二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)

1、二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì) 一、二次根式的有關(guān)概念： 1.二次根式：式子(a0)叫做二次根式。 2.最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式； （1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式； （2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。如不是最簡二次根式，因被開方數(shù)中含有4是可開得盡方的因數(shù)，又如，.都不是最簡二次根式，而，5，都是最簡二次根式。 3.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。如, , 就是同類二次根式，因為=2，=3，它們與的被開方數(shù)均為2。 4.有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二

2、次根式，則說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。如與，a+與a-，-與+，互為有理化因式。 二、二次根式的性質(zhì)： 1.(a0)是一個非負數(shù), 即0; 2.非負數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個數(shù)，即：()2=a(a0)； 3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對值，即=|a|= 4.非負數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即=·（a0,b0）。 5.非負數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即=（a0,b>0）。 三、例題： 例1.x為何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)才有意義： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+ 分析：這是一組考察二次根式基本概念的

3、問題，要弄清每一個數(shù)學(xué)表達式的含義，根據(jù)分式和根式成立的條件去解，即要考慮到分式的分母不能為0并且偶次根號下被開方數(shù)要大于或等于零。 解：（1） 6-x0, x6時原式有意義。 （2） x20, x2+3>0, x取任意實數(shù)原式都有意義。 （3） 當x<3且x-3時，原式有意義。 （4） 當-x<時，原式有意義。 （5） 當x0且x1時，原式有意義。 （6） x=2 當x=2時，原式有意義。 例2.寫出下列各等式成立的條件： （1）=-3x （2）=-mn （3）=1+2a（4）=· （5）-=7 分析：本題考察算術(shù)平方根的概念及二次根式的性質(zhì)。 解：（1） =|3

4、x|=-3x, -3x0, 3x0, x0. （2） =|mn|=-mn, mn0, 成立，隱含m0, m0且n0. （3） =|2a+1|=1+2a 1+2a0, a-. （4）由題意得 x=±1. （5） - =- =|x+5|-|2-x|=7 只有|x+5|=x+5, |2-x|=x-2時才成立， x2. 例3.化簡下列各式： （1） （2）a2(m<0) （3）+|2-x|+（2<x<3) （4）（5）(x-y)+ （6）(y<0) （7）+ 分析： 在二次根式化簡的題目中，若有已知條件或隱含條件，則根據(jù)已知或隱含條件化簡，若沒有已知條件或隱含條件時，

5、則必須加以討論，特別是對于開方后式中有兩個絕對值以上的題目，要采取零點分段的方法逐一加以考慮。 解：（1） >3, =|3-|=-3. （2） m<0, 要使有意義，則a<0, a2=a2=a2·=-=-a. （3） 2<x<3, 原式=+|2-x|+ =|2-x|+|2-x|+|x-3| =x-2+x-2+3-x=x-1. （4）=|3x-1|= 在這里我們分3x-10或3x-1<0兩種情況進行了討論。 （5）(x-y)+ 有意義， y-x>0 原式=(x-y)·+ =+|x-y| =+y-x=-+y-x. （6） y<0,

6、 原式= =2|xy| =-2|x|y 當x0時, 原式=-2xy, 當x<0時, 原式=2xy。 （7）+ =+=|4-x|+|x+1| 若|4-x|=0,則x=4;若|x+1|=0則x=-1，則本題需要將x的取值分成三段，即分x-1, -1<x<4, x4三段來進行討論。 當x-1時，原式=4-x+(-x-1)=4-x-x-1=3-2x. 當-1<x<4時, 原式=4-x+x+1=5. 當x4時，原式=x-4+x+1=2x-3. 例4.把根號外的因式移至根號內(nèi)： （1）2（2）-5（3）m(m0) （4）x(x0)（5）a 分析：本題需逆用性質(zhì)=·（a0,b0)只能將根號外的正因式移至根號內(nèi)。 解：（1）2=·=。 （2）-5=-·=-。 （3） m0, m=·=。 （4）x(x0) x=-·=-。 （5） 成立， 隱含a<0, a·=-·=-=-。 例5.（1）已知：y-1=,求：x+2y的值。 （2）若+|x-2y|=0, 求：x2+y2的值。 分析：（1）觀察已知條件，等式右邊有兩個根式，要使兩個根式有意義，則 x=2， y=1, 從而可求出x+2y的值。 （1）解：由已