)解：用歸納法求解，第一年存量：125ax;第二年存量：125(125ax)x=a´1252x(1+125);第三年存量：125´a´1252x(1+125)x=a´1253x(1+125+1252);第20年末存量：a´12520x(1+125+1252+12519)=a´125204x(112520)依題意：a´125204x(112520)=4a,又設(shè)y=12520Þlgy=20lg125=20(13lg2)=2 y=100,

11、即12520=100Þx=8a/33答：每年的最大砍伐量為8a/33例10 某地區(qū)現(xiàn)有耕地面積10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在提高22%,人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%,如果人口年增長率為1%,那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃？(精確到1公頃)解法一：以糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在提高22%為目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)現(xiàn)有的人口為A人，人均糧食占有量為b噸，平均每年減少耕地x公頃，由題意可知：£解得：,再用二項(xiàng)式定理進(jìn)行計(jì)算可得：x£4解法二：以10年后人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%為目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型，糧食單產(chǎn)為a噸/公頃， 可得：³Þx£

12、4 (公頃)例10 某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同為了保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？解：設(shè)2001年末的汽車保有量為，以后每年末的汽車保有量依次為，每年新增汽車萬輛由題意得 學(xué)生練習(xí) 1在等差數(shù)列an中，a1+a2+a3+a4+a5=30,a5+a6+a7+a8+a9+a10=80,則a11+a12+a13+a14+a15= 答案：1302數(shù)列an中，a15=10,a45=90,若an為等差數(shù)列，則a60= ;若an為等比數(shù)列，則a60= ;答案：130，

13、7;270（兩種解法）3a1,a2,a2n+1成等差數(shù)列，且下標(biāo)為奇數(shù)的項(xiàng)的和為60，下標(biāo)為偶數(shù)的項(xiàng)的和為45，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是 答案：7（直接列方程）4an是等比數(shù)列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,則a3+a5為 ；答案：55設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)之和為30，前2n項(xiàng)之和為100，則它的前3n項(xiàng)之和為 答案：2106an是等差數(shù)列，且a1a4a8a12+a15=2,求a3+a13的值；答案：47一個(gè)等差數(shù)列共n項(xiàng)，其和為200，其中前10項(xiàng)之和為25，后10項(xiàng)之和為75，則n= 答案：408等比數(shù)列an中，已知a1a2a3=1,a4a5a6=2,則a7a8a9a10

14、a11a12= 答案：32;9等比數(shù)列an中，Sn=2n1,則a12+a22+an2等于 答案：(4n1)/310數(shù)列an和bn均為等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)之和分別為Sn ,若Sn /=(7n+2)/(n+4),則a5/b5= 答案：5;11等差數(shù)列an的公差為1/2,且前100項(xiàng)之和為S100=145,求a1+a3+a5+a99的值答案：S100=a1+a3+a5+a99+a2+a4+a6+a100=2(a1+a3+a5+a99)+50d=145Þ a1+a3+a5+a99=6012項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為33，求該數(shù)列的中間項(xiàng)答案：S奇+S偶=Sn; S

15、奇S偶=a中； Sn=na中 Þa中=1113等差數(shù)列an中，前m項(xiàng)之和(m為奇數(shù))為77，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為33，a1am=18,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式答案： （奇數(shù)項(xiàng)之和） ，兩式相除得到：(m+1)/(m1)=4/3 Þm=7，再聯(lián)立方程組解得：a1=20,am=2Þd=3Þan=3n+2314 在等差數(shù)列an中，如果Sm/Sn=m2/n2(m,n為已知數(shù)),求am/an的值答案： (2m1)/(2n1) 15等差數(shù)列an中，公差d0,其中構(gòu)成等比數(shù)列，若k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+kn答案：由題意知a52=a1a17,列方程得到

16、a1=2d,公比q=a5/a1=(a1+4d)/a1=3, =a1´ 3n1, (1)； 又=a1+（kn1）d= (2);由(1)及(2)得kn=2´3n11, k1+k2+kn=2(1+3+32+3n1)n=3nn116在1/n和n+1之間插入n個(gè)正數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求插入的n個(gè)數(shù)之積答案： 17等差數(shù)列an中，a3=12,S13<0,S12>0,(1)求公差d的取值范圍；(2)指出S1,S2,S12中哪一個(gè)最大？并說明理由答案：(1)由S12=12a1+12´11d/2>0, S13=13a1+13´12d/2<

17、;0 , a3=a1+2d=12得到：24+7d>0, 3+d<0 Þ24/7<d<3;(2)兩種解法：方法一：Sn是n的二次函數(shù)，由此函數(shù)配方結(jié)合d的范圍求出最大值方法二：S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0 Þa6+a7>0,a7<0Þa6>0,a7<0,故當(dāng)n£6時(shí)，Sn遞增，n³6時(shí)，Sn遞減， S6最大18(1)數(shù)列an是首項(xiàng)為1000，公比為1/10的等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bk=(kN),求數(shù)列bn的前多少項(xiàng)的和最大？(2)數(shù)列an中，S7=S12 , 則數(shù)列

18、的前 項(xiàng)之和最大答案：（1）bk=3(k1)/2, bk為等差數(shù)列；bn³0, bn+1£0,Þ6£n£7所以第6項(xiàng)和第7項(xiàng)最大；（2）8或9數(shù)形結(jié)合19已知nN,函數(shù)y=(x2x+n)/(x2+1)的最小值與最大值的和為an,又b1+2b2+nbn=(n+10)求an和bn的表達(dá)式；令Cn=anbn,試問數(shù)列Cn有沒有最大項(xiàng)？如果有，求出最大項(xiàng)，如果沒有，說明理由答案：先用判別式法求出an=n+1,又b1+2b2+nbn= (n+10) (1) b1+2b2+(n1)bn1=(n+9) (2)相減得：bn=, 從而Cn=,考慮數(shù)列的單調(diào)性，由Cn³Cn1, Cn³Cn+1 Þ8£n£9故最大項(xiàng)為C8=C9=18已知遞增的等比數(shù)列an的前三項(xiàng)之積為512，且這三項(xiàng)分別減去1，3，9后又成等差數(shù)列，求證：答案：a2=8, 設(shè)公比為q,則(8/q1)+(8q9)=2(83)Þq=2或q=1/2(舍去)Sn=,用錯位相減法得Sn=1<119已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,bn=1/Sn,且a3b3=1/2,S3+S5=21求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;求證：b1+b2+bn<2答案：bn=; bn=2()裂項(xiàng)相消，結(jié)果為22/(n+1)<