2第2講　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

1、第 2 講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量 a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使 a1e12e2其中，不共線的向量 e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a| x21y21(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB(x2x1，y2y1)，|AB| （x2x1）

2、2（y2y1）23平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，abx1y2x2y10導(dǎo)師提醒1理解基底需關(guān)注三點(diǎn)(1)基底 e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一(3)如果對(duì)于一組基底 e1，e2，有 a1e12e21e12e2，則可以得到11，22.2應(yīng)用共線向量定理應(yīng)注意兩點(diǎn)(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 ab 的充要條件不能表示成x1x2y1y2，因?yàn)?x2，y2有可能等于 0，應(yīng)表示為 x1y2x2y10.(2)判斷三點(diǎn)是否共線，先求每兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后按兩向量共線進(jìn)行判定3

3、牢記兩個(gè)結(jié)論(1)已知 P 為線段 AB 的中點(diǎn)，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 P 點(diǎn)坐標(biāo)為x1x22，y1y22.(2)已知ABC 的頂點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則ABC 的重心 G 的坐標(biāo)為x1x2x33，y1y2y33.判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)若 a，b 不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示()(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 ab 的充要條件可表示成x1x2y1y

4、2.()答案：(1)(2)(3)(4)(教材習(xí)題改編)下列哪組向量可以作為平面向量的一組基底()Ae1(2，4)，e2(1，2)Be1(4，3)，e2(3，8)Ce1(2，3)，e2(2，3)De1(3，0)，e2(4，0)解析：選 B.對(duì)于 A，e12e2，對(duì)于 C，e1e2，對(duì)于 D，e134e2，對(duì)于 B，不存在R，使 e1e2，故選 B.已知點(diǎn) A(0，1)，B(3，2)，向量AC(4，3)，則向量BC()A(7，4)B(7，4)C(1，4)D(1，4)解析：選 A.法一：設(shè) C(x，y)，則AC(x，y1)(4，3)，所以x4，y2，從而BC(4，2)(3，2)(7，4)故選 A.法

5、二：AB(3，2)(0，1)(3，1)，BCACAB(4，3)(3，1)(7，4)故選 A.若向量 a(2，1)，b(1，2)，c0，52 ，則 c 可用向量 a，b 表示為()Ac12abBc12abCc32a12bDc32a12b解析：選 A.設(shè) cxayb，則0，52 (2xy，x2y)，所以2xy0，x2y52，解得x12，y1，則c12ab.(教材習(xí)題改編)向量 a，b 滿足 ab(1，5)，ab(5，3)，則 b_解析：由 ab(1，5)，ab(5，3)，得 2b(1，5)(5，3)(6，8)，所以 b12(6，8)(3，4)答案：(3，4)(教材習(xí)題改編)已知 A(2，3)，B(

6、2，1)，C(1，4)，D(7，t)，若AB與CD共線，則 t_解析：AB(2，1)(2，3)(4，4)，CD(7，t)(1，4)(8，t4)因?yàn)锳B與CD共線，所以 4(t4)4(8)0.即 4t160，所以 t4.答案：4平面向量基本定理的應(yīng)用(師生共研)(1)(一題多解)(2019鄭州模擬)如圖，在直角梯形 ABCD 中，AB2AD2DC，E為 BC 邊上一點(diǎn)，BC3EC，F(xiàn) 為 AE 的中點(diǎn)，則BF()A.23AB13ADB.13AB23ADC23AB13ADD13AB23AD(2)在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M，N 分別為 CD，BC 的中點(diǎn)若ABAMAN，則_【解析

7、】(1)法一：如圖，取 AB 的中點(diǎn) G，連接 DG，CG，則易知四邊形 DCBG 為平行四邊形，所以BCGDADAGAD12AB，所以AEABBEAB23BCAB23AD12AB23AB23AD，于是BFAFAB12AEAB1223AB23ADAB23AB13AD，故選 C.法二：BFBAAFBA12AEAB12AD12ABCEAB12AD12AB13CBAB12AD14AB16(CDDAAB)23AB13AD.(2)因?yàn)锳BANNBANCNAN(CAAN)2ANCMMA2AN14ABAM，所以AB85AN45AM，所以45，85，所以45.【答案】(1)C(2)45平面向量基本定理應(yīng)用的實(shí)

8、質(zhì)和一般思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決提醒在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理1在ABC 中，點(diǎn) P 是 AB 上一點(diǎn)，且CP23CA13CB，Q 是 BC 的中點(diǎn)，AQ 與 CP的交點(diǎn)為 M，又CMtCP，則實(shí)數(shù) t 的值為_解析：因?yàn)镃P23CA13CB，所以 3CP2CACB，即 2CP2CACBCP，所以 2APPB.即 P 為 AB 的一個(gè)三

9、等分點(diǎn)(靠近 A 點(diǎn))，又因?yàn)?A，M，Q 三點(diǎn)共線，設(shè)AMAQ.所以CMAMACAQAC12AB12ACAC2AB22AC，又CMtCPt(APAC)t13ABACt3ABtAC.故2t3，22t，解得t34，12.故 t 的值是34.答案：342 已知點(diǎn) A， B 為單位圓 O 上的兩點(diǎn)， 點(diǎn) P 為單位圓 O 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)， 且OA與OB不共線(1)在OAB 中，點(diǎn) P 在 AB 上，且AP2PB，若APrOBsOA，求 rs 的值；(2)已知點(diǎn) P 滿足OPmOAOB(m 為常數(shù))， 若四邊形 OABP 為平行四邊形， 求 m 的值解：(1)因?yàn)锳P2PB，所以AP23AB，所以A

10、P23(OBOA)23OB23OA，又因?yàn)锳PrOBsOA，所以 r23，s23，所以 rs0.(2)因?yàn)樗倪呅?OABP 為平行四邊形，所以O(shè)BOPOA，又因?yàn)镺PmOAOB，所以O(shè)BOB(m1)OA，依題意OA，OB是非零向量且不共線，所以 m10，解得 m1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(多維探究)角度一已知向量的坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算(1)已知向量 a(5， 2)， b(4， 3)， c(x， y)， 若 3a2bc0， 則 c()A(23，12)B(23，12)C(7，0)D(7，0)(2)平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知 A(1，0)，B(0，1)，C(1，c)(c0)，且|OC|2，若OCOAO

11、B，則實(shí)數(shù)的值為_【解析】(1)3a2bc(23x，12y)0，故 x23，y12，故選 A.(2)因?yàn)閨OC|2，所以|OC|21c24，因?yàn)?c0，所以 c 3.因?yàn)镺COAOB，所以(1， 3)(1，0)(0，1)，所以1， 3，所以 31.【答案】(1)A(2) 31角度二解析法(坐標(biāo)法)在向量中的應(yīng)用(1)向量 a，b，c 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若 cab(，R)，則_(2)在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，動(dòng)點(diǎn) P 在以點(diǎn) C 為圓心且與 BD 相切的圓上若APABAD，則的最大值為_【解析】(1)以向量 a 和 b 的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正

12、方形邊長為 1)，則 A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，所以 aAO(1，1)，bOB(6，2)，cBC(1，3)因?yàn)?cab，所以(1，3)(1，1)(6，2)，即61，23，解得2，12，所以4.(2)以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD 所在直線分別為 x，y 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則 A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直線 BD的方程為 2xy20，點(diǎn) C 到直線 BD 的距離為2122225，圓 C：(x1)2(y2)245， 因?yàn)?P 在圓 C 上， 所以 P(12 55cos， 22 55sin)，AB(1，0)，AD(0，2)，APABAD

13、(，2)，所以12 55cos，22 55sin2，22 55cos55sin2sin()3，tan2.【答案】(1)4(2)3(1)向量坐標(biāo)運(yùn)算的策略向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行；若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)；解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則(2)向量問題坐標(biāo)化當(dāng)題目條件中所給的幾何圖形方便建立平面直角坐標(biāo)系(如矩形、等腰三角形等)時(shí)，可建立平面直角坐標(biāo)系，將向量坐標(biāo)化，將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，更便于計(jì)算求解1已知平行四邊形 ABCD 中，AD(3，7)，AB(2，3)，對(duì)角線 AC 與 BD 交于點(diǎn) O，則CO的坐標(biāo)為()A.12，

14、5B.12，5C.12，5D.12，5解析：選 D.因?yàn)锳CABAD(2，3)(3，7)(1，10)，所以O(shè)C12AC12，5，所以CO12，5.2.給定兩個(gè)長度為 1 的平面向量OA和OB，它們的夾角為23.如圖所示，點(diǎn) C 在以 O 為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng)若OCxOAyOB，其中 x，yR，求 xy 的最大值解：以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則 A(1，0)，B12，32 ，設(shè)AOC0，23，則 C(cos，sin)，由OCxOAyOB，得cosx12y，sin32y，所以 xcos33sin，y2 33sin，所以 xycos 3sin2sin

15、6 ，又0，23，所以66，56，所以 sin6 12，1，故 xy 的最大值為 2.平面向量共線的坐標(biāo)表示(多維探究)角度一利用兩向量共線求參數(shù)或坐標(biāo)(1)(2019開封模擬)已知平面向量 a，b，c，a(1，1)，b(2，3)，c(2，k)，若(ab)c，則實(shí)數(shù) k_(2)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三個(gè)頂點(diǎn) A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為_【解析】(1)由題意，得 ab(1，4)，由(ab)c，得 1k4(2)，解得 k8.(2)因?yàn)樵谔菪?ABCD 中，ABCD，DC2AB，所以DC2AB.設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(x，y)，則DC(4，

16、2)(x，y)(4x，2y)，AB(2，1)(1，2)(1，1)，所以(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，所以4x2，2y2，解得x2，y4，故點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(2，4)【答案】(1)8(2)(2，4)角度二利用向量共線求解三點(diǎn)共線問題已知向量OA(k，12)，OB(4，5)，OC(k，10)，且 A，B，C 三點(diǎn)共線，則 k 的值是()A23B.43C.12D.13【解析】ABOBOA(4k，7)，ACOCOA(2k，2)因?yàn)?A，B，C三點(diǎn)共線，所以AB，AC共線，所以2(4k)7(2k)，解得 k23.【答案】A(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：若 a(x1，

17、y1)，b(x2，y2)，則 ab 的充要條件是 x1y2x2y10；已知 b0，則 ab 的充要條件是 ab(R)(2)利用向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均為非零實(shí)數(shù)時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解1(2018高考全國卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，則_解析：2ab(4，2)，因?yàn)?c(1，)，且 c(2ab)，所以 124，即12.答案：122已知 a(1，0)，b(2，1)(1)當(dāng) k 為何值時(shí)，kab 與 a2b 共線？(2)若AB2a3b，BCamb 且 A，B，C 三點(diǎn)共線，求 m 的值解：(1)ka

18、bk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因?yàn)?kab 與 a2b 共線，所以 2(k2)(1)50，即 2k450，得 k12.(2)法一：因?yàn)?A，B，C 三點(diǎn)共線，所以ABBC，即 2a3b(amb)，所以23m，解得 m32.法二：AB2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，BCamb(1，0)m(2，1)(2m1，m)因?yàn)?A，B，C 三點(diǎn)共線，所以ABBC.所以 8m3(2m1)0，即 2m30，所以 m32.坐標(biāo)法解決平面向量問題如圖 2， “六芒星”是由兩個(gè)全等正三角形組成，中心重合于點(diǎn) O 且三組對(duì)邊分別平行 點(diǎn) A， B 是“六芒星”(

19、如圖 1)的兩個(gè)頂點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn) P 在“六芒星”上(內(nèi)部以及邊界)，若OPxOAyOB，則 xy 的取值范圍是()A4，4B 21， 21C5，5D6，6【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，以 x，y 軸正方向作為一組基底向量 i，j，令正三角形邊長為 3，則OBi，OA32i32j，可得 iOB，則 j2 33OA 3 OB，由圖知當(dāng) P 在 C 點(diǎn)時(shí)有，OP 3j2OA3OB，此時(shí) xy 有最大值 5，同理點(diǎn) P 在與 C 相對(duì)的下頂點(diǎn)時(shí)有OP 3j2OA3OB，此時(shí) xy 有最小值5.【答案】C解決幾何圖形問題時(shí)， 可以先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系將圖形坐標(biāo)化， 再運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算解決相關(guān)問題在平面向量中，

20、向量的坐標(biāo)運(yùn)算就是這一思想的具體應(yīng)用如圖，在正方形 ABCD 中，P 為 DC 邊上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量ACDBAP，則的最大值為_解析：以 A 為原點(diǎn)，以 AB，AD 所在直線分別為 x，y 軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為 2，則 B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(x，2)，x0，2所以AC(2，2)，DB(2，2)，AP(x，2)因?yàn)锳CDBAP，所以2x2，222，所以2x2x，42x，所以6x2x.令 f(x)6x2x(0 x2)，因?yàn)?f(x)在0，2上單調(diào)遞減，所以 f(x)maxf(0)3.答案：3基礎(chǔ)題組練1 在平面直角坐標(biāo)系中， 已知向量 a(1，2)， a12

21、b(3， 1)， c(x， 3)， 若(2ab)c，則 x()A2B4C3D1解析：選 D.因?yàn)?a12b(3，1)，所以 a(3，1)12b，則 b(4，2)所以 2ab(2，6)又(2ab)c，所以66x，x1.故選 D.2.已知向量AC， AD和AB在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若ACABAD，則等于()A2B2C3D3解析：選 A.如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則AD(1，0)，AC(2，2)，AB(1，2)因?yàn)锳CABAD，所以(2，2)(1，2)(1，0)(，2)，所以2，22，解得1，3，所以2.故選 A.3在平行四邊形 ABCD 中，E 是 CD 的中點(diǎn)，F(xiàn) 是 BE

22、 的中點(diǎn)，若AFmABnAD，則()Am34，n12Bm14，n34Cm12，n12Dm12，n34解析：選 A.在平行四邊形 ABCD 中，E 是 CD 的中點(diǎn)，F(xiàn) 是 BE 的中點(diǎn)，則AE12ABAD，AF12AE12AB，故AF1212ABAD12AB，34AB12AD.由于AFmABnAD，所以 m34，n12.故選 A.4已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量 a(m，3m4)，b(1，2)，且平面內(nèi)的任一向量 c 都可以唯一地表示成 cab(，為實(shí)數(shù))，則 m 的取值范圍是()A(，4)B(4，)C(，4)(4，)D(，)解析：選 C.平面內(nèi)的任意向量 c 都可以唯一地表示成 cab，由平

23、面向量基本定理可知，向量 a，b 可作為該平面所有向量的一組基底，即向量 a，b 是不共線向量又因?yàn)?a(m，3m4)，b(1，2)，則 m2(3m4)10，即 m4，所以 m 的取值范圍為(，4)(4，)5在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知 A(1，0)，B(0，1)，C 為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且AOC4，|OC|2，若OCOAOB，則()A2 2B. 2C2D4 2解析：選 A.因?yàn)閨OC|2，AOC4，所以 C( 2， 2)，又因?yàn)镺COAOB，所以( 2， 2)(1，0)(0，1)(，)，所以 2，2 2.6在平行四邊形 ABCD 中，AC 為一條對(duì)角線，若AB(2，4)，AC(

24、1，3)，則BD_解析：由題意得BDADABBCAB(ACAB)ABAC2AB(1，3)2(2，4)(3，5)答案：(3，5)7(2019昆明市診斷測試)已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量OA(1，2)，OB(2，1)，若2APAB，則|OP|_.解析：設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，ABOBOA(2，1)(1，2)(3，3)，AP(x1，y2)，由 2APAB得，2(x1，y2)(3，3)，所以2x232y43，解得x12y12，故|OP|141422.答案：228已知 A(3，0)，B(0， 3)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，C 在第二象限，且AOC30，OCOAOB，則實(shí)數(shù)的值為_解析：由題意知OA(3，0)，

25、OB(0， 3)，則OC(3， 3)，由AOC30知， 以 x 軸的非負(fù)半軸為始邊， OC 為終邊的一個(gè)角為 150， 所以 tan 15033，即3333，所以1，答案：19已知 A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)ABa，BCb，CAc，且CM3c，CN2b.(1)求 3ab3c；(2)求滿足 ambnc 的實(shí)數(shù) m，n；(3)求 M，N 的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo)解：由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)因?yàn)?mbnc(6mn，3m8n)，所以6mn5，3m8n5，解得m1，n1.(

26、3)設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)镃MOMOC3c，所以O(shè)M3cOC(3，24)(3，4)(0，20)所以 M(0，20)又因?yàn)镃NONOC2b，所以O(shè)N2bOC(12，6)(3，4)(9，2)，所以 N(9，2)所以MN(9，18)10如圖，AB 是圓 O 的直徑，C，D 是圓 O 上的點(diǎn)，CBA60，ABD45，CDxOAyBC，求 xy 的值解： 不妨設(shè)O 的半徑為 1， 則 A(1， 0)， B(1， 0)， D(0， 1)， C12，32 .所以CD12，132 ，BC12，32 .又CDxOAyBC，所以12，132 x(1，0)y12，32 .所以12x12y13232y，解之得x3

27、33y32 33，所以 xy3 3332 3333.綜合題組練1(創(chuàng)新型)若，是一組基底，向量xy(x，yR)，則稱(x，y)為向量在基底，下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量 a 在基底 p(1，1)，q(2，1)下的坐標(biāo)為(2，2)，則 a 在另一組基底 m(1，1)，n(1，2)下的坐標(biāo)為()A(2，0)B(0，2)C(2，0)D(0，2)解析：選 D.因?yàn)?a 在基底 p，q 下的坐標(biāo)為(2，2)，即 a2p2q(2，4)，令 axmyn(xy，x2y)，所以xy2，x2y4，即x0，y2.所以 a 在基底 m，n 下的坐標(biāo)為(0，2)2 ( 創(chuàng) 新 型 ) 已 知P a|a（1，0）m（0，1） ，

28、mR， Q b|b（1，1）n（1，1） ，nR是兩個(gè)向量集合，則 PQ 等于()A.（1，1）B.（1，1）C.（1，0）D.（0，1）解析：選 A.設(shè) a(x，y)，則 P(x，y)|x1，,ym，mR)，所以集合 P 是直線 x1 上的點(diǎn)的集合同理，集合 Q 是直線 xy2 上的點(diǎn)的集合，即 P（x，y）|x1，yR，Q（x，y）|xy20，所以 PQ（1，1）.故選 A.3(應(yīng)用型)已知非零不共線向量OA， OB，若 2OPxOAyOB，且PAAB(R)，則點(diǎn) Q(x，y)的軌跡方程是()Axy20B2xy10Cx2y20D2xy20解析：選 A.由PAAB，得OAOP(OBOA)，即OP(1)OAOB.又 2OPxOAyOB，所以x22，y2，消去得 xy20，故選 A.4.如圖，A，B，C 是圓 O 上的三點(diǎn)，CO 的延長線與線段 BA 的延長線交于圓 O 外一點(diǎn) D，若OCmOAnOB，則 mn 的取值范圍是_解析：由點(diǎn) D