向量知識(shí)點(diǎn)職高

1、向量知識(shí)點(diǎn)1. 有向線段 : 具有方向的線段叫做有向線段 , 通常在有向線段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向. 以 A為始點(diǎn) ,B 為終點(diǎn)的有向線段記作AB , 應(yīng)注意 : 始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面, 已知 AB , 線段 AB的長(zhǎng)度叫做有向線段AB 的長(zhǎng) ( 或模 ),AB 的長(zhǎng)度記作 | AB| . 有向線段包含三個(gè)要素: 始點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度 .2. 向量 : 具有大小和方向的量叫做向量 , 只有大小和方向的向量叫做自由向量 . 在本章中說(shuō)到向量 , 如不特別說(shuō)明 , 指的都是自由向量 . 一個(gè)向量可用有向線段來(lái)表示 , 有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小 ,有向線段的方向表示向量的方向. 用有向線段

2、 AB 表示向量時(shí) , 我們就說(shuō)向量AB . 另外 , 在印刷時(shí)常用黑體小寫字母 a、b、c 、 等表示向量 ; 手寫時(shí)可寫作帶箭頭的小寫字母 a 、 b 、 c 、 等 . 與向量有關(guān)的概念有 :(1) 相等向量 : 同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量. 向量 a 和 b 同向且等長(zhǎng) , 即 a 和b 相等 , 記作 a =b .(2) 零向量 : 長(zhǎng)度等于零的向量叫做零向量 , 記作 0 . 零向量的方向不確定 .(3) 位置向量 : 任給一定點(diǎn) O和向量 a , 過(guò)點(diǎn) O作有向線段 OA a , 則點(diǎn) A 相對(duì)于點(diǎn) O的位置被向量 a 所 aaa 唯一確定 , 這時(shí)向量 a 又

3、常叫做點(diǎn) A 相對(duì)于點(diǎn) O的位置向量 .(4) 相反向量 : 與向 量 a 等長(zhǎng)且 方向 相反的向量叫 做向 量 a 的相 反向 量 , 記作a . 顯然 ,a ( a) 0 .(5) 單位向量 : 長(zhǎng)度等于 1 的向量 , 叫做單位向量 , 記作 e . 與向量 a 同方向的單位向量通常記作 a0 ,容易看出 : a0 a . a(6) 共線向量 ( 平行向量 ) : 如果表示一些向量的有向線段所在的直線互相平行或重合 , 即這些向量的方向相同或相反 , 則稱這些向量為共線向量 ( 或平行向量 ). 向量 a 平行于向量 b , 記作 a b . 零向量與任一個(gè)向量共線 ( 平行 ).3.

4、已知向量 a 、 b , 在平面上任取一點(diǎn)A, 作 ABa , BCb , 作向量 AC , 則向量 AC 叫做向量 a 與 b 的和 ( 或和向量 ), 記作 a + b , 即 abABBC角形法則 .AC . 這種求兩個(gè)向量和的作圖法則, 叫做向量求和的三4. 已知向量 a 、 b , 在平面上任取一點(diǎn) A, 作 AB a , AD b , 如果 A、B、D 不共線 , 則以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,則對(duì)角線上的向量AC = a +b = AB + AD . 這種求兩個(gè)向量和的作圖法則 , 叫做向量求和的平行四邊形法則.5. 已知向量 a 、 b , 在平面上任取一點(diǎn)O,作

5、OAa , OBb , 則 b +BA = a , 向量 BA 叫做向量 a 與 b 的差 , 并記作 a - b , 即 BA =abOAOB . 由此推知 :(1) 如果把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起 , 則這兩個(gè)向量的差是減向量的終點(diǎn)到被減向量的終點(diǎn)的向量 ;(2) 一個(gè)向量 BA 等于它的終點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn) O的位置向量 OA 減去它的始點(diǎn)相對(duì)于點(diǎn) O 的位置向量OB;(3) 一個(gè)向量減去另一個(gè)向量 , 等于加上這個(gè)向量的相反向量 .6. 向量加法滿足如下運(yùn)算律: (1)abba ;(2)(ab)ca(bc) .7. 數(shù)乘向量的一般定義 : 實(shí)數(shù) 和向量 a 的乘積是一個(gè)向量 , 記作 a .當(dāng)0

6、時(shí),a與a a= a;同方向 ,當(dāng)0時(shí),a與a a= a;反方向 ,當(dāng)0 或 a0 時(shí),0 a0 0 .8. 數(shù)乘向量滿足以下運(yùn)算律: (1)1a =a,(-1)a =a ;(2)(a)()a;(3)()aaa ;(4)(ab)ab .9. 平行向量基本定理: 如果向量b0 , 則a b 的充分必要條件是, 存在唯一的實(shí)數(shù), 使 ab .該定理是驗(yàn)證兩向量是否平行的標(biāo)準(zhǔn).10 已知軸, 取單位向量 e , 使 e與同方向 , 對(duì)軸上任意向量a , 一定存在唯一實(shí)數(shù)x, 使 axe . 這里的 x 叫做 a 在軸上的坐標(biāo) ( 或數(shù)量 ),x 的絕對(duì)值等于 a 的長(zhǎng) , 當(dāng) a 與 e同方向時(shí) ,

7、x向時(shí) ,x 是負(fù)數(shù) .(1) 設(shè) ax1e, bx2 e , 則 a = b 當(dāng)且僅當(dāng) x1x2 ; a + b =(x1x2 )e .是正數(shù) , 當(dāng) a 與 e 反方這就是說(shuō) ,量的坐標(biāo)的和 .軸上兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等; 軸上兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于兩個(gè)向(2) 向量AB的坐標(biāo)通常用AB表示 , 常把軸上向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為它們的坐標(biāo)運(yùn)算, 得著名的沙爾公式 :AB+BC=AC.(3) 軸上向量的坐標(biāo)運(yùn)算 : 起點(diǎn)和終點(diǎn)在軸上的向量的坐標(biāo)等于它的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo). 即在軸x 上 , 若點(diǎn)A 的坐標(biāo)為x1 , 點(diǎn)B 的坐標(biāo)為x2 , 則AB=x2x1 . 可得 到數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離

8、公式 :AB= x2 x1 .11. 平面向量的分解定理 : 設(shè) a1 , a2 是平面上的兩個(gè)不共線的向量 , 則平面上任意一個(gè)向量 c 能唯一地表示成 a1 , a2 的線性組合 , 即 cx1 a1x2 a2 ( x1 , x2R) .12. 直線的向量參數(shù)方程：(t 為參數(shù) ): AP t AB ; OPOA t AB ; OP(1t )OAtOB . 特別地 , 當(dāng) t1時(shí),OP1(OA OB) ,此為中點(diǎn)向量表達(dá)式 .2212 在直角坐標(biāo)系 XOY內(nèi), 分別取與 x 軸、與 y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量 e1、 e2 , 在 XOY平面上任作一向量 a , 由平面向量分解定理可知,

9、 存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)( x1 , x2 ) , 使得 ax1 e1 x2 e2 , 則 ( x1, x2 ) 叫做向量 a 在直角坐標(biāo)系 XOY中的坐標(biāo) , 記作 a( x1 , x2 ) .13 向量的直角坐標(biāo) : 任意向量 AB 的坐標(biāo)等于終點(diǎn) B的坐標(biāo)減去起點(diǎn) A的坐標(biāo) , 即若 A、( x1, y1 )B(x2 , y2 ) ,則 ABOB OA ( x2, y2 ) (x1, y1 )(x2x1 , y2y1) . 向量 a 的直角坐標(biāo) (a1 , a2 ) , 也常根據(jù)向量的長(zhǎng)度和方向來(lái)求 :a1a cos , a2asin .14. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式 : 設(shè) a(a1 , a

10、2 ), b(b1 ,b2 ) , 則:a b (a1, a2 ) (b1 ,b2 ) (a1 b1 ,a2b2 ) ; a b (a1, a2 ) (b1 ,b2 ) ( a1b1 , a2b2 ) ;a( a1 ,a2 ) ( a1 , a2 ) .15. 向量的長(zhǎng)度 ( 模) 公式: 若a (a1 , a2 ) ,則22;aa1a2若 A,B (x2 , y2 ) ,則 ( x2x1)2( y22.( x1 , y1)ABy1)16. 中點(diǎn)公式 : 若 A(x1, y1 ) ,B ( x2 , y2 ) , 點(diǎn) M(x,y)是線段 AB的中點(diǎn) , 則xx1x2 , y y1 y2 .22

11、17. 平移是一種基本的幾何 ( 保距 ) 變換 , 它本身就是一個(gè)向量 . 教材中有點(diǎn)的平移和坐標(biāo)軸的平移 ( 平面解析幾何中講到 ).18. 在圖形 F 上任取一點(diǎn) P(x,y), 設(shè)平移向量 a (a1 , a2 ) 到圖形 F 上的點(diǎn) P ( x , y ) , 則點(diǎn)的平移公式為 : xxa1 , yya2 .19. 以 x 軸的正半軸為始邊 , 以射線 OA為終邊的角, 叫做向量 a 的方向角 . 向量 a 在軸上的投影數(shù)量為 a acos .20. 兩個(gè)向量 a , b 的內(nèi)積揭示了長(zhǎng)度、角度與向量投影之間的深刻聯(lián)系:(1) 兩個(gè)向量的內(nèi)積等于一個(gè)向量的長(zhǎng)與另一個(gè)向量在這個(gè)方向上正投影數(shù)量的乘積, 即a b a(bcos)= b(acos ) ;(2) 兩個(gè)向量的內(nèi)積等于這兩個(gè)向量的模與它們夾角的余弦的積, 即a b abcos ;(3) 兩個(gè)向量的內(nèi)積是數(shù)量而不是向量 .21. 內(nèi)積運(yùn)算的性質(zhì) :(1)如果 e 是單位向量 , 則 a ee a = acos ;(2)a ba b 0 ;(3)a